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五、走进生活。(共27分)
1.
图形都是用48厘米长的绳子围成的,先填写表格,再回答问题。
围成的正方形的个数与每个正方形的边长是否成反比例关系? 为什么?(5分)
1.
图形都是用48厘米长的绳子围成的,先填写表格,再回答问题。
围成的正方形的个数与每个正方形的边长是否成反比例关系? 为什么?(5分)
答案
1. 6 4 3 成反比例关系。因为围成的正方形的个数×每个正方形的边长=12(一定)
解析
【分析】
解题时首先要明确：48厘米是所有围成的正方形的周长总和，先据此计算出表格中对应不同正方形个数的边长数值：总周长除以正方形个数得到单个正方形的周长，再除以4就得到单个正方形的边长。接下来回忆反比例关系的判定规则：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，若二者的乘积始终固定不变，就成反比例关系，我们只需要验证正方形个数和对应边长的乘积是否为定值，就可以完成判断。
【解析】
1. 填写表格：
已知绳子总长48厘米，即所有正方形的周长之和为48厘米：
若围成2个正方形：单个正方形周长 = 48÷2 = 24厘米，边长 = 24÷4 = 6厘米
若围成3个正方形：单个正方形周长 = 48÷3 = 16厘米，边长 = 16÷4 = 4厘米
若围成4个正方形：单个正方形周长 = 48÷4 = 12厘米，边长 = 12÷4 = 3厘米
2. 反比例关系判断：
正方形的个数和每个正方形的边长是两个相关联的量，正方形个数增加时，每个正方形的边长会随之减小，计算二者的乘积：2×6=12，3×4=12，4×3=12，可得：围成的正方形的个数×每个正方形的边长=12（一定），完全符合反比例关系的判定条件，因此二者成反比例关系。
【答案】
表格填写数值依次为6、4、3；围成的正方形的个数与每个正方形的边长成反比例关系。因为围成的正方形的个数×每个正方形的边长=12(一定)
【知识点】
正方形周长计算，反比例关系判定
【点评】
本题结合动手围图形的生活场景，考察反比例的实际判定，易错点是容易忽略正方形周长是边长的4倍，误将总绳长直接作为两个量的乘积，解题时先推导两个变量的固定乘积，再对照反比例定义判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：48厘米是所有围成的正方形的周长总和，先据此计算出表格中对应不同正方形个数的边长数值：总周长除以正方形个数得到单个正方形的周长，再除以4就得到单个正方形的边长。接下来回忆反比例关系的判定规则：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，若二者的乘积始终固定不变，就成反比例关系，我们只需要验证正方形个数和对应边长的乘积是否为定值，就可以完成判断。
【解析】
1. 填写表格：
已知绳子总长48厘米，即所有正方形的周长之和为48厘米：
若围成2个正方形：单个正方形周长 = 48÷2 = 24厘米，边长 = 24÷4 = 6厘米
若围成3个正方形：单个正方形周长 = 48÷3 = 16厘米，边长 = 16÷4 = 4厘米
若围成4个正方形：单个正方形周长 = 48÷4 = 12厘米，边长 = 12÷4 = 3厘米
2. 反比例关系判断：
正方形的个数和每个正方形的边长是两个相关联的量，正方形个数增加时，每个正方形的边长会随之减小，计算二者的乘积：2×6=12，3×4=12，4×3=12，可得：围成的正方形的个数×每个正方形的边长=12（一定），完全符合反比例关系的判定条件，因此二者成反比例关系。
【答案】
表格填写数值依次为6、4、3；围成的正方形的个数与每个正方形的边长成反比例关系。因为围成的正方形的个数×每个正方形的边长=12(一定)
