9.(2025·南京月考)已知关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2x-3=0$有实数根,则$k$的取值范围是.

9. $k≥\dfrac{2}{3}$且$k≠1$

【分析】
拿到这道题先抓住两个核心条件：第一，题目明确说明该方程是一元二次方程，所以首先要满足一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，这是非常容易遗漏的前提条件；第二，方程有实数根，对于一元二次方程来说，有实根的判定依据是根的判别式Δ≥0。我们先根据二次项系数不为0得到第一个k的限制条件，再代入判别式计算得到第二个k的范围，最后取两个条件的公共部分，就能得到最终k的取值范围。
【解析】
解：
1. 因为方程$(k-1)x^2 -2x -3=0$是一元二次方程，因此二次项系数不能为0：
$k-1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$。
2. 已知该方程有实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式满足$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，对应本题$a=k-1$，$b=-2$，$c=-3$，代入得：
$$\Delta = (-2)^2 - 4×(k-1)×(-3) ≥ 0$ 展开化简： $$4 + 12(k-1) ≥ 0$
$$4 +12k -12 ≥ 0$ $$12k ≥ 8$
解得 $k ≥ \frac{2}{3}$。
3. 结合两个条件取交集，可得k的取值范围是$k≥ \frac{2}{3}$且$k≠1$。
【答案】
$k≥\dfrac{2}{3}$且$k≠1$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略题目给出的“一元二次方程”的前提，直接仅通过判别式求解得到$k≥\frac{2}{3}$，漏掉二次项系数不能为0的限制条件，解题时要先确认方程类型，再结合根的情况计算参数范围。
【难度系数】
0.6

10. 在$△ ABC$中,$BC=2$,$AB=2\sqrt{3}$,$AC=b$,且关于$x$的方程$x^{2}-4x+b=0$有两个相等的实数根,则$AC$边上的中线长为.

10. 2

【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：第一步，题目给出一元二次方程有两个相等实根，首先联想到一元二次方程根的判别式性质，通过判别式等于0直接求出AC的边长b；第二步，得到△ABC的三条边长后，代入验证三边平方的关系，用勾股定理逆定理判断三角形的形状；第三步，发现该三角形是直角三角形且AC为斜边，直接利用直角三角形斜边中线的性质，就能快速算出AC边上的中线长度。
【解析】
1. 求AC的长度：
已知关于$x$的方程$x^2-4x+b=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× b = 16-4b=0$
解得$b=4$，即$AC=4$。
2. 判定△ABC的形状：
已知$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=4$，计算三边平方：
$BC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4+12=16$，$AC^2=4^2=16$
因此$BC^2 + AB^2 = AC^2$，由勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形，且$∠ ABC=90°$，AC为直角三角形的斜边。
3. 计算AC边上的中线长：
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边长度的一半，因此AC边上的中线长为$\frac{1}{2}× AC = \frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于代数和几何的小综合基础题，解题的核心逻辑是先通过方程条件转化得到三角形的边长，再通过边长特征判定直角三角形，利用斜边中线的性质可以避免使用中线长公式的复杂运算，整体解题路径清晰，侧重考查基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

11. 已知关于 $x$ 的方程 $4x^2+4mx+7m=0$ 有两个相等的实数根.
(1)求 $m$ 的值；
(2)若 $m$ 满足方程 $y^2-(m-2)y+4=0$，试判断方程 $y^2-(m-2)y+4=0$ 的根的情况.

11. 解: (1) $\because$ 关于$x$的方程$4x^{2}+4mx+7m=0$有两个相等的实数根, $\therefore b^{2}-4ac=(4m)^{2}-4×4×7m=0$, 即$16m^{2}-16×7m=0$,
解得$m=0$或$m=7$.
(2) $\because m$满足方程$y^{2}-(m-2)y+4=0$,
$\therefore$ 当$m=0$时, 方程为$y^{2}+2y+4=0$,$b^{2}-4ac=2^{2}-4×1×4=-12＜0$, 此时方程$y^{2}-(m-2)y+4=0$无实数根;
当$m=7$时, 方程为$y^{2}-5y+4=0$,$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×4=9＞0$, 此时方程$y^{2}-(m-2)y+4=0$有两个不相等的实数根.

