22.(8分)阅读材料:若两个数的积等于这两个数和的2倍,称这两个数为“伙伴数”。例如：$(-2)×1=2×(-2+1)$,所以-2和1就是一对“伙伴数”。
请完成下列问题：
(1)若$x$与5是一对“伙伴数”,请求出$x$的值；
(2)若$m$与$n$是一对“伙伴数”,且$m,n$均不为0,请判断等式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$是否成立？如果成立,请说明理由；
(3)是否存在均为正整数的“伙伴数”？若存在,求出所有符合条件的“伙伴数”；若不存在,说明理由。

22.解:(1)因为$x$与5是一对“伙伴数”,所以$5x=2(x+5)$,解得$x=\dfrac{10}{3}$。
(2)$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2}$成立。 理由如下:因为$m$与$n$是一对“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$,所以$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{mn}+\dfrac{m}{mn}=\dfrac{m+n}{mn}=\dfrac{m+n}{2(m+n)}=\dfrac{1}{2}$。
(3)存在。 设这两个数是$m,n$。因为这两个正整数是“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$,所以$mn=2m+2n$,所以$mn-2m-2n=0$,所以$mn-2m-2n+4=4$,所以$m(n-2)-2(n-2)=4$,所以$(m-2)(n-2)=4$,所以$m-2=1$,$n-2=4$或$m-2=4$,$n-2=1$或$m-2=n-2=2$,解得$m=3$,$n=6$或$m=6$,$n=3$或$m=n=4$,所以均为正整数的“伙伴数”为3,6或6,3或4,4。 难点突破:本题属于新定义题,(1)相对简单,理解伙伴数的定义,按要求求解即可,(2)的难点在于得到$mn=2(m+n)$,(3)的难点在于需要将式子进行因式分解,进而利用整数的相关性质求解。

【分析】
首先明确“伙伴数”的定义：若两个数的积等于这两个数和的2倍，则这两个数为“伙伴数”，对应数学关系为$ab=2(a+b)$。解题时先将文字定义转化为数学式子，再分三小问逐步推导：
(1) 第1小问直接将$x$和5代入定义式，列一元一次方程求解$x$；
(2) 第2小问从“伙伴数”定义得到$mn=2(m+n)$，对等式左边分式通分变形，代入化简验证是否等于$\frac{1}{2}$；
(3) 第3小问设正整数伙伴数为$m、n$，根据定义列方程，通过因式分解转化为整数乘积形式，结合正整数性质找出所有解。
【解析】
(1) 因为$x$与5是一对“伙伴数”，根据定义得：
$5x = 2(x + 5)$
去括号：$5x = 2x + 10$
移项合并同类项：$3x = 10$
解得：$x = \frac{10}{3}$
(2) 等式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$成立，理由如下：
因为$m$与$n$是一对“伙伴数”，所以$mn = 2(m + n)$
对$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} = \frac{n}{mn} + \frac{m}{mn} = \frac{m + n}{mn}$
将$mn=2(m+n)$代入上式：
$\frac{m + n}{mn} = \frac{m + n}{2(m + n)}$
因为$m、n$均不为0，所以$m + n ≠ 0$，约分后得$\frac{1}{2}$，故等式成立。
(3) 存在均为正整数的“伙伴数”，理由如下：
设这两个正整数为$m、n$，根据“伙伴数”的定义得：
$mn = 2(m + n)$
整理得：$mn - 2m - 2n = 0$
两边同时加4进行因式分解：
$mn - 2m - 2n + 4 = 4 → (m - 2)(n - 2) = 4$
因为$m、n$是正整数，所以$m - 2、n - 2$均为整数，且乘积为4，其正整数因数组合为：
① $m - 2 = 1，n - 2 = 4 → m=3，n=6$
② $m - 2 = 4，n - 2 = 1 → m=6，n=3$
③ $m - 2 = 2，n - 2 = 2 → m=4，n=4$
因此，符合条件的“伙伴数”为3和6、6和3、4和4。
【答案】
(1) $x=\dfrac{10}{3}$；(2) 成立；(3) 存在，为3和6、6和3、4和4。
【知识点】
新定义运算、因式分解的应用、分式的加减运算
【点评】
本题为新定义类代数综合题，核心考查对新定义的理解及代数变形能力，第(3)问需通过因式分解结合整数性质求解，区分度较好，能有效考查学生的逻辑推理与运算能力。
【难度系数】
0.5