【知识点】
正方形周长计算，反比例关系判定
【点评】
本题结合动手围图形的生活场景，考察反比例的实际判定，易错点是容易忽略正方形周长是边长的4倍，误将总绳长直接作为两个量的乘积，解题时先推导两个变量的固定乘积，再对照反比例定义判断即可。
【难度系数】
0.7
2. 小明买4本同样的练习本用了4.8元,3.6元可以买多少本这样的练习本?(4分)
答案
2. $3.6÷(4.8÷4)=3$(本)
解析
【分析】
这是典型的归一问题，解题思路是先求出单一量也就是单本练习本的价格，再计算指定总价能购买的数量。首先根据已知的4本练习本总价4.8元，利用“单价=总价÷数量”算出每本练习本的价格，再用3.6元的总钱数除以算出的单价，就能得到可以购买的练习本数量。
【解析】
第一步：先计算单本练习本的单价
已知4本练习本总价为4.8元，根据单价计算公式：
单价 = 总价 ÷ 数量 = 4.8 ÷ 4 = 1.2（元/本）
第二步：计算3.6元可购买的练习本数量
根据数量计算公式：
数量 = 总价 ÷ 单价 = 3.6 ÷ 1.2 = 3（本）
合并为综合算式为：$3.6÷(4.8÷4)=3$（本）
【答案】
3本
【知识点】
归一问题，小数除法，总价单价数量关系
【点评】
本题是小数除法章节的基础应用题，核心考察学生对归一问题解题逻辑的掌握，以及总价、单价、数量三者的数量关系运用，计算难度低，也可通过正比例列方程的方法求解，适合巩固小数除法的基础运算能力。
【难度系数】
0.9
这是典型的归一问题，解题思路是先求出单一量也就是单本练习本的价格，再计算指定总价能购买的数量。首先根据已知的4本练习本总价4.8元，利用“单价=总价÷数量”算出每本练习本的价格，再用3.6元的总钱数除以算出的单价，就能得到可以购买的练习本数量。
【解析】
第一步：先计算单本练习本的单价
已知4本练习本总价为4.8元，根据单价计算公式：
单价 = 总价 ÷ 数量 = 4.8 ÷ 4 = 1.2（元/本）
第二步：计算3.6元可购买的练习本数量
根据数量计算公式：
数量 = 总价 ÷ 单价 = 3.6 ÷ 1.2 = 3（本）
合并为综合算式为：$3.6÷(4.8÷4)=3$（本）
【答案】
3本
【知识点】
归一问题，小数除法，总价单价数量关系
【点评】
本题是小数除法章节的基础应用题，核心考察学生对归一问题解题逻辑的掌握，以及总价、单价、数量三者的数量关系运用，计算难度低，也可通过正比例列方程的方法求解，适合巩固小数除法的基础运算能力。
【难度系数】
0.9
3. 《张丘建算经》记载:"今有七百人造浮桥,九日成。今增五百人,问日几何。"题意是造一座浮桥,700人需要施工9天,如果增加500人,那么需要施工多少天?(4分)
答案
3. 设需要施工$ x $天。$(700+500)x=700×9$ $x=5.25$
解析
【分析】
这道题属于工程类的反比例应用题，解题的核心逻辑是造浮桥的总工作量是固定不变的，我们默认每个工人的工作效率完全相同，就可以用「总人数×工作天数」来代表总工作量。首先先明确已知条件：原人数700人，原工期9天，新增500人后总人数变为1200人，我们只需要抓住“前后总工作量相等”这个等量关系，设新的工期为未知数，列方程求解就能得到结果。
【解析】
解：设增加500人后需要施工$ x $天。
此时总施工人数为$ 700+500=1200 $人，根据造浮桥的总工作量恒定，可列方程：
$(700+500)x = 700 × 9$
化简计算得：
$1200x = 6300$
$x = 6300 ÷ 1200$
$x = 5.25$
【答案】
5.25天
【知识点】
工程总量恒定，一元一次方程应用，反比例关系
【点评】