【分析】
首先思考第一问：已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ=b²-4ac=0，我们先从给定方程中找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=0的等式就能得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的取值。
再思考第二问：第一问求出了两个m的取值，需要把两个m分别代入第二个关于y的方程，分别计算两个情况下方程的判别式，根据判别式和0的大小关系，就能对应判断出方程根的情况，注意不能遗漏任意一个m的取值，需要分类讨论。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2+4mx+7m=0$，对应一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=4$，$b=4m$，$c=7m$。
因为方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，代入系数得：
$(4m)^2 - 4×4×7m = 0$
化简得$16m^2 - 112m=0$，提取公因式得$16m(m-7)=0$，解得$m=0$或$m=7$。
(2) 分两种情况代入计算：
① 当$m=0$时，代入方程$y^2-(m-2)y+4=0$，得到方程为$y^2+2y+4=0$，
此时判别式$\Delta_1=2^2-4×1×4=4-16=-12＜0$，该方程无实数根；
② 当$m=7$时，代入方程$y^2-(m-2)y+4=0$，得到方程为$y^2-5y+4=0$，
此时判别式$\Delta_2=(-5)^2-4×1×4=25-16=9＞0$，该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $m$的值为0或7；(2) 当$m=0$时，方程$y^2-(m-2)y+4=0$无实数根；当$m=7$时，方程$y^2-(m-2)y+4=0$有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础常规题型，核心考察对判别式性质的掌握，解题时要注意第一问得到两个m的取值，第二问必须分类代入逐一判断，避免漏解，同时计算判别式时要注意系数的符号，不要出现代入计算错误。
【难度系数】
0.7

12. (2025·南京月考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}-1=0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若$△ ABC$为等腰三角形,$AB=3\ \mathrm{cm}$,另外两条边是方程的根,求$△ ABC$的周长.

12. (1) 证明: 由题意, 得$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}-1)=4＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) 解: 原方程整理, 得$[x-(m+1)][x-(m-1)]=0$,解得$x_{1}=m+1$,$x_{2}=m-1$.
当$m+1=3$时, 解得$m=2$,$m-1=2-1=1$,此时等腰三角形三边长分别为$1\ \mathrm{cm}$,$3\ \mathrm{cm}$,$3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 此时能构成三角形,$1+3+3=7(\mathrm{cm})$,
$\therefore△ ABC$的周长为$7\ \mathrm{cm}$.
当$m-1=3$时, 解得$m=4$,$m+1=4+1=5$,此时等腰三角形三边长分别为$3\ \mathrm{cm}$,$3\ \mathrm{cm}$,$5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 此时能构成三角形,$5+3+3=11(\mathrm{cm})$,
$\therefore△ ABC$的周长为$11\ \mathrm{cm}$.
综上所述,$△ ABC$的周长为$7\ \mathrm{cm}$或$11\ \mathrm{cm}$.

【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以直接利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，代入对应系数计算，判断Δ的正负即可完成证明。第二问首先先把给定的一元二次方程求解，得到两个不相等的根，已知△ABC是等腰三角形，边长AB=3，且另外两条边是方程的两个不等根，说明3必然是等腰三角形的腰，分两种情况讨论：分别让两个不同的根等于3，求出对应的m值，得到三角形的三边长后，必须验证三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除无法构成三角形的情况，最后计算出符合条件的三角形周长即可。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 -1 =0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2m$，常数项$c=m^2-1$，
代入根的判别式计算：
$\Delta = b^2 -4ac = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 -1) = 4m^2 -4m^2 +4 =4$
$\because \Delta=4＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：对原方程因式分解可得：
$[x-(m+1)][x-(m-1)]=0$
解得方程的两个根为$x_1 = m+1$，$x_2 = m-1$，显然$x_1 ＞ x_2$。
已知$△ ABC$是等腰三角形，$AB=3$，且另外两条边是该方程的两个不等根，因此3必然是等腰三角形的腰，分两种情况讨论：
① 当$x_1 = m+1 =3$时，解得$m=2$，此时$x_2 = m-1 = 2-1=1$，
得到三角形三边长为$1\ \mathrm{cm}$、$3\ \mathrm{cm}$、$3\ \mathrm{cm}$，满足$1+3＞3$，符合三角形三边关系，可以构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$1+3+3=7\ \mathrm{cm}$；
② 当$x_2 = m-1 =3$时，解得$m=4$，此时$x_1 = m+1 =4+1=5$，
得到三角形三边长为$3\ \mathrm{cm}$、$3\ \mathrm{cm}$、$5\ \mathrm{cm}$，满足$3+3＞5$，符合三角形三边关系，可以构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$3+3+5=11\ \mathrm{cm}$。
综上，$△ ABC$的周长为$7\ \mathrm{cm}$或$11\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$△ ABC$的周长为$7\ \mathrm{cm}$或$11\ \mathrm{cm}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与等腰三角形的综合题型，第一问属于基础考点，直接用判别式即可证明；第二问的易错点是容易遗漏分类讨论的其中一种情况，同时不少同学会忘记验证三角形三边关系直接计算周长，解题时要注意结合第一问得到的“方程两根不等”的结论，快速判断出3只能是等腰三角形的腰，避免无意义的分类，提升解题效率。
【难度系数】
0.6

