1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x+c=0$ 有两个相等的实数根, 则实数 $c$ 的值为 （）

A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$

1. C

【分析】
我们拿到这道题，首先抓住核心条件：给定的一元二次方程有两个相等的实数根，此时可以直接关联一元二次方程根的判别式的性质来解题。第一步先回忆规则：对于任意一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程就有两个相等的实数根。第二步对应题干中的方程，找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$，注意不要把题干里的待求常数$c$和判别式公式里的参数$c$混淆，将数值代入$\Delta=0$的等式中，解出待求的$c$即可得到答案。
【解析】
解：已知关于$x$的一元二次方程为$x^2 -4x +c=0$，
可得对应系数：$a=1$，$b=-4$，常数项为$c$。
因为该方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，此时判别式$\Delta = 0$，即：
$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 - 4×1× c = 0$
计算得：$16 -4c =0$，
移项求解：$4c=16$，解得$c=4$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考察对根的判别式的基础应用，解题时需要注意代入计算时一次项系数为负数，平方后结果为正，避免出现符号计算错误，整体难度低，是必须掌握的送分考点。
【难度系数】
0.9

2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+1)x^2-2x+1=0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是（）

A.$m＜0$ 且 $m\ne-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$ 且 $m\ne-1$
D.$m＜0$

2. A

【分析】
我们拿到这道题首先要抓住两个核心限定条件：第一，题目明确说明这是一元二次方程，第二，该方程有两个不相等的实数根。首先第一步要先满足一元二次方程的基本要求：二次项系数不能为0，避免方程退化为一次方程；第二步再根据“两个不相等的实数根”的条件，对应根的判别式Δ＞0的性质，代入系数列出不等式求解，最后把两个条件的结果取公共交集，就能得到m的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 由方程是一元二次方程，可得二次项系数不为0：
$$m+1 ≠ 0$ 解得：$m ≠ -1$2. 因为方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，满足$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$，代入得： $$(-2)^2 - 4×(m+1)×1 ＞ 0$
化简计算：
$$4 -4m -4 ＞ 0$ $$-4m ＞ 0$
解得：$m ＜ 0$
3. 联立两个条件，最终得到m的取值范围是$m＜0$且$m\ne-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程相关考点的基础易错题，最常见的失分点是忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的隐藏要求，仅通过判别式大于0得到$m＜0$错选D。解题时要优先确认二次项系数的限制条件，再结合根的情况列不等式求解，避免遗漏限定条件。
【难度系数】
0.6

3. 等腰三角形的三边长分别为 $a,b,2$,且 $a,b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+n+2=0$ 的两个根,则 $n$ 的值为（）

A.6
B.6或7
C.7或8
D.7

3. D

【分析】
这道题需要结合等腰三角形的边的特性、一元二次方程根与系数的关系、三角形三边关系综合求解，解题思路如下：
1. 首先利用一元二次方程韦达定理，直接得到两根a和b的和为6，简化后续计算；
2. 结合等腰三角形边长有两条相等的特点，分两类情况讨论：一类是边长2为腰，另一类是边长2为底边；
3. 对每一类情况算出对应的边长后，必须验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除无法构成三角形的情况，最终求出符合条件的n值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 6x + n + 2 = 0$，由韦达定理可得两根之和：
$a + b = 6$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：边长2为等腰三角形的腰，即$a=2$或$b=2$
若$a=2$，代入$a+b=6$可得$b=4$，此时三角形三边长为2、4、2，因为$2+2=4$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
同理若$b=2$，可得$a=4$，三边长同样为2、2、4，也无法构成三角形，舍去。
情况2：边长2为等腰三角形的底边，即两腰相等$a=b$
结合$a+b=6$，可得$a=b=3$，此时三角形三边长为3、3、2，满足$3+2＞3$，$3+3＞2$，可以构成三角形。
将$a=3$代入方程$x^2 - 6x + n + 2 = 0$，得：
$3^2 - 6×3 + n + 2 = 0$
计算得：$9 - 18 + n + 2 = 0$，解得$n=7$。
综上，符合条件的n的值为7。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是分类讨论后忽略三角形三边关系的验证，不少同学会直接将x=2代入方程得到n=6，误选B选项，解题时要注意等腰三角形的边长必须满足构成三角形的基本要求，排除无效情况才能得到正确结果。
【难度系数】
0.4

4. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+m=0$没有实数根，则实数$m$的取值范围是 .