本题以古代数学典籍的记载为背景，核心考察工程问题的基础逻辑，不需要额外计算单人工作效率，直接利用总工作量不变的隐含条件就能快速建立等量关系，难度较低，易错点是部分同学容易搞错新增人数后的总人数，误把500直接代入计算导致结果错误。
【难度系数】
0.8
这道题属于工程类的反比例应用题，解题的核心逻辑是造浮桥的总工作量是固定不变的，我们默认每个工人的工作效率完全相同，就可以用「总人数×工作天数」来代表总工作量。首先先明确已知条件：原人数700人，原工期9天，新增500人后总人数变为1200人，我们只需要抓住“前后总工作量相等”这个等量关系，设新的工期为未知数，列方程求解就能得到结果。
【解析】
解：设增加500人后需要施工$ x $天。
此时总施工人数为$ 700+500=1200 $人，根据造浮桥的总工作量恒定，可列方程：
$(700+500)x = 700 × 9$
化简计算得：
$1200x = 6300$
$x = 6300 ÷ 1200$
$x = 5.25$
【答案】
5.25天
【知识点】
工程总量恒定，一元一次方程应用，反比例关系
【点评】
本题以古代数学典籍的记载为背景，核心考察工程问题的基础逻辑，不需要额外计算单人工作效率，直接利用总工作量不变的隐含条件就能快速建立等量关系，难度较低，易错点是部分同学容易搞错新增人数后的总人数，误把500直接代入计算导致结果错误。
【难度系数】
0.8
4. 学校要装修会议室,用边长0.4米的方砖铺地需要方砖720块。若改用边长0.3米的方砖铺,则需要多少块方砖?(4分)
答案
4. $0.4×0.4×720÷(0.3×0.3)=1280$(块)
解析
【分析】
这道题的核心隐含条件是会议室地面的总面积固定不变，我们可以按如下思路解题：第一步，先根据原来边长0.4米的方砖，算出单块方砖的面积，再乘对应的总块数720，得到会议室地面的总面积；第二步，算出新的边长0.3米的方砖的单块面积；第三步，用地面总面积除以新方砖的单块面积，得到的结果就是改用新方砖需要的总块数。要注意不能直接用边长的倍数关系计算块数，方砖的铺地能力是由单块面积决定的，并非由边长直接决定。
【解析】
步骤1：计算单块旧方砖的面积
根据正方形面积公式，单块边长0.4米的方砖面积为：
$0.4×0.4=0.16$（平方米）
步骤2：计算会议室地面的总面积
总面积等于单块旧方砖面积乘旧方砖总块数：
$0.16×720=115.2$（平方米）
步骤3：计算单块新方砖的面积
单块边长0.3米的方砖面积为：
$0.3×0.3=0.09$（平方米）
步骤4：计算需要的新方砖块数
新方砖块数等于地面总面积除以单块新方砖面积：
$115.2÷0.09=1280$（块）
综合列式为：$0.4×0.4×720÷(0.3×0.3)=1280$(块)
【答案】1280块
【知识点】正方形面积计算，归总应用题
【点评】本题是小学典型的铺地类归总问题，核心是抓住“地面总面积不变”的等量关系，易错点是学生容易忽略方砖的面积属性，直接用边长的比值计算所需块数导致出错，先求总面积再反求新方砖数量是这类题的通用解题思路。
【难度系数】0.8
这道题的核心隐含条件是会议室地面的总面积固定不变，我们可以按如下思路解题：第一步，先根据原来边长0.4米的方砖，算出单块方砖的面积，再乘对应的总块数720，得到会议室地面的总面积；第二步，算出新的边长0.3米的方砖的单块面积；第三步，用地面总面积除以新方砖的单块面积，得到的结果就是改用新方砖需要的总块数。要注意不能直接用边长的倍数关系计算块数，方砖的铺地能力是由单块面积决定的，并非由边长直接决定。
【解析】
步骤1：计算单块旧方砖的面积
根据正方形面积公式，单块边长0.4米的方砖面积为：
$0.4×0.4=0.16$（平方米）
步骤2：计算会议室地面的总面积
总面积等于单块旧方砖面积乘旧方砖总块数：
