1. 若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根，则（）

A.$x_{1}+x_{2}=6$
B.$x_{1}+x_{2}=-6$
C.$x_{1}x_{2}=\dfrac{7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}=7$

1. A

【分析】
这道题已知一元二次方程的两个根，要判断关于两根和、两根积的选项是否正确，不需要额外求解方程的具体根，直接利用一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）即可解题。解题时第一步先确定给定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步将三个系数代入韦达定理对应的公式，分别计算出两根之和与两根之积，第三步将计算结果和四个选项逐一比对，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于一元二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若它的两个实根为$x_1,x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题给出的方程为$x^2-6x-7=0$，对应可得系数：$a=1$，$b=-6$，$c=-7$。
将系数代入公式计算：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$
对比选项可知：A选项结果符合计算值，B、C、D的结果均错误，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理；一元二次方程性质
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考察韦达定理的基础应用，无需求解方程的具体根即可快速得到两根的和与积，易错点是代入公式时容易忽略一次项系数的负号，误将$x_1+x_2$算为-6，解题时要注意先准确对应a、b、c的符号再代入计算。
【难度系数】
0.9

2. 下列一元二次方程中，两根之和为2的是 （）

A.$x^{2}-2x+3=0$
B.$-x^{2}-2x+1=0$
C.$\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}x-1=0$
D.$2x^{2}-4x-1=0$

2. D

【分析】
这道题要选出两根之和为2的一元二次方程，解题思路分两步走：首先要明确，使用韦达定理（根与系数的关系）的前提是方程存在实数根，所以第一步先对每个选项的方程计算判别式，排除没有实数根的选项；第二步对剩下有实根的方程，根据一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之和公式x₁+x₂=-b/a计算，筛选出结果等于2的选项即可。要注意不能跳过判别式的判断直接套公式，很容易误选看似和为2但无实根的选项。
【解析】
我们依据一元二次方程根的判别式和韦达定理逐一分析选项：
1. 分析选项A：方程为$x^2-2x+3=0$
计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12 = -8 ＜ 0$，该方程没有实数根，不存在对应的两根，不符合要求，排除A。
2. 分析选项B：方程为$-x^2-2x+1=0$
这里$a=-1$，$b=-2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{-1} = -2$，不等于2，不符合要求，排除B。
3. 分析选项C：方程为$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1=0$
这里$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$，不等于2，不符合要求，排除C。
4. 分析选项D：方程为$2x^2-4x-1=0$
先计算判别式$\Delta = (-4)^2 -4×2×(-1) = 16 +8 =24＞0$，方程有两个不相等的实数根；再计算两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{2} = 2$，完全符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理；一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础易错题，最常见的错误是忽略“韦达定理仅适用于存在实数根的一元二次方程”的前提，直接套公式误选A选项，解题时一定要先验证判别式非负，再计算两根之和，避免掉入命题设置的陷阱。
【难度系数】
0.6

3.(2025·南京模拟)设$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+mx-2=0$的两个根,且$x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}$,则$m=$.

3. 4

【分析】
这道题核心考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路很明确：第一步先直接套用韦达定理，用参数m表示出方程的两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$；第二步把得到的两个表达式代入题目给出的等量关系$x_1+x_2=2x_1x_2$，就能得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值，本题方程判别式$\Delta=m^2+8$恒大于0，无需额外验证根的存在性。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+mx-2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$，
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2$，
将上述结果代入已知条件$x_1+x_2=2x_1x_2$：
$-m = 2×(-2)$
化简得：$-m=-4$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
韦达定理；一元二次方程性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查韦达定理的基础应用，易错点是容易忽略两根之和的负号，误将$x_1+x_2$写为m导致计算错误，整体运算量极小，只要牢记根与系数的对应规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

4. (2025·南京月考)设$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-3bx+c=0$的两个根,且$x_{1}+x_{2}=-3$,$x_{1}x_{2}=2$,则$c^{b}=$.

4. $\frac{1}{2}$

【分析】
这道题的解题核心是利用一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）先求出参数b和c的值，再代入指数式计算结果。首先回忆韦达定理的规则：对于任意一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$。我们先对应题目给出的方程$x^2-3bx+c=0$，确定二次项、一次项系数和常数项，再结合题目给出的两根和、两根积的已知条件，分别列等式解出b和c，最后代入$c^b$按照负指数幂的运算规则算出最终结果即可。
【解析】
1. 应用韦达定理对应参数
对于方程$x^2 - 3bx + c = 0$，二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-3b$，常数项$C=c$，根据韦达定理可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = 3b$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{C}{A} = c$
2. 求解参数b和c
已知$x_1+x_2=-3$，代入两根之和的等式得：$3b=-3$，解得$b=-1$；
已知$x_1x_2=2$，代入两根之积的等式直接得：$c=2$。
3. 计算指数式结果
将$b=-1$、$c=2$代入$c^b$，根据负整数指数幂运算规则$a^{-1}=\frac{1}{a}$，可得：
$c^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
韦达定理，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础题型，直接考查韦达定理的基础应用，不需要额外求解方程的根，仅需对应系数关系即可快速得到参数值，易错点是一次项系数的符号处理，避免把两根之和误写为$-3b$导致b的取值计算错误。
【难度系数】
0.9

5. 设 $x_1,x_2$ 是一元二次方程 $2x^2+4x-3=0$ 的两根,利用根与系数的关系求下列代数式的值:
(1) $\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$;
(2) $(x_1-x_2)^2$.

