1. (2025·长沙期中)已知$a,b$是有理数,定义新运算:$a \oplus b = \frac{|a - b| + a + b}{2}$.例如:$3 \oplus 7 = \frac{|3 - 7| + 3 + 7}{2} = 7$.
(1)当$a=-2,b=3$时,$a \oplus b =$;
(2)计算:$\frac{1}{3} \oplus 4 \oplus (-2)$;
(3)已知有理数$a,b,c(a≠b≠c)$只能从$-\frac{5}{2},-2,-\frac{4}{3},-\frac{1}{5},0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{3},3,\frac{13}{4}$这10个数中取值,求$a \oplus b \oplus c$的最小值.

1.(1)3 【解析】当a = -2, b = 3 时, a ⊕ b = -2 ⊕ 3 = $\frac{|-2 - 3| - 2 + 3}{2}$ = 3.
(2)$\frac{1}{3} \oplus 4 \oplus (-2) = \frac{\left|\frac{1}{3}-4\right|+\frac{1}{3}+4}{2} \oplus (-2) = 4 \oplus (-2) = \frac{|4 - (-2)| + 4 + (-2)}{2} = 4$.
(3)因为$a≠b≠c$,①当$a＞b$时,$a\oplus b\oplus c=a\oplus c$.当$a＞c$时,$a\oplus b\oplus c=a\oplus c=a$;当$a＜c$时,$a\oplus b\oplus c=a\oplus c=c$.②当$a＜b$时,$a\oplus b\oplus c=b\oplus c$.当$b＞c$时,$a\oplus b\oplus c=b\oplus c=b$;当$b＜c$时,$a\oplus b\oplus c=b\oplus c=c$.综上所述,$a\oplus b\oplus c$的值为$a,b,c$中的最大值,在题目所述10个数中,$a,b,c$能取到的最小值为$-\frac{5}{2},-2,-\frac{4}{3}$.因为$-\frac{5}{2}＜-2＜-\frac{4}{3}$,所以$a\oplus b\oplus c$的最小值为$-\frac{4}{3}$.

2. 在数轴上,点 A 表示的数为 1,点 B 表示的数为 3,对于数轴上的图形 M,给出如下定义:P 为图形 M 上任意一点,Q 为线段 AB 上任意一点,如果线段 PQ 的长度有最小值,那么称这个最小值为图形 M 关于线段 AB 的极小距离,记作 $d_1(M,\mathrm{线段}AB)$;如果线段 PQ 的长度有最大值,那么称这个最大值为图形 M 关于线段 AB 的极大距离,记作 $d_2(M,\mathrm{线段}AB)$.
例如:点 K 表示的数为 4,则 $d_1(\mathrm{点}K,\mathrm{线段}AB)=1,d_2(\mathrm{点}K,\mathrm{线段}AB)=3$.

已知点 O 为数轴原点,点 C,D 为数轴上的动点.
(1)$d_1(\mathrm{点}O,\mathrm{线段}AB)=$,$d_2(\mathrm{点}O,\mathrm{线段}AB)=$;
(2)若点 C 表示数 $m$,点 D 表示数 $m+2$,$d_1(\mathrm{线段}CD,\mathrm{线段}AB)=2$,求 $m$ 的值;
(3)点 C 从原点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向匀速运动,点 D 从表示数$-2$ 的点出发,第 1 秒以每秒 2 个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向匀速运动,第 2 秒以每秒 4 个单位长度的速度沿 $x$ 轴负方向匀速运动,第 3 秒以每秒 6 个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向匀速运动,第 4 秒以每秒 8 个单位长度的速度沿 $x$ 轴负方向匀速运动,$···$,按此规律运动,C,D 两点同时出发,求经过多长时间后 $d_2(\mathrm{线段}CD,\mathrm{线段}AB)=6$.

2.(1)1 3 【解析】因为点 O 到线段 AB 的最小距离为 1-0=1,所以 $d_1($点 O,线段 AB$)=1$.因为点 O 到线段 AB 的最大距离为 3-0=3,所以 $d_2($点 O,线段 AB$)=3$.
(2)当线段 CD 在线段 AB 左侧时:$d_1($线段 CD,线段 AB$)=1-(m+2)=2$,解得 $m=-3$;当线段 CD 在线段 AB 右侧时:$d_1($线段 CD,线段 AB$)=m-3=2$,解得 $m=5$.综上,$m=-3$ 或 $m=5$.
(3)设 t s 时,$d_2($线段 CD,线段 AB$)=6$,根据题意得当 $t=0$ 时,点 C 表示的数为 0,点 D 表示的数为 -2,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=3-(-2)=5$;当 $t=1$ 时,点 C 表示的数为 2,点 D 表示的数为 0,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=BD=3-0=3$;当 $t=2$ 时,点 C 表示的数为 4,点 D 表示的数为 -4,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=BD=3-(-4)=3+4=7$;当 $t=3$ 时,点 C 表示的数为 6,点 D 表示的数为 2,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=AC=6-1=5$;当 $t=4$ 时,点 C 表示的数为 8,点 D 表示的数为 -6,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=BD=3-(-6)=3+6=9$;当 $t=5$ 时,点 C 表示的数为 10,点 D 表示的数为 4,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=AC=10-1=9$;此后,点 C 表示的数大于 10,$d_2($线段 CD,线段 AB$)$ 总大于 6.
所以当 $1＜t＜2$ 或 $2＜t＜3$ 或 $3＜t＜4$ 时,存在 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=6$.
当 $1＜t＜2$ 时,点 C 表示的数为 $2t$,点 D 表示的数为 $-4(t-1)$,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=3-[-4(t-1)]=6$,得 $t=\frac{7}{4}$;
当 $2＜t＜3$ 时,点 C 表示的数为 $2t$,点 D 表示的数为 $-4+6(t-2)$,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=3-[-4+6(t-2)]=6$,得 $t=\frac{13}{6}$;当 $3＜t＜4$ 时,点 C 表示的数为 $2t$,点 D 表示的数为 $2-8(t-3)$,此时 $d_2($线段 CD,线段 AB$)=2t-1=6$ 或 $3-[2-8(t-3)]=6$,得 $t=\frac{7}{2}$ 或 $t=\frac{29}{8}$.因为 $\frac{7}{2}＜\frac{29}{8}$,所以 $t=\frac{29}{8}$ 舍去.综上所述,C,D 两点同时出发 $\frac{7}{4}$ s 或 $\frac{13}{6}$ s 或 $\frac{7}{2}$ s 时,$d_2($线段 CD,线段 AB$)=6$.