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2-2bx+(a-c)=0$, 其中 $a,b,c$ 分别为 $△ ABC$ 三边的长.
(1) 如果 $x=1$ 是方程的根, 试判断 $△ ABC$ 的形状, 并说明理由;
(2) 如果方程有两个相等的实数根, 试判断 $△ ABC$ 的形状, 并说明理由;
(3) 如果 $△ ABC$ 是等边三角形, 试求这个一元二次方程的根.

13. 解: (1) $△ ABC$为等腰三角形, 理由如下:将$x=1$代入方程, 得$a+c-2b+a-c=0$, 则$a=b$, 所以$△ ABC$为等腰三角形.
(2) $△ ABC$为直角三角形, 理由: 根据题意, 得$(-2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$, 即$b^{2}+c^{2}=a^{2}$, 所以$△ ABC$为直角三角形.
(3) $\because△ ABC$为等边三角形, $\therefore a=b=c$,
$\therefore$ 方程化为$x^{2}-x=0$, 解得$x_{1}=0$,$x_{2}=1$.

【分析】
这是一道一元二次方程性质和三角形判定结合的综合题，我们可以对应三个小问的条件逐步推导：
1. 第一问已知x=1是方程的根，直接将根代入原方程，化简后就能得到三角形两边的数量关系，即可判断三角形形状；
2. 第二问已知方程有两个相等实数根，立刻联想到一元二次方程根的判别式Δ=0，代入判别式公式展开化简，就能得到三边满足勾股定理逆定理的关系，进而判定三角形形状；
3. 第三问反过来已知△ABC是等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质，把原方程里的a、b、c等量代换，消去参数得到仅含x的一元二次方程，求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
把$x=1$代入方程$(a+c)x^2-2bx+(a-c)=0$，得：
$(a+c)×1^2 - 2b×1 + (a-c)=0$
化简得：$a+c-2b+a-c=0$，即$2a=2b$，可得$a=b$，
因为a、b是$△ ABC$的两条边长，两边相等，因此$△ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
已知方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得$\Delta=0$：
代入$A=a+c$，$B=-2b$，$C=a-c$到判别式公式$\Delta=B^2-4AC$中，得：
$(-2b)^2 - 4(a+c)(a-c)=0$
展开计算：$4b^2 -4(a^2 - c^2)=0$，两边同时除以4整理得$b^2 + c^2 = a^2$，
符合勾股定理逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
(3) 解：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，且三角形边长$a＞0$，满足原方程二次项系数$a+c=2a≠0$，
将$a=b=c$代入原方程，得：$2ax^2 - 2ax + 0 = 0$，两边同时除以$2a$化简得$x^2 - x=0$，
因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $△ ABC$为等腰三角形；(2) $△ ABC$为直角三角形；(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，特殊三角形判定
【点评】
本题是代数和几何的小型综合题，将一元二次方程的核心性质和三角形形状判定结合，三个小问分别从不同角度考察知识点的迁移运用，解题时要注意隐含条件：三角形边长为正、一元二次方程二次项系数不为0，避免推导出现疏漏，整体难度适中，能很好地检验学生对跨模块知识的结合运用能力。
【难度系数】
0.7