5. 解:由题意,得$x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=-1.5$.
(1)原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{4-2×(-1.5)}{-1.5}=-\frac{14}{3}.$
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-2)^2-4×(-1.5)=10.$

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路如下：第一步先根据一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$的两根和为$-\frac{b}{a}$、两根积为$\frac{c}{a}$，先直接算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，不需要求解方程的两个根；第二步将要求的两个代数式通过代数变形，转化为仅用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式：第一问先对分式通分，再利用完全平方和公式把分子的平方和转化为两根和的形式，第二问直接把差的完全平方展开变形为含两根和、两根积的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
首先确定一元二次方程$2x^2+4x-3=0$的系数：$a=2$，$b=4$，$c=-3$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-1.5$。
(1) 对所求代数式通分变形：
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$
利用完全平方公式$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-1.5$代入：
$=\frac{(-2)^2 - 2×(-1.5)}{-1.5}=\frac{4+3}{-1.5}=-\frac{14}{3}$
(2) 对所求代数式利用完全平方差公式变形：
$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-1.5$代入：
$=(-2)^2 -4×(-1.5)=4+6=10$
【答案】
(1) $-\dfrac{14}{3}$；(2) $10$
【知识点】
一元二次方程韦达定理，完全平方恒等变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础常规题型，核心考点是代数式的恒等变形，通过将目标式转化为两根和、两根积的组合形式，避免了直接求解方程根的繁琐计算，解题时要注意完全平方变形过程中的符号处理，是后续学习韦达定理复杂应用的必备基础。
【难度系数】
0.8

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+(m-2)=0$.
(1)求证:无论 $m$ 取何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根为 2,求 $m$ 的值及方程的另一个根.

6. (1)证明:$\because a=1$,$b=-(m+1)$,$c=m-2$,
$\therefore b^2-4ac=[-(m+1)]^2-4×1×(m-2)=(m-1)^2+8.$
$\because$无论$m$取何实数,$(m-1)^2+8＞0$,
$\therefore$原方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because2$是方程的一个根,
$\therefore2^2-(m+1)×2+(m-2)=0$,$\therefore m=0.$
设方程的另一个根为$x_2$,$\because2+x_2=m+1$,$\therefore x_2=-1.$
故$m=0$,方程的另一个根为$-1$.

【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是利用一元二次方程根的判别式性质：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先写出方程对应的$a、b、c$，计算判别式后通过配方变形，证明变形后的代数式无论$m$取何值都恒大于0，即可完成证明。
第二问已知方程的一个根为2，首先根据方程的解的定义，把$x=2$代入原方程就能直接求出$m$的值，之后既可以把求得的$m$代回原方程解出另一个根，也可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之和等于$-\frac{b}{a}$快速计算出另一个根，后者计算更简便。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2-(m+1)x+(m-2)=0$中，
$a=1$，$b=-(m+1)$，$c=m-2$，
代入根的判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta = b^2-4ac&=[-(m+1)]^2-4×1×(m-2)\\&=m^2+2m+1-4m+8\\&=(m-1)^2+8\end{aligned}$
$\because$无论$m$取何实数，都有$(m-1)^2≥0$，因此$(m-1)^2+8＞0$恒成立，即$\Delta＞0$，
$\therefore$原方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：$\because x=2$是方程的一个根，将$x=2$代入原方程得：
$2^2-(m+1)×2+(m-2)=0$
化简计算得$4-2m-2+m-2=0$，解得$m=0$。
设方程的另一个根为$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$m+1$，即：
$2+x_2=m+1$
将$m=0$代入得$2+x_2=1$，解得$x_2=-1$。
【答案】
(1) 证明成立，无论$m$取何实数方程总有两个不相等的实数根；(2) $m=0$，方程的另一个根为$-1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，第一问重点考察判别式的应用与代数式配方的技巧，通过将判别式转化为平方加正常数的形式直接证明其恒正；第二问既可以通过代入根求参数后再解方程，也可以借助韦达定理简化计算，是巩固一元二次方程核心性质的典型习题，难度较低，适合初学者夯实基础。
【难度系数】
0.8

7.(2025·南京月考)已知 m,n 是方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根,则$m(1+n)-n^{2}$的值是 （）