4. $m＞1$

【分析】
这道题的核心条件是一元二次方程没有实数根，我们可以通过根的判别式来求解参数范围。首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，判别式$\Delta = b^2-4ac$，当方程没有实数根时，满足$\Delta ＜ 0$。接下来我们只需要从给定方程中提取出a、b、c的对应值，代入判别式得到关于m的不等式，解这个不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
已知该方程是一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$，对应系数为：
$a=1$，$b=-2$，$c=m$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m$
因为方程没有实数根，所以判别式满足$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4m ＜ 0$
移项整理得：$4m ＞ 4$
两边同时除以正数4，解得：$m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
一元二次方程判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，直接考察根的判别式和根的对应关系，只要牢记“无实根对应Δ＜0”的规则，代入计算即可快速得到结果，需要注意不要混淆不同根的情况对应的判别式不等号方向，避免出现把Δ＜0错写为Δ＞0的低级错误。
【难度系数】
0.9

5. 若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^{2}+x+1=0$有实数根，则$k$的最大整数值是。

5. 0

【分析】
解题思路分三步：第一，题目明确该方程是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的核心要求：二次项系数不为0，先得到k的第一个限制条件；第二，方程有实数根，结合一元二次方程根的判别式性质，判别式Δ≥0，列出不等式求解得到k的第二个取值范围；第三，将两个条件取交集得到k的完整取值范围，再从中找出最大的整数即可。这里要特别注意不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐藏要求，避免误取k=1的错误结果。
【解析】
解：
1. 满足一元二次方程的定义条件：
因为方程$(k-1)x^{2}+x+1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$k-1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$。
2. 结合方程有实数根的条件，利用根的判别式计算：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有实根则判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，此处$a=k-1$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4×(k-1)×1 ≥ 0$
展开计算：
$1 -4k +4 ≥ 0$
$5 -4k ≥ 0$
移项得：$4k ≤ 5$，即 $k ≤ 1.25$。
3. 合并两个条件得到k的取值范围：
综合$k ≤ 1.25$且$k≠1$，可得符合条件的k的最大整数值为0。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题属于基础易错题，核心陷阱是很多同学只关注“有实数根”的判别式条件，忽略了题目明确给出的“一元二次方程”要求，误将k=1当成符合条件的结果，解题时要优先确认一元二次方程的二次项系数非零的前提。
【难度系数】
0.6

6. 试给出一组 $a,b$ 的值,使得关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+1=0$ 有两个相等的实数根,并求出此时方程的根.

6. 解: $\because$ 方程 $a x^{2}+b x+1=0$ 有两个相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4a=0.$
$a,b$ 取值不唯一, 可取 $b=2,a=1$, 则原方程为 $x^{2}+2x+$$1=0,即 (x+1)^{2}=0,$
解得 $x_{1}=x_{2}=-1.$

【分析】
这是一道开放型的一元二次方程问题，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个相等实数根的两个核心要求：一是二次项系数a不能为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式Δ等于0。将方程的常数项c=1代入判别式公式Δ=b²-4ac，可推导出a、b需要满足的关系为b²-4a=0，我们只需要任选一组满足该等式的非零a、b即可，为了方便计算可以选取整数值，之后将选取的a、b代入原方程，通过配方或因式分解就能求出对应的相等实根。
【解析】
解：
1. 推导a、b的约束条件
∵ 关于x的一元二次方程ax²+bx+1=0有两个相等的实数根
∴ 二次项系数a≠0，且根的判别式Δ=0
代入判别式公式得：Δ = b² - 4×a×1 = 0，即b²=4a
2. 选取符合条件的a、b值
a、b的取值不唯一，选取便于计算的整数：令b=2，代入b²=4a得4=4a，解得a=1，满足a≠0的要求。
3. 代入求解方程
将a=1，b=2代入原方程，得：
x² + 2x + 1 = 0
对左侧配方得：(x+1)²=0
解得x₁=x₂=-1
【答案】
可取a=1，b=2，此时方程的两个相等实数根为x₁=x₂=-1（a、b取值不唯一，满足b²=4a且a≠0均成立）
【知识点】
一元二次方程判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于开放类基础题型，没有设置固定的a、b取值，核心考察对一元二次方程根的判别式性质的掌握，解题时优先选择整数作为b的取值，可以快速算出对应的a，大幅简化后续解方程的步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.85

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-3x+k=0$ 有实数根.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)如果 $k$ 是符合条件的最大整数,且关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+x+m-3=0$ 与 $x^2-3x+k=0$ 有一个相同的根,求此时 $m$ 的值.

