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1. 如图,在五边形 $ABCDE$ 中,$AB=AE,BC=$$ED,∠ B=∠ E,AF⊥ CD$ 于点$F$. 求证:
(1)$CF=FD$;
(2)$AF$ 平分$∠ BAE$.
(1)$CF=FD$;
(2)$AF$ 平分$∠ BAE$.
答案
(1)连接 AC,AD.
∵AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
又 AF⊥CD,
∴CF=FD.
(2)
∵△ABC≌△AED,
∴∠BAC=∠EAD.
∵AC=AD,AF⊥CD,
∴∠CAF=∠DAF,
∴∠BAC+∠CAF=∠EAD+∠DAF,
∴∠BAF=∠EAF,
∴AF 平分∠BAE.
∵AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
又 AF⊥CD,
∴CF=FD.
(2)
∵△ABC≌△AED,
∴∠BAC=∠EAD.
∵AC=AD,AF⊥CD,
∴∠CAF=∠DAF,
∴∠BAC+∠CAF=∠EAD+∠DAF,
∴∠BAF=∠EAF,
∴AF 平分∠BAE.
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB$的垂直平分线$EF$交$BC$于点$E$,交$AB$于点$F$,$D$为线段$CE$的中点,$BE=AC$.
(1)求证:$AD⊥ BC$;
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.
(1)求证:$AD⊥ BC$;
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.
答案
(1)连接 AE.
∵EF 垂直平分 AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D 是 EC 的中点,
∴AD⊥BC.
(2)设∠B=x°.
∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B=x°. 由三角形外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2x°.
在△ABC 中,3x°+75°=180°,解得 x°=35°,
∴∠B=35°.
∵EF 垂直平分 AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D 是 EC 的中点,
∴AD⊥BC.
(2)设∠B=x°.
∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B=x°. 由三角形外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2x°.
在△ABC 中,3x°+75°=180°,解得 x°=35°,
∴∠B=35°.
3. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,连接 $AC,BD,∠ ABD=$
$∠ ACD=60°,∠ ADB=90°-\dfrac{1}{2}∠ BDC.$ 求证:$△ ABC$ 是等腰三角形.
$∠ ACD=60°,∠ ADB=90°-\dfrac{1}{2}∠ BDC.$ 求证:$△ ABC$ 是等腰三角形.
答案
如图,延长 CD 到点 E,使 DE=DB,连接 AE.
∵∠ADB=90°-1/2∠BDC,
∴2∠ADB=180°-∠BDC=∠BDE,
∴∠1=∠2.
又 DE=DB,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠ABD=∠E=60°,AB=AE.
∵∠ACD=60°,
∴∠CAE=60°=∠ACE=∠E,
∴△ACE 是等边三角形,
∴AC=AE,
∴AB=AC,
∴△ABC 是等腰三角形.
4. 如图，$∠ BAD=120°$，$BD=DC$，$AB+AD=AC$. 求证:$AC$ 平分$∠ BAD$.
答案
如图,延长 BA 到点 E,使 AE=AD,连接 DE.
∵AB+AD=AC,
∴BE=AB+AE=AB+AD=AC.
∵∠BAD=120°,
∴∠DAE=60°,
∴△ADE 是等边三角形,
∴DE=AD,∠E=60°.
又 BD=DC,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴∠CAD=∠E=60°,
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°=∠CAD,
∴AC 平分∠BAD.