A.$-7$
B.7
C.$-9$
D.9

7. C

【分析】
这道题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，不需要解出m、n的具体数值，可按如下思路推导：
1. 先对所求代数式$m(1+n)-n^2$初步展开，得到$m+mn-n^2$；
2. 由于n是原方程的根，根据方程根的定义，将n代入原方程必然成立，由此可以得到$n^2$的等价表达式，对代数式中的二次项降次，消去高次项；
3. 降次整理后，代数式会转化为仅含$m+n$和$mn$的形式，此时利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接得到$m+n$和$mn$的取值，整体代入即可算出最终结果，全程无需计算带根号的根，大幅简化运算。
【解析】
解：
∵ m，n是方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根，
∴ 由一元二次方程根的定义，将$x=n$代入方程得：
$n^2 + n -4 = 0$，整理得 $n^2 = 4 - n$，
由韦达定理（根与系数的关系）可得：
$m + n = -1$，$mn = -4$。
对所求代数式展开并代入$n^2=4-n$化简：
$\begin{aligned}m(1+n)-n^2&=m + mn -n^2\\&=m + mn -(4 -n)\\&=m + mn -4 +n\\&=(m +n) + mn -4\end{aligned}$
将$m+n=-1$，$mn=-4$代入上式：
原式$= -1 + (-4) -4 = -9$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典常考题，核心考察整体代换的数学思想，通过根的定义对高次项降次，再结合韦达定理直接代入两根和、两根积的数值，规避了求解无理数根的复杂运算，学生的常见易错点是记错韦达定理的符号，导致最终计算结果偏差。
【难度系数】
0.6

8. (2025·鼓楼区月考)若关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 的两根之和为 2,两根之积为 $-3$,则关于 $y$ 的方程 $a(y-2)^2+b(y-2)+c=0$ 的两根之积为（）

A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$

8. D

【分析】
这道题可以用整体换元的思路快速求解：第一步，先根据已知的第一个一元二次方程的两根和、两根积，利用韦达定理得到对应系数的比值关系；第二步，观察第二个关于y的方程的结构，发现它和第一个方程高度相似，我们可以设t=y-2，直接把第二个方程转化为和第一个完全相同的at²+bt+c=0，就能直接复用已知的t的两根和、两根积的条件；第三步，利用y=t+2的关系，把y的两根表示为t₁+2、t₂+2，展开两根之积的表达式，整体代入t的两根和、两根积的数值，就能直接算出结果，不需要单独求解a、b、c的具体值，大幅简化计算。
【解析】
解：设方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2,\quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$
令换元变量$t=y-2$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2+b(y-2)+c=0$可转化为：
$at^2+bt+c=0$
该方程和已知的$ax^2+bx+c=0$完全等价，因此它的两根$t_1$、$t_2$满足：
$t_1+t_2=2,\quad t_1t_2=-3$
由$y=t+2$可知，关于$y$的两根为$y_1=t_1+2$，$y_2=t_2+2$，展开计算两根之积：
$\begin{aligned}y_1y_2&=(t_1+2)(t_2+2)\\&=t_1t_2+2t_1+2t_2+4\\&=t_1t_2+2(t_1+t_2)+4\end{aligned}$
代入$t_1+t_2=2$，$t_1t_2=-3$得：
$y_1y_2=-3+2×2+4=5$
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，换元法，整体代换
【点评】
本题重点考察一元二次方程的整体转化思维，既可以用换元法快速复用已知条件，也可以直接展开第二个方程用韦达定理推导两根之积的表达式，不需要计算参数的具体数值，能有效锻炼学生的整体代换意识，避免冗余的参数运算。
【难度系数】
0.6

9. 若 m,n 是一元二次方程 $x^{2}-5x+2=0$ 的两个实数根,则 $m+(n-2)^{2}$ 的值为.

9. 7

【分析】
这道题的核心思路是利用一元二次方程根的性质和韦达定理整体求值，不需要单独计算出m、n的具体值。首先第一步先把待求的代数式展开，得到含m、n²、n的式子；第二步因为n是原方程的根，将n代入原方程可以得到n²=5n-2，用这个式子对展开后的代数式做降次化简，消去二次项n²；第三步化简后式子会变成仅含m+n的形式，再通过韦达定理直接得到两根之和m+n的值，整体代入就能算出最终结果，避免了求解带根号的根的复杂运算。
【解析】
解：
1. 利用方程根的性质降次
因为n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的实数根，将x=n代入方程可得：
$n^2 -5n +2 = 0$，整理得$n^2 = 5n -2$。
2. 展开并化简待求代数式
将待求式$m+(n-2)^2$展开：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
把$n^2=5n-2$代入上式替换二次项：
$m + (5n -2) -4n +4 = m +5n -2 -4n +4 = m +n +2$
3. 利用韦达定理求两根之和
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（a≠0），两根之和满足$m+n=-\frac{b}{a}$，本题中a=1，b=-5，因此：
$m+n = -\frac{-5}{1} =5$
4. 整体代入计算结果
将m+n=5代入化简后的式子：
$m+n+2 =5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的性质，韦达定理，代数式整体代换
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典基础题型，重点考察整体代换的数学思想，不需要直接求解出带无理数的两个根，通过根的定义降次后结合韦达定理即可快速得到结果，解题时要注意展开代数式和代换过程中的计算准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7