7. 解:(1)根据题意,得 $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4k ≥ 0$,
解得 $k ≤ \frac{9}{4}.$
(2)由(1)知 $k$ 的最大整数值为 2,
方程为 $x^{2}-3x+2=0$, 解得 $x_{1}=1,x_{2}=2.$
$\because$ 一元二次方程 $(m-1)x^{2}+x+m-3=0$ 与方程 $x^{2}-$$3x+2=0$ 有一个相同的根,
$\therefore$ 当这个相同的根为 $x=1$ 时, $m-1+1+m-3=0$,
解得 $m=\frac{3}{2}$;
当这个相同的根为 $x=2$ 时, $4(m-1)+2+m-3=0$,
解得 $m=1$, 而由 $(m-1)x^{2}+x+m-3=0$ 是一元二次方程,得 $m-1 ≠ 0$, 故舍去.
$\therefore m$ 的值为 $\frac{3}{2}.$

【分析】
这道题分两小问逐步思考即可：
1. 第一问已知一元二次方程有实数根，根据根的判别式的性质，方程有实根时判别式Δ=b²-4ac≥0，直接把方程对应系数代入不等式求解，就能得到k的取值范围。
2. 第二问先从第一问得到的k的范围里找出最大整数，代入第一个方程解出它的两个根，再分情况把这两个可能的公共根代入第二个方程求出对应m值，最后要注意第二个方程明确是一元二次方程，二次项系数不能为0，把不符合条件的解舍去，就能得到最终正确的m。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=k$，
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入系数得：$(-3)^2 - 4k ≥ 0$，
整理得$9-4k≥0$，解得$k ≤ \frac{9}{4}$。
(2) 由(1)可知$k≤2.25$，符合条件的最大整数k为2，
将k=2代入方程$x^2 - 3x + k = 0$，得$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=2$。
分两种情况代入方程$(m-1)x^2 + x + m - 3 = 0$：
① 若公共根为$x=1$，将x=1代入方程得：
$m-1 + 1 + m - 3 = 0$，化简得$2m-3=0$，解得$m=\frac{3}{2}$，
此时二次项系数$m-1=\frac{1}{2}≠0$，满足一元二次方程的要求。
② 若公共根为$x=2$，将x=2代入方程得：
$4(m-1) + 2 + m - 3 = 0$，化简得$5m-5=0$，解得$m=1$，
此时二次项系数$m-1=0$，方程退化为一次方程，不符合题干“一元二次方程”的限定，该解舍去。
综上，最终m的值为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{9}{4}$；(2) $m=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，一元二次方程定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题型，第一问直接考察判别式的基础应用，难度较低；第二问的易错点是容易忽略第二个方程是一元二次方程的隐含条件，忘记舍去二次项系数为0的无效解，提醒学生解题时要留意题干给出的限定条件，避免漏看要求丢分。
【难度系数】
0.6

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2mx+m^2+m-2=0$ 有两个实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)若 $m$ 为正整数,且方程的根都是负整数,求 $m$ 的值.

8. 解:(1)由题意,得 $b^{2}-4ac=(2m)^{2}-4(m^{2}+m-2) ≥ 0$,
解得 $m ≤ 2.$
(2) $\because m ≤ 2$, 且 $m$ 为正整数, $\therefore m=1$ 或 $m=2.$
当 $m=1$ 时,原方程可化为 $x^{2}+2x=0$,
解得 $x_{1}=-2,x_{2}=0$, 不符合题意;
当 $m=2$ 时,原方程可化为 $x^{2}+4x+4=0$,
解得 $x_{1}=x_{2}=-2$, 符合题意.
综上所述, $m$ 的值为 2.

【分析】
这道题分两小问求解，第一问已知一元二次方程有两个实数根，首先要联想到一元二次方程根的判别式性质：当判别式Δ≥0时，方程有两个实数根，我们只需要把方程对应的a、b、c代入判别式的不等式，化简后就能求出m的取值范围。第二问在第一问得到的m范围基础上，结合“m为正整数”的条件，先筛选出所有符合条件的m候选值，再把每个候选值代入原方程求解，验证根是否全部为负整数，排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+2mx+m^2+m-2=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m$，常数项$c=m^2+m-2$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，代入系数得：
$(2m)^2 - 4×1×(m^2+m-2) ≥ 0$
展开化简：
$4m^2 -4m^2 -4m +8 ≥ 0$
$-4m +8 ≥ 0$
解得$m ≤ 2$。
(2) 由(1)知$m ≤ 2$，又因为m是正整数，所以m的可能取值为1、2：
① 当$m=1$时，代入原方程得$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，其中根0不是负整数，不符合题意，舍去；
② 当$m=2$时，代入原方程得$x^2+4x+4=0$，整理得$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$，两个根都是负整数，符合题意。
综上，m的值为2。
【答案】
(1) $m ≤ 2$；(2) $m$的值为2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，整数根问题
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规题型，核心考察根的判别式的基本应用，第二问通过限定参数为正整数缩小取值范围，再逐一验证根的属性，易错点是第一问容易误将“两个实数根”的条件写为$\Delta＞0$漏掉等号，第二问验证m=1的情况时容易忽略0不属于负整数，导致错解，整体能很好地锻炼学生解题的严谨性。
【难度系数】
0.7