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18. 小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示. 小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3 cm的小正方形，求小长方形的面积.
答案
18.解:设小长方形的宽为$x$ cm,长为$y$ cm,
则题图①中大长方形的长可以表示为$5x$ cm或$3y$ cm,题图②中大正方形的边长可以表示为$(2x+y)$cm或$(2y+3)$cm,那么可得出方程组为$\begin{cases}5x=3y, \\ 2x+y=2y+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=9, \\ y=15,\end{cases}$
则小长方形的面积为$9×15=135(\mathrm{cm}^2)$.
答:小长方形的面积为$135\ \mathrm{cm}^2$.
则题图①中大长方形的长可以表示为$5x$ cm或$3y$ cm,题图②中大正方形的边长可以表示为$(2x+y)$cm或$(2y+3)$cm,那么可得出方程组为$\begin{cases}5x=3y, \\ 2x+y=2y+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=9, \\ y=15,\end{cases}$
则小长方形的面积为$9×15=135(\mathrm{cm}^2)$.
答:小长方形的面积为$135\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
本题是数形结合的方程应用题，解题思路如下：首先设小长方形的宽为$x$ cm、长为$y$ cm，再从两个拼接图形中找边长的等量关系：①观察图①，大长方形的上下两条长相等，上方是5个小长方形的宽拼接而成，下方是3个小长方形的长拼接而成，可得到第一个等量关系；②观察图②，大正方形的四条边长相等，边长既可以表示为1个小长方形的长加2个小长方形的宽，也可以表示为2个小长方形的长加中间小正方形的边长3 cm，可得到第二个等量关系。联立两个等量关系列方程组，求解出长和宽后即可计算小长方形的面积。
【解析】
解：设小长方形的宽为$x$ cm，长为$y$ cm。
根据图①的边长关系可得：$5x=3y$
根据图②的边长关系可得：$2x+y=2y+3$
联立得到方程组：
$\begin{cases}5x=3y \\ 2x+y=2y+3\end{cases}$
整理第二个方程得$y=2x-3$，将其代入$5x=3y$中：
$5x=3(2x-3)$
$5x=6x-9$
解得$x=9$
把$x=9$代入$y=2x-3$，得$y=2×9-3=15$
小长方形的面积为：$9×15=135(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
小长方形的面积为$135\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；矩形的性质；图形等量关系
【点评】
本题核心是通过观察不同拼接方式下公共边的相等关系建立方程，需要学生具备一定的图形观察能力，解题时注意不要遗漏中间小正方形的边长条件。
【难度系数】
0.6
本题是数形结合的方程应用题，解题思路如下：首先设小长方形的宽为$x$ cm、长为$y$ cm，再从两个拼接图形中找边长的等量关系：①观察图①，大长方形的上下两条长相等，上方是5个小长方形的宽拼接而成，下方是3个小长方形的长拼接而成，可得到第一个等量关系；②观察图②，大正方形的四条边长相等，边长既可以表示为1个小长方形的长加2个小长方形的宽，也可以表示为2个小长方形的长加中间小正方形的边长3 cm，可得到第二个等量关系。联立两个等量关系列方程组，求解出长和宽后即可计算小长方形的面积。
【解析】
解：设小长方形的宽为$x$ cm，长为$y$ cm。
根据图①的边长关系可得：$5x=3y$
根据图②的边长关系可得：$2x+y=2y+3$
联立得到方程组：
$\begin{cases}5x=3y \\ 2x+y=2y+3\end{cases}$
整理第二个方程得$y=2x-3$，将其代入$5x=3y$中：
$5x=3(2x-3)$
$5x=6x-9$
解得$x=9$
把$x=9$代入$y=2x-3$，得$y=2×9-3=15$
小长方形的面积为：$9×15=135(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
小长方形的面积为$135\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；矩形的性质；图形等量关系
【点评】
本题核心是通过观察不同拼接方式下公共边的相等关系建立方程，需要学生具备一定的图形观察能力，解题时注意不要遗漏中间小正方形的边长条件。
【难度系数】
0.6
19.【情境类】为了实现“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球.已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.
