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变式 2.1 如图,已知$△ ABC$ 为等腰直角三角形,其中$∠ BAC=90°, AB=AC$,点 D 为$△ ABC$ 外一点,且$∠ BDA=45°, BD=4$,求$△ BCD$ 的面积.
答案
如图,过点 A 作 AE⊥AD 交 BD 于点 E,连接 CE,则∠DAE=90°.
∵∠ADB=45°,
∴∠DEA=45°,
∴AD=AE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴EC=DB=4,∠DBA=∠ECA.
∵∠ECA+∠BCE=45°,
∴∠DBA+∠BCE=45°.
又∠ABC=45°,
∴∠BEC=90°,即 CE⊥BD,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}CE·BD=\frac{1}{2}×4×4=8$.
变式 2.2 如图,$△ ABC$ 为等腰直角三角形,$AC=$$BC,∠ ACB=90°$,若$∠ CDB=45°,AE// BD,CE⊥$$CD$,求证:$AE=BD$.
答案
延长 DC 交 AE 于点 F,连接 BF,如图.
∵AE//BD,
∴∠EFC=∠BDC=45°.
∵EC⊥CD,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴CE=CF.
∵∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AC=BC,
∴△CEA≌△CFB(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠E=45°=∠BDC,
∴BF=BD,
∴AE=BD.
变式 2.3 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, 点 $D$ 是$△ ABC$ 外一点, $AC=BC$, $∠ BDC=45°$, 连接$AD$, 求证: $∠ BDA=90°$.
答案
如图,作 CE⊥CD,交 BD 于点 E,
∴∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠DCE=90°,∠CDE=45°,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴CD=CE,∠CEB=135°.
∵AC=BC,
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴∠CDA=∠CEB=135°,
∴∠ADB=135°-45°=90°.
3. (2024·宜宾中考)如图,点 D,E 分别是等边三角形 ABC 边 BC,AC 上的点,且 $BD=CE$,BE与 AD 交于点 F. 求证:$AD=BE$.
答案
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD 和△BCE 中,
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABD=∠C, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
变式3.1 如图，$AD$ 是等边三角形 $ABC$ 的中线，$E,F$ 分别为边 $AC$ 和 $AD$ 上两个动点，且 $AF=CE$。当 $BE+CF$ 最小时，求 $∠ BEC$ 的度数。
答案
如图(1),作 CH⊥BC,且 CH=BC,连接 BH 交 AC 于点 M,连接 EH.
∵AD 是等边三角形 ABC 的中线,
∴AC=BC,∠DAC=30°,
∴AC=CH.
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90°-60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°.
∵AF=CE,
∴△AFC≌△CEH(SAS),
∴CF=EH,BE+CF=BE+EH,
∴当 M 与 E 重合,即 E 为 AC 与 BH 的交点时,如图(2),BE+CF 的值最小,
此时∠EBC=45°,∠ECB=60°,
∴∠BEC=180°-45°-60°=75°.
变式3.2 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=$$65°$,$BD$是$AC$边上的高,点$E$,$F$分别在$AB$,$BD$上,且$AE=BF$,当$AF+CE$的值最小时,求$∠ AFD$的度数.
答案
如图,过点 A 作 AG⊥AC,使得 AG=AB,连接 GE.
∵BD⊥AC,GA⊥AC,
∴BD//AG,
∴∠ABF=∠GAE.
∵AG=BA,AE=BF,
∴△AGE≌△BAF(SAS),
∴AF=GE,
∴AF+CE=GE+CE,
∴当 G,E,C 三点共线时,AF+CE 的最小值等于 CG 的长,此时,AG=AC,∠GAC=90°,即△ACG 是等腰直角三角形,
∴∠G=45°=∠BAF.
∵Rt△ABD 中,∠ABD=90°-65°=25°,
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=25°+45°=70°.
