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3. 如图,在数轴上点 A 表示数-10,点 B 表示数 6.
(1)A,B 两点之间的距离等于
(2)在数轴上有一个动点 P,它表示的数是 x,则$|x+3|+|x-2|+|x-5|$的最小值是
(3)若点 A 与点 C 之间的距离表示为 AC,点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC,请在数轴上找一点C,使$AC=3BC$,则点 C 表示的数是
(4)若在原点 O 的左边 2 个单位长度处放一挡板,一小球 P 从点 A 处以 4 个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一小球 Q 从点 B 处以 2 个单位长度/秒的速度向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)两球分别以原来的速度向相反的方向运动;设运动时间为 t 秒,用含 t 的式子来表示两小球之间的距离 PQ 的长.
(1)A,B 两点之间的距离等于
16
;(2)在数轴上有一个动点 P,它表示的数是 x,则$|x+3|+|x-2|+|x-5|$的最小值是
8
;(3)若点 A 与点 C 之间的距离表示为 AC,点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC,请在数轴上找一点C,使$AC=3BC$,则点 C 表示的数是
2或14
;(4)若在原点 O 的左边 2 个单位长度处放一挡板,一小球 P 从点 A 处以 4 个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一小球 Q 从点 B 处以 2 个单位长度/秒的速度向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)两球分别以原来的速度向相反的方向运动;设运动时间为 t 秒,用含 t 的式子来表示两小球之间的距离 PQ 的长.
答案
(1)16 【解析】A,B两点之间的距离等于6-(-10)=16.
(2)8 【解析】因为|x+3|+|x-2|+|x-5|的意义是数轴上表示x的点到表示-3的点、表示2的点、表示5的点的距离之和,所以只有当表示x的点与表示2的点重合时,距离之和才能最小,即当x=2时,距离之和最小.因为当x=2时,|x+3|+|x-2|+|x-5|=|2+3|+|2-2|+|2-5|=5+0+3=8,所以|x+3|+|x-2|+|x-5|的最小值为8.
(3)2或14 【解析】设点C表示的数是x,因为在数轴上点A表示数-10,点B表示数6,所以AC=|x+10|,BC=|x-6|.因为AC=3BC,所以|x+10|=3|x-6|,所以x+10=3(x-6)或x+10=-3(x-6),解得x=14或x=2,所以点C表示的数是2或14.
(4)①当0＜t＜2时,如图:
点P表示的数是-10+4t,点Q表示的数是6-2t,所以PQ=(6-2t)-(-10+4t)=16-6t;
②当2≤t≤4时,如图:
点P表示的数是-2-(4t-8),点Q表示的数是6-2t,所以PQ=(6-2t)-[-2-(4t-8)]=2t;
③当t＞4时,如图:
点P表示的数是-2-(4t-8),点Q表示的数是-2+(2t-8),所以PQ=[-2+(2t-8)]-[-2-(4t-8)]=-2+2t-8+2+4t-8=6t-16.综上所述,PQ=$\begin{cases} 16-6t(0＜t＜2), \\ 2t(2≤ t≤ 4), \\ 6t-16(t＞4). \end{cases}$
4. 已知数轴上的点A,B,C,D所表示的数分别是a,b,c,d,且$(a+14)^2+(b+12)^2=-|c-6|-|d-8|$.
(1)求$a,b,c,d$的值.
(2)点A,C沿数轴同时出发相向匀速运动,$\frac{10}{3}$秒后两点相遇,点A的速度为每秒4个单位长度,求点C的运动速度.
(3)A,C两点以(2)中的速度从起始位置同时出发,向数轴正方向运动,与此同时,点D以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动,在$t$秒时有$BD=2AC$,求$t$的值.
(4)A,C两点以(2)中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动,当点A运动到点C起始位置时,迅速以原来速度的2倍返回;到达出发点后,保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动;当点C运动到点A起始位置时马上停止运动.当点C停止运动时,点A也停止运动.在此运动过程中,A,C两点相遇,求点A,C相遇时在数轴上对应的数.(请直接写出答案)
(1)求$a,b,c,d$的值.
(2)点A,C沿数轴同时出发相向匀速运动,$\frac{10}{3}$秒后两点相遇,点A的速度为每秒4个单位长度,求点C的运动速度.