$0.16×720=115.2$（平方米）
步骤3：计算单块新方砖的面积
单块边长0.3米的方砖面积为：
$0.3×0.3=0.09$（平方米）
步骤4：计算需要的新方砖块数
新方砖块数等于地面总面积除以单块新方砖面积：
$115.2÷0.09=1280$（块）
综合列式为：$0.4×0.4×720÷(0.3×0.3)=1280$(块)
【答案】1280块
【知识点】正方形面积计算，归总应用题
【点评】本题是小学典型的铺地类归总问题，核心是抓住“地面总面积不变”的等量关系，易错点是学生容易忽略方砖的面积属性，直接用边长的比值计算所需块数导致出错，先求总面积再反求新方砖数量是这类题的通用解题思路。
【难度系数】0.8
5. 甲、乙两人进行60米赛跑,甲离终点还有10米时,比乙领先10米,如果两人按原速冲向终点,那么当甲到终点时,将比乙领先多少米?(4分)
答案
5. $60-10-10=40$(米) $60-10=50$(米) 设当甲到终点时,乙跑了$ x $米。 $50:40=60:x$ $x=48$ $60-48=12$(米)
解析
【分析】
解题时首先要先找到同一时刻甲乙两人各自的已跑路程：总赛程是60米，当甲离终点还有10米时，甲实际已经跑了50米，此时甲比乙领先10米，说明乙此时只跑了40米。这一阶段两人运动时间完全相同，根据行程规律，时间相同时路程比等于速度比，就能直接得到甲乙的速度比为50:40。后续两人保持原速不变，所以全程的总路程比依然等于速度比，我们可以设甲跑完全程时乙的总路程为x，通过比例方程求出乙的总路程，最后用总赛程减去乙的总路程，就能算出甲比乙领先的距离。
【解析】
1. 计算甲、乙同一时刻的已跑路程
甲离终点10米时，甲跑过的路程：$60-10=50$（米）
此时甲比乙领先10米，乙跑过的路程：$50-10=40$（米）
2. 列比例方程求解乙的总路程
设当甲跑到终点时，乙一共跑了$x$米。
由于两人速度不变，相同时间内路程比等于速度比，可得比例式：
$50:40=60:x$
根据比例的基本性质“内项积等于外项积”计算：
$50x=40×60$
$50x=2400$
$x=48$
3. 计算甲领先的距离
甲到终点时，领先乙的距离为总赛程减去乙的总路程：
$60-48=12$（米）
【答案】12米
【知识点】行程比例关系，比例方程求解
【点评】本题是行程问题的基础比例应用题，核心是利用速度不变时路程和时间的正比关系解题，要避免惯性思维错误，不能直接误以为甲到终点时仅领先10米，通过比例推导可以严谨得到正确结果。
【难度系数】0.6
解题时首先要先找到同一时刻甲乙两人各自的已跑路程：总赛程是60米，当甲离终点还有10米时，甲实际已经跑了50米，此时甲比乙领先10米，说明乙此时只跑了40米。这一阶段两人运动时间完全相同，根据行程规律，时间相同时路程比等于速度比，就能直接得到甲乙的速度比为50:40。后续两人保持原速不变，所以全程的总路程比依然等于速度比，我们可以设甲跑完全程时乙的总路程为x，通过比例方程求出乙的总路程，最后用总赛程减去乙的总路程，就能算出甲比乙领先的距离。
【解析】
1. 计算甲、乙同一时刻的已跑路程
甲离终点10米时，甲跑过的路程：$60-10=50$（米）
此时甲比乙领先10米，乙跑过的路程：$50-10=40$（米）
2. 列比例方程求解乙的总路程
设当甲跑到终点时，乙一共跑了$x$米。
由于两人速度不变，相同时间内路程比等于速度比，可得比例式：
$50:40=60:x$
根据比例的基本性质“内项积等于外项积”计算：
$50x=40×60$
$50x=2400$
$x=48$
3. 计算甲领先的距离
甲到终点时，领先乙的距离为总赛程减去乙的总路程：
$60-48=12$（米）
【答案】12米
【知识点】行程比例关系，比例方程求解
