9. 一元二次方程 $x^{2}+4=4x$ 的根的情况是（）

A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

9. C

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，我们可以利用根的判别式求解：首先需要将给定的方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$，准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式$\Delta = b^2-4ac$计算，最后根据$\Delta$的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，对应选出正确选项即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式
对原方程$x^2+4=4x$移项，把所有项移到等号左侧，可得：
$x^2 -4x +4 = 0$
第二步：确定系数a、b、c的值
对比标准形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=4$
第三步：计算判别式$\Delta$
代入判别式公式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 - 4×1×4 = 16 - 16 = 0$
第四步：根据判别式判断根的情况
当$\Delta=0$时，该一元二次方程有两个相等的实数根，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判别式，一元二次方程一般式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考查根的判别式的基本应用，易错点是部分同学未将方程整理为标准形式就直接提取系数，导致判别式计算错误，解题时务必先将方程化为右侧为0的标准形式，再代入参数计算。
【难度系数】
0.9

10. 对于关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 的根的情况,有以下四种说法:
①当 $a＜0,b+c＞0,a+c＜0$ 时,方程一定没有实数根; ②当 $a＜0,b+c＞0,b-c＜0$ 时,方程一定有实数根; ③当 $a＞0,a+b+c＜0$ 时,方程一定没有实数根; ④当 $a＞0,b+4a=0,4a+2b+c=0$ 时,方程一定有两个不相等的实数根. 其中说法正确的序号是（）

A.①
B.②
C.③
D.④

10. B

【分析】
要判断四个关于一元二次方程根的说法是否正确，核心思路是结合一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，同时可以借助二次函数特殊点（x=1、x=-1等）的函数值推导系数关系，还可以通过举反例快速排除错误命题，逐个验证四个说法后就能得到正确选项。
【解析】
我们逐个对四个命题进行验证：
1. 分析说法①：
已知a＜0，b+c＞0，a+c＜0，举反例：取a=-1，b=2，c=0，满足所有给定条件，此时方程为-x²+2x=0，根为x=0和x=2，存在实数根，因此①错误。
2. 分析说法②：
已知a＜0，b+c＞0，b-c＜0，由b-c＜0得c＞b，结合b+c＞0可推出c＞0（若c≤0则b＜c≤0，会导致b+c＜0，与条件矛盾）。此时a＜0、c＞0，因此-4ac＞0，判别式Δ=b²-4ac = b² + 4|a|c ＞ 0，方程一定有实数根，因此②正确。
3. 分析说法③：
已知a＞0，a+b+c＜0，说明二次函数y=ax²+bx+c在x=1处的函数值小于0，且抛物线开口向上，必然与x轴有两个交点，举反例：取a=1，b=0，c=-2，满足a+b+c=-1＜0，方程x²-2=0有两个不等实根，因此③错误。
4. 分析说法④：
已知a＞0，b+4a=0即b=-4a，代入4a+2b+c=0得：4a+2×(-4a)+c=0，解得c=4a。此时判别式Δ=b²-4ac=(-4a)²-4×a×4a=16a²-16a²=0，方程有两个相等的实数根，并非两个不等实根，因此④错误。
综上只有说法②正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程判别式，二次函数特殊点值
【点评】
本题不需要复杂的代数推导，通过举反例可以快速排除错误命题，结合二次函数的图像性质辅助判断根的情况，能大幅降低解题难度，解题时要注意判别式等于0和大于0的差异，避免计算系数时出现符号错误。
【难度系数】
0.4

11. 定义新运算:$a※b=a^{2}-ab+b$,例如,$2※1=2^{2}-2×1+1=3$,则方程$x※2=5$的根的情况为（）

A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

11. D

【分析】
这道题的解题思路非常清晰：第一步先读懂题目给出的新运算规则，把新运算里的参数和方程里的数值对应上，也就是把a替换成x、b替换成2，将陌生的带※的运算方程转化为我们熟悉的常规一元二次方程；第二步把得到的方程整理成一元二次方程的标准形式ax²+bx+c=0，第三步代入根的判别式公式计算Δ，通过Δ和0的大小关系就能直接判断方程根的情况了。
【解析】
1. 根据新运算定义$a※b=a^2-ab+b$，将$a=x$，$b=2$代入，可得：
$x※2 = x^2 - 2x + 2$
2. 结合方程条件$x※2=5$，列等式并整理：
$$x^2 - 2x + 2 = 5$ 移项后得到标准一元二次方程：$x^2 - 2x - 3 = 0$3. 计算该一元二次方程的根的判别式$\Delta$： 其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$ $$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16$
因为$\Delta=16＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题型，把新定义运算和一元二次方程根的判定结合起来，核心考点是要求学生准确理解新运算规则，不要代错运算参数，顺利完成陌生运算到常规代数方程的转化，整体计算量很小，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8

12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是 3,请求出 $m$ 的值和方程的另一个根.

12. (1) 证明: $\because b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4(2m-1)=$$(m-2)^{2}+4＞0,$
$\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m+2)x+(2m-1)=0$ 恒有两个不相等的实数根.
(2) 解: 根据题意, 得 $3^{2}-3 ×(m+2)+(2m-1)=0$,
解得 $m=2$, 则方程为 $x^{2}-4x+3=0$,
解得 $x_{1}=1,x_{2}=3.$
综上所述, $m$ 的值为 2, 方程的另一个根为 1.