(1)求A,B两种品牌的足球各买一个分别需要多少元.
(2)求购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用.
(1)求A,B两种品牌的足球各买一个分别需要多少元.
(2)求购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用.
答案
19.解:(1)设购买一个A品牌的足球需要$x$元,购买一个B品牌的足球需要$y$元,根据题意,得$\begin{cases}2x+3y=380, \\ 4x+2y=360,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40, \\ y=100.\end{cases}$
答:购买一个A品牌的足球需要40元,购买一个B品牌的足球需要100元.
(2)根据题意,得$20×40+2×100=1000$(元).
答:购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元.
答:购买一个A品牌的足球需要40元,购买一个B品牌的足球需要100元.
(2)根据题意,得$20×40+2×100=1000$(元).
答:购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元.
解析
【分析】
这是购物费用类的实际应用题，解题思路如下：①第(1)问要求A、B两种品牌足球的单价，存在两个未知量，我们可以设两个未知数，从题干提取两组等量关系列二元一次方程组求解。题干给出的两个等量关系为：2个A品牌足球费用+3个B品牌足球费用=380元，4个A品牌足球费用+2个B品牌足球费用=360元。②第(2)问在求出单价的基础上，根据“总费用=单价×数量”分别计算对应数量的A、B品牌足球的费用，相加即可得到总费用。
【解析】
(1) 设购买一个A品牌的足球需要$x$元，购买一个B品牌的足球需要$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=380 \\ 4x+2y=360\end{cases}$
用加减消元法求解：将第一个方程两边同时乘2得$4x+6y=760$，用该式减去第二个方程：
$(4x+6y)-(4x+2y)=760-360$
化简得$4y=400$，解得$y=100$。
把$y=100$代入$2x+3y=380$，得$2x+3×100=380$，解得$x=40$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=40 \\ y=100\end{cases}$
答：购买一个A品牌的足球需要40元，购买一个B品牌的足球需要100元。
(2) 根据总费用计算公式可得：
$20×40 + 2×100 = 800 + 200 = 1000$（元）
答：购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元。
【答案】
(1) 购买一个A品牌的足球需要40元，购买一个B品牌的足球需要100元；
(2) 总费用为1000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，消元法解方程组，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的方程类实际应用题，核心考查学生提取题干等量关系、建立数学模型的能力，解题时只要准确梳理数量关系、正确求解方程组即可得分，是中小学数学考试的常见题型。
【难度系数】
0.8
这是购物费用类的实际应用题，解题思路如下：①第(1)问要求A、B两种品牌足球的单价，存在两个未知量，我们可以设两个未知数，从题干提取两组等量关系列二元一次方程组求解。题干给出的两个等量关系为：2个A品牌足球费用+3个B品牌足球费用=380元，4个A品牌足球费用+2个B品牌足球费用=360元。②第(2)问在求出单价的基础上，根据“总费用=单价×数量”分别计算对应数量的A、B品牌足球的费用，相加即可得到总费用。
【解析】
(1) 设购买一个A品牌的足球需要$x$元，购买一个B品牌的足球需要$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=380 \\ 4x+2y=360\end{cases}$
用加减消元法求解：将第一个方程两边同时乘2得$4x+6y=760$，用该式减去第二个方程：
$(4x+6y)-(4x+2y)=760-360$
化简得$4y=400$，解得$y=100$。
把$y=100$代入$2x+3y=380$，得$2x+3×100=380$，解得$x=40$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=40 \\ y=100\end{cases}$
答：购买一个A品牌的足球需要40元，购买一个B品牌的足球需要100元。
(2) 根据总费用计算公式可得：
$20×40 + 2×100 = 800 + 200 = 1000$（元）
答：购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元。
【答案】
(1) 购买一个A品牌的足球需要40元，购买一个B品牌的足球需要100元；
(2) 总费用为1000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，消元法解方程组，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的方程类实际应用题，核心考查学生提取题干等量关系、建立数学模型的能力，解题时只要准确梳理数量关系、正确求解方程组即可得分，是中小学数学考试的常见题型。
【难度系数】
0.8