【点评】本题是行程问题的基础比例应用题，核心是利用速度不变时路程和时间的正比关系解题，要避免惯性思维错误，不能直接误以为甲到终点时仅领先10米，通过比例推导可以严谨得到正确结果。
【难度系数】0.6
6. 一辆载重10吨的卡车。装满货物从A市出发,以80千米/时的速度行驶,4.2小时将货物送到B市。卸完货物后从B市返回,由于是空车,返回的速度比送货时提高了5%。这辆卡车从B市返回A市行驶了多少小时?(6分)
答案
6. 设这辆卡车从B市返回A市行驶了$ x $小时。 $80×(1+5\% )x=80×4.2$ $x=4$
解析
【分析】
这道题属于行程类应用题，解题的核心突破口是卡车往返A、B两市的路程完全相等。首先第一步，先提取有效已知条件：送货时的速度是80千米/时，行驶时间是4.2小时，根据行程问题的基础公式“路程=速度×时间”，就可以算出A市到B市的总路程。第二步，根据“返回速度比送货时提高5%”的条件，计算出空车返回的实际行驶速度。最后利用“返回路程=去程路程”的等量关系，既可以用总路程除以返回速度算出返回时间，也可以直接列方程求解，注意题目里给出的“载重10吨”是无关干扰条件，不需要参与计算。
【解析】
我们可以利用往返路程相等的等量关系列方程求解：
1. 设这辆卡车从B市返回A市行驶了$x$小时。
2. 计算返回时的速度：返回速度比送货速度提高5%，因此返回速度为$80×(1+5\%)=84$千米/时。
3. 列路程相等的方程：
返回的总路程 = 去程的总路程
即 $80×(1+5\%)x=80×4.2$
4. 化简并解方程：
$84x=336$
$x=336÷84$
$x=4$
【答案】
4小时
【知识点】
行程基本公式，百分数应用，列方程解应用题
【点评】
本题是行程与百分数结合的基础应用题，核心考点是抓住往返路程不变的等量关系，题目给出的“载重10吨”是典型的干扰条件，只要排除无关信息干扰，理清速度、时间、路程的对应关系就可以轻松求解，除了方程法也可以用算术法直接计算，两种方法都能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这道题属于行程类应用题，解题的核心突破口是卡车往返A、B两市的路程完全相等。首先第一步，先提取有效已知条件：送货时的速度是80千米/时，行驶时间是4.2小时，根据行程问题的基础公式“路程=速度×时间”，就可以算出A市到B市的总路程。第二步，根据“返回速度比送货时提高5%”的条件，计算出空车返回的实际行驶速度。最后利用“返回路程=去程路程”的等量关系，既可以用总路程除以返回速度算出返回时间，也可以直接列方程求解，注意题目里给出的“载重10吨”是无关干扰条件，不需要参与计算。
【解析】
我们可以利用往返路程相等的等量关系列方程求解：
1. 设这辆卡车从B市返回A市行驶了$x$小时。
2. 计算返回时的速度：返回速度比送货速度提高5%，因此返回速度为$80×(1+5\%)=84$千米/时。
3. 列路程相等的方程：
返回的总路程 = 去程的总路程
即 $80×(1+5\%)x=80×4.2$
4. 化简并解方程：
$84x=336$
$x=336÷84$
$x=4$
【答案】
4小时
【知识点】
行程基本公式，百分数应用，列方程解应用题
【点评】
本题是行程与百分数结合的基础应用题，核心考点是抓住往返路程不变的等量关系，题目给出的“载重10吨”是典型的干扰条件，只要排除无关信息干扰，理清速度、时间、路程的对应关系就可以轻松求解，除了方程法也可以用算术法直接计算，两种方法都能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
工厂加工一批零件,如果每小时加工84个,就比计划时间提前2小时完成。如果每小时加工72个,就比计划时间推迟3小时完成。这批零件有多少个?