【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，我们的思路是利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，只要证明Δ的值恒大于0即可：首先从方程里找出a、b、c对应的系数，代入判别式的表达式，之后对得到的代数式进行配方，利用平方数的非负性就能推出Δ始终大于0。第二问已知方程的一个根是3，根据方程的根的定义，把x=3代入原方程就能得到关于m的一元一次方程，解出m之后把m的值代回原方程，解这个新的一元二次方程就能得到另一个根，也可以用韦达定理（根与系数的关系）快速计算出另一根，简化计算过程。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+2)$，常数项$c=2m-1$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta = b^2 - 4ac&=[-(m+2)]^2 - 4×1×(2m-1)\\&=m^2 +4m +4 -8m +4\\&=m^2 -4m +8\\&=(m-2)^2 +4\end{aligned}$
因为无论m取何实数，都有$(m-2)^2≥0$，所以$(m-2)^2 +4 ≥4＞0$，也就是$\Delta＞0$恒成立，因此该方程恒有两个不相等的实数根。
(2) 解：已知x=3是方程的一个根，将x=3代入原方程得：
$3^2 - 3×(m+2) + (2m -1) = 0$
展开整理得：$9 -3m -6 +2m -1 =0$，即$2 - m = 0$，解得$m=2$。
把$m=2$代回原方程，得到新方程：$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
因此m的值为2，方程的另一个根为1。
【答案】
(1) 证明成立，方程恒有两个不相等的实数根；(2) $m=2$，方程的另一个根为1
【知识点】
一元二次方程判别式；一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，第一问重点考察判别式的应用，通过配方将判别式转化为“平方加正数”的形式，利用平方的非负性证明恒正，是这类证明根的个数问题的常用技巧；第二问既可以代入求参数再解方程，也可以用根与系数的关系直接计算另一根，方法灵活，整体计算量小，侧重考察学生对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8

13. 新定义 定义:若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$满足$b=ac$,则称此方程为“蛟龙”方程.
(1)当$b＜0$时,判断此时“蛟龙”方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$根的情况,并说明理由;
(2)若“蛟龙”方程$2x^{2}+mx+n=0$有两个相等的实数根,请解出此方程.

13. 解: (1) “蛟龙”方程 $a x^{2}+b x+c=0(a ≠ 0)$ 有两个不相等的实数根, 理由: $\because$ 一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=$$0(a ≠ 0)$ 为“蛟龙”方程, $\therefore b=ac.$
$\because b＜0, \therefore b^{2}-4ac=b^{2}-4b=b(b-4)＞0,$
$\therefore$ “蛟龙”方程 $a x^{2}+b x+c=0(a ≠ 0)$ 有两个不相等的实数根.
(2) $\because$ 方程 $2 x^{2}+m x+n=0$ 为“蛟龙”方程, $\therefore m=2n.$
$\because$ 方程 $2 x^{2}+m x+n=0$ 有两个相等的实数根,
$\therefore m^{2}-4 × 2n=4n^{2}-8n=0, \therefore n=0$ 或 $n=2.$
当 $n=0$ 时,方程为 $2x^{2}=0$,
解得 $x_{1}=x_{2}=0$;
当 $n=2$ 时,方程为 $2x^{2}+4x+2=0$, 解得 $x_{1}=x_{2}=-1.$

【分析】
这道题是结合新定义考察一元二次方程的相关知识，解题思路如下：
1. 第(1)问要判断一元二次方程根的情况，常规方法是计算根的判别式Δ=b²-4ac的正负性。题目给出“蛟龙”方程的定义是b=ac，我们可以直接把判别式里的ac替换为b，再结合已知条件b＜0，推导Δ的取值范围，就能得到根的情况。
2. 第(2)问首先根据“蛟龙”方程的定义，得到m和n的等量关系，再结合“方程有两个相等实数根”的条件，可知判别式Δ=0，把刚才得到的m和n的关系代入判别式，得到关于n的一元二次方程，解出n的所有取值后，分情况代入原方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 该“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵ 方程$ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$是“蛟龙”方程，根据定义可得$b=ac$。
将$ac=b$代入根的判别式Δ：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4b$
已知$b＜0$，因此$b$是负数，$b-4$也必然小于0，两个负数相乘结果为正，即：
$\Delta = b(b-4) ＞ 0$
∴ 此时“蛟龙”方程有两个不相等的实数根。
(2)
∵ 方程$2x^2+mx+n=0$是“蛟龙”方程，根据定义可得$m=2n$。
又
∵ 该方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta = m^2 - 4×2× n = 0$
把$m=2n$代入上式：
$(2n)^2 - 8n = 0$，整理得$4n^2 - 8n = 0$，因式分解得$4n(n-2)=0$
解得$n=0$ 或 $n=2$。
分两种情况求解方程：
① 当$n=0$时，$m=2n=0$，原方程为$2x^2=0$，解得$x_1=x_2=0$；
② 当$n=2$时，$m=2n=4$，原方程为$2x^2+4x+2=0$，解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) “蛟龙”方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$有两个不相等的实数根，理由见解析；(2) 方程的解为$x_1=x_2=0$或$x_1=x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，新定义问题，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类的一元二次方程基础综合题，核心是要准确理解“蛟龙”方程的定义，将给定的特殊条件和已学的根的判别式知识点灵活结合，第(2)问求解出n的两个取值后需要分类讨论，避免漏解，整体侧重考察学生对基础知识点的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6