1. 如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,b是最小的正整数,且a,c满足$|a+2|+(c-7)^2=0$.
(1)$a=$,$b=$,$c=$.
(2)点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q从点C出发,沿数轴向左匀速运动,两点同时出发,当点Q运动到点A时,点P,Q停止运动.当$PB=2PO$时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,求点Q的运动速度.(注:点O为数轴原点)

1.(1)-2 1 7 【解析】因为b是最小的正整数,且a,c满足$|a+2|+(c-7)^2=0$,所以b=1,|a+2|=0,(c-7)^2=0,所以a=-2,c=7.
(2)因为当$PB=2PO$时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,所以点Q表示的数是-1,此时CQ=7-(-1)=8,由$PB=2PO$,可分两种情况:
①当点P在OB上时,得$OP=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{3}$,此时$AP=AO+OP=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$;所以点P运动的时间为$\frac{7}{3}÷2=\frac{7}{6}$(秒),所以点Q的运动速度为$8÷\frac{7}{6}=\frac{48}{7}$个单位长度/秒;
②当点P在AO上时,得$PO=OB=1$,此时$AP=AO-PO=2-1=1$,所以点P的运动时间是$1÷2=\frac{1}{2}$(秒),所以点Q的运动速度为$8÷\frac{1}{2}=16$个单位长度/秒.综上,点Q的运动速度是每秒$\frac{48}{7}$个单位长度或者每秒16个单位长度.

2. |新定义 在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b(a≠b，ab≠0)，M为线段AB的中点，给出如下定义：若OA÷OB=4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB=4，则称A是B的“反比点”，例如：当$a=2,b=\frac{1}{2}$时，A是B的“正比点”；当$a=2,b=-2$时，A是B的“反比点”。
(1)若$|a+4|+(b-8)^2=0$，则M对应的数为________，下列说法正确的是________。(填序号)
①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”。
(2)若$ab＞0$，且M是A的“正比点”，求$\frac{a}{b}$的值。
(3)若$ab＜0$，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，求$\frac{a}{b}$的值。
▶▶进一步挑战进阶专题:P48 专题28~P53 专题32

2.(1)2 ③ 【解析】因为$|a+4|+(b-8)^2=0$,所以$|a+4|=0,(b-8)^2=0$,所以a=-4,b=8.因为点A,B对应的数分别是-4,8,M为线段AB的中点,所以点M对应的数为$\frac{-4+8}{2}=2$.因为OA=4,OB=8,OM=2,所以OA÷OM=2,A不是M的“正比点”,①错误;OA×OM=8,A不是M的“反比点”,②错误;OB÷OM=4,B是M的“正比点”,③正确;OB×OM=16,B不是M的“反比点”,④错误.综上所述,说法正确的是③.
(2)因为M为线段AB的中点,所以点M表示的数为$\frac{1}{2}(a+b)$.因为M是A的“正比点”,所以OM:OA=4,所以$\frac{1}{2}(a+b)÷a=4$,所以b=7a,所以$\frac{a}{b}=\frac{1}{7}$.
(3)因为ab＜0,所以a,b异号.因为M既是A,B其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,所以OM=4OA,OM×OB=4或OM=4OB,OM×OA=4,化简都得出OA×OB=1,所以ab=-1.分两种情况:①OM=4|a|,所以$\left|\frac{a+b}{2}\right|=4|a|$,所以$\frac{a+b}{2}=4a$或$\frac{a+b}{2}=-4a$,解得7a=b(舍去)或b=-9a,所以$\frac{a}{b}=-\frac{1}{9}$;
②OM=4|b|,所以$\left|\frac{a+b}{2}\right|=4|b|$,所以$\frac{a+b}{2}=4b$或$\frac{a+b}{2}=-4b$,解得7b=a(舍去)或a=-9b,所以$\frac{a}{b}=-9$.综上,$\frac{a}{b}$的值为-9或$-\frac{1}{9}$.