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5. 如图,在$△ ABC$中,过$BC$的中点$D$作直线交$AB$于点$E$,交$CA$的延长线于点$F$,且$AE=AF$.求证:$BE=CF$.
答案
如图,过点 B 作 BG//CF 交 FD 的延长线于点 G,则∠G=∠F.
∵AE=AF,
∴∠F=∠AEF.
∵∠AEF=∠BEG,
∴∠G=∠BEG,
∴BE=BG.
∵∠BDG=∠CDF,∠G=∠F,BD = CD,
∴ △GBD ≌ △FCD(AAS),
∴BG=CF,
∴BE=CF.
思路引导 解答本题时需要过点 B 作 BG//CF 交 FD 的延长线于点 G,构造等腰三角形,然后再利用全等三角形和等腰三角形的性质和判定来解决问题.
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在$AC$上,点$D$在$BA$的延长线上,且$AD=AE$,连接$DE$.求证:$DE ⊥ BC$.
答案
过点 E 作 EF//BC 交 AB 于点 F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又 EF//BC,
∴∠AFE=∠B,∠AEF=∠C,
∴∠AFE=∠AEF.
∵AD=AE,
∴∠D=∠AED.
在△DEF 中,
∵∠D+∠AED+∠AEF+∠AFE=180°,
∴∠AED+∠AEF=180°×1/2=90°,
∴DE⊥EF.
∵EF//BC,
∴DE⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又 EF//BC,
∴∠AFE=∠B,∠AEF=∠C,
∴∠AFE=∠AEF.
∵AD=AE,
∴∠D=∠AED.
在△DEF 中,
∵∠D+∠AED+∠AEF+∠AFE=180°,
∴∠AED+∠AEF=180°×1/2=90°,
∴DE⊥EF.
∵EF//BC,
∴DE⊥BC.
7. 如图,$AB$与$CD$交于点$E$,且$AC=BD$,$∠ A+$ $∠ B=180°$,求证:$CE=DE$.
答案
如图,在线段 AE 上取点 F,使 AC=CF,
∴∠A=∠CFA.
∵∠A+∠B=180°,∠CFA+∠CFE=180°,
∴∠CFE=∠B.
∵AC=CF,AC=BD,
∴CF=DB.
在△CFE 和△DBE 中,
{∠CEF=∠DEB,
∠CFE=∠B,
CF=DB,
∴△CFE≌△DBE(AAS),
∴CE=DE.
解后反思 解答本题需要在线段 AE 上取点 F,使 AC=CF,然后利用等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质来进行证明.
8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$AB$上一点,$E$是$AC$延长线上一点,且$CE=BD$,连接$DE$交$BC$于点$F$.
(1)猜想$DE$与$EF$的大小关系;
(2)请证明你的猜想.
(1)猜想$DE$与$EF$的大小关系;
(2)请证明你的猜想.
答案
(1)DE=2EF.
(2)如图,过点 D 作 DG//AE,交 BC 于点 G,
则∠1=∠E,∠3=∠2.
∵AB=AC,
∴∠B=∠2,
∴∠B=∠3,
∴BD=DG.
∵CE=BD,
∴DG=CE.
在△DFG 和△EFC 中,
{∠4=∠5,
∠1=∠E,
DG=EC,
∴△DFG≌△EFC(AAS),
∴DF=EF,
∴DE=2EF.
方法诠释 解答本题时需要过点 D 作 DG//AE,交 BC 于点 G,然后利用等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的相关知识来解决问题.
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=2∠ B$,$BC=2AC$,
求证:$∠ A=90°$.
求证:$∠ A=90°$.
答案
如图,作∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E.
∵∠ACB=2∠B,
∴∠B=∠BCD=1/2∠ACB,
∴BD=CD.
∵DE⊥BC,
∴BE=CE=1/2BC.
∵BC=2AC,
∴AC=CE.
在△ACD 和△ECD 中,
{AC=EC,
∠ACD=∠ECD,
CD=CD,
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴∠A=∠CED=90°.
难点突破 由于题目中有两倍角关系,于是我们通过作角平分线来构造等腰三角形,然后再利用全等三角形和等腰三角形的性质和判定来进行证明.