(3)A,C两点以(2)中的速度从起始位置同时出发,向数轴正方向运动,与此同时,点D以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动,在$t$秒时有$BD=2AC$,求$t$的值.
(4)A,C两点以(2)中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动,当点A运动到点C起始位置时,迅速以原来速度的2倍返回;到达出发点后,保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动;当点C运动到点A起始位置时马上停止运动.当点C停止运动时,点A也停止运动.在此运动过程中,A,C两点相遇,求点A,C相遇时在数轴上对应的数.(请直接写出答案)
答案
(1)因为$(a+14)^2+(b+12)^2=-|c-6|-|d-8|$,所以$(a+14)^2+(b+12)^2+|c-6|+|d-8|=0$,所以a=-14,b=-12,c=6,d=8.
(2)设点C的运动速度为每秒x个单位长度,由题意得$\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}×4=AC=20$,解得x=2,所以点C的运动速度为每秒2个单位长度.
(3)t秒时,点A表示的数为-14+4t,点B表示的数为-12,点C表示的数为6+2t,点D表示的数为8+t,所以AC=|6+2t-(-14+4t)|=|20-2t|,BD=8+t-(-12)=20+t.因为BD=2AC,所以①当20-2t≥0,即0＜t≤10时,20+t=2(20-2t),解得t=4;②当20-2t＜0,即t＞10时,20+t=2(2t-20),解得t=20.所以t=4或20.
(4)点A,C相遇时在数轴对应的数为$-\frac{2}{3}$或$-\frac{22}{3}$或-10.
【解析】点C运动到点A所需时间为$\frac{6-(-14)}{2}=10$(秒),所以点A,C相遇时间t≤10,由(2)得4t+2t=20,解得t=$\frac{10}{3}$,此时A,C相遇点对应的数为$-14+4×\frac{10}{3}=-\frac{2}{3}$.点A到点C起始位置再从点C起始位置返回到点A起始位置,用时$\frac{6-(-14)}{4}+\frac{6-(-14)}{8}=7.5$(秒).
①点A第一次从点C起始位置出发后,若与点C相遇,根据题意得$8×[t-\frac{6-(-14)}{4}]=2t$,$t=\frac{20}{3}＜10$,此时相遇点为$6-2×\frac{20}{3}=-\frac{22}{3}$;②点A第三次与点C相遇,得8×(t-7.5)+2t=6-(-14),解得t=8＜10,此时相遇点对应的数为6-8×2=-10.所以点A,C相遇时在数轴上对应的数为$-\frac{2}{3}$或$-\frac{22}{3}$或-10.
(2)设点C的运动速度为每秒x个单位长度,由题意得$\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}×4=AC=20$,解得x=2,所以点C的运动速度为每秒2个单位长度.
(3)t秒时,点A表示的数为-14+4t,点B表示的数为-12,点C表示的数为6+2t,点D表示的数为8+t,所以AC=|6+2t-(-14+4t)|=|20-2t|,BD=8+t-(-12)=20+t.因为BD=2AC,所以①当20-2t≥0,即0＜t≤10时,20+t=2(20-2t),解得t=4;②当20-2t＜0,即t＞10时,20+t=2(2t-20),解得t=20.所以t=4或20.
(4)点A,C相遇时在数轴对应的数为$-\frac{2}{3}$或$-\frac{22}{3}$或-10.
【解析】点C运动到点A所需时间为$\frac{6-(-14)}{2}=10$(秒),所以点A,C相遇时间t≤10,由(2)得4t+2t=20,解得t=$\frac{10}{3}$,此时A,C相遇点对应的数为$-14+4×\frac{10}{3}=-\frac{2}{3}$.点A到点C起始位置再从点C起始位置返回到点A起始位置,用时$\frac{6-(-14)}{4}+\frac{6-(-14)}{8}=7.5$(秒).
①点A第一次从点C起始位置出发后,若与点C相遇,根据题意得$8×[t-\frac{6-(-14)}{4}]=2t$,$t=\frac{20}{3}＜10$,此时相遇点为$6-2×\frac{20}{3}=-\frac{22}{3}$;②点A第三次与点C相遇,得8×(t-7.5)+2t=6-(-14),解得t=8＜10,此时相遇点对应的数为6-8×2=-10.所以点A,C相遇时在数轴上对应的数为$-\frac{2}{3}$或$-\frac{22}{3}$或-10.