答案
设计划时间为$ x $小时。 $84×(x-2)=72×(x+3)$ $x=32$ $84×(32-2)=2520$(个)
解析
【分析】
这道题的核心隐含条件是这批零件的总数量固定不变，我们可以利用这个等量关系梳理思路：首先两种不同加工效率下，实际加工时长和计划时长的对应关系是明确的，间接设计划完成时间为未知数，就可以分别用两种效率表示出零件总数量，让两个表达式相等就能列出方程，先解出计划时间，再代入计算就能得到零件总个数，这种间接设元的思路比直接设零件总数为未知数计算更简便，不容易出错。
【解析】
解：设原计划完成这批零件的时间为$ x $小时。
1. 每小时加工84个时，比计划提前2小时完成，实际用时为$ x-2 $小时，零件总数量可表示为$ 84×(x-2) $；
2. 每小时加工72个时，比计划推迟3小时完成，实际用时为$ x+3 $小时，零件总数量可表示为$ 72×(x+3) $；
3. 由于零件总数量相等，列出方程：
$84×(x-2) = 72×(x+3)$
展开并整理方程：
$84x - 168 = 72x + 216$
$84x - 72x = 216 + 168$
$12x = 384$
解得$ x=32 $，即计划完成时间为32小时。
4. 代入计算零件总数量：
$ 84×(32-2) = 84×30 = 2520 $（个）
【答案】
这批零件有2520个。
【知识点】
列方程解应用题，工作总量=效率×时间
【点评】
本题属于典型的工程类盈亏问题，核心是抓住“零件总数量不变”的隐含等量关系，采用间接设未知数的方式，避免了直接设总零件数带来的复杂分数运算，解题逻辑清晰，是小学高年级方程应用的常见考察题型。
【难度系数】
0.6
这道题的核心隐含条件是这批零件的总数量固定不变，我们可以利用这个等量关系梳理思路：首先两种不同加工效率下，实际加工时长和计划时长的对应关系是明确的，间接设计划完成时间为未知数，就可以分别用两种效率表示出零件总数量，让两个表达式相等就能列出方程，先解出计划时间，再代入计算就能得到零件总个数，这种间接设元的思路比直接设零件总数为未知数计算更简便，不容易出错。
【解析】
解：设原计划完成这批零件的时间为$ x $小时。
1. 每小时加工84个时，比计划提前2小时完成，实际用时为$ x-2 $小时，零件总数量可表示为$ 84×(x-2) $；
2. 每小时加工72个时，比计划推迟3小时完成，实际用时为$ x+3 $小时，零件总数量可表示为$ 72×(x+3) $；
3. 由于零件总数量相等，列出方程：
$84×(x-2) = 72×(x+3)$
展开并整理方程：
$84x - 168 = 72x + 216$
$84x - 72x = 216 + 168$
$12x = 384$
解得$ x=32 $，即计划完成时间为32小时。
4. 代入计算零件总数量：
$ 84×(32-2) = 84×30 = 2520 $（个）
【答案】
这批零件有2520个。
【知识点】
列方程解应用题，工作总量=效率×时间
【点评】
本题属于典型的工程类盈亏问题，核心是抓住“零件总数量不变”的隐含等量关系，采用间接设未知数的方式，避免了直接设总零件数带来的复杂分数运算，解题逻辑清晰，是小学高年级方程应用的常见考察题型。
【难度系数】
0.6
