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1. 观察下列算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,···$. 根据上述算式中的规律，猜想$2^{10}$的末尾数字是（
A.2
B.4
C.8
D.6
B
）A.2
B.4
C.8
D.6
答案
B
2. 观察下列单项式：$3x,5x^2,9x^3,17x^4,\dots$. 根据你发现的规律，第$n$个单项式是（
A.$2^n x^n$
B.$(2^n +1)x^n$
C.$2^{n+1}x^n$
D.$(2^n +1)x^{n+1}$
B
）A.$2^n x^n$
B.$(2^n +1)x^n$
C.$2^{n+1}x^n$
D.$(2^n +1)x^{n+1}$
答案
B
3. 为了求$1+2+2^2+···+2^{2026}$的值，可令$S=1+2+2^2+···+2^{2026}$，则$2S=2+2^2+2^3+···+2^{2027}$，因此$2S - S = 2^{2027} -1$，所以$1+2+2^2+···+2^{2026}=2^{2027}-1$。仿照以上推理计算出$1+3+3^2+···+3^{2026}$的值是（
A.$\dfrac{1 - 3^{2027}}{2}$
B.$\dfrac{3 - 3^{2027}}{2}$
C.$\dfrac{3^{2027} -1}{2}$
D.$\dfrac{3^{-2027} -3}{2}$
C
）A.$\dfrac{1 - 3^{2027}}{2}$
B.$\dfrac{3 - 3^{2027}}{2}$
C.$\dfrac{3^{2027} -1}{2}$
D.$\dfrac{3^{-2027} -3}{2}$
答案
C
【解析】令 $S=1+3+3^2+\dots+3^{2026}$,①
$\therefore 3S=3+3^2+3^3+\dots+3^{2027}$,②
②减①,得 $3S-S=3^{2027}-1$,$\therefore S=\frac{3^{2027}-1}{2}$,
即 $1+3+3^2+\dots+3^{2026}=\frac{3^{2027}-1}{2}$. 故选 C.
【解析】令 $S=1+3+3^2+\dots+3^{2026}$,①
$\therefore 3S=3+3^2+3^3+\dots+3^{2027}$,②
②减①,得 $3S-S=3^{2027}-1$,$\therefore S=\frac{3^{2027}-1}{2}$,
即 $1+3+3^2+\dots+3^{2026}=\frac{3^{2027}-1}{2}$. 故选 C.
4. 如图是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 （
A
B
D
B
）A
B
D
答案
B
5. 观察图形,则第n个图形中三角形的个数是
A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
(
)
A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
(
)答案
D
6. 如图
所示的图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的. 照此规律排列下去,图①中小正方形的个数是3个,图②中小正方形的个数是8个,图③中小正方形的个数是15个,图⑨中小正方形的个数是 (
A.100
B.99
C.98
D.80
所示的图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的. 照此规律排列下去,图①中小正方形的个数是3个,图②中小正方形的个数是8个,图③中小正方形的个数是15个,图⑨中小正方形的个数是 (B
)A.100
B.99
C.98
D.80
答案
B
【解析】$\because$ 第 1 个图中小正方形的个数是$3=2^2-1$,第 2 个图中小正方形的个数是 $8=3^2-1$,第3 个图中小正方形的个数是 $15=4^2-1$,第 4 个图中小正方形的个数是 $24=5^2-1$,$\dots\dots$,$\therefore$ 第 $n$ 个图中小正方形的个数是$(n+1)^2-1$,$\therefore$ 第 9 个图中小正方形的个数是$(9+1)^2-1=100-1=99$. 故选 B.
【解析】$\because$ 第 1 个图中小正方形的个数是$3=2^2-1$,第 2 个图中小正方形的个数是 $8=3^2-1$,第3 个图中小正方形的个数是 $15=4^2-1$,第 4 个图中小正方形的个数是 $24=5^2-1$,$\dots\dots$,$\therefore$ 第 $n$ 个图中小正方形的个数是$(n+1)^2-1$,$\therefore$ 第 9 个图中小正方形的个数是$(9+1)^2-1=100-1=99$. 故选 B.
二、填空题
7. 先找规律，再填数.
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$，$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$，$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}$，则$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2025×2026}$.
7. 先找规律，再填数.
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$，$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$，$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}$，则$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2025×2026}$.
答案
$\frac{1}{1013}$
