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23.(10分)综合实践:如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式?
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式?
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品,已知篮球的单价比排球的单价贵20元,用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍。
素材2 学校花费1 680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”,其中购买的排球数量比篮球数量多8个。
素材3 学校花费1 680元后,商家赠送若干张抵扣券(满100元抵扣20元,每件商品限用1张),学校准备花费1 260元再次购买这种篮球和排球,其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$。
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法,求出篮球与排球的单价;
任务2 求商品的数量 利用素材2,求出该校花费1 680元购买的篮球和排球的数量;
任务3 确定抵扣方式 基于素材3,求出排球中使用抵扣券的数量。
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式?
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品,已知篮球的单价比排球的单价贵20元,用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍。
素材2 学校花费1 680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”,其中购买的排球数量比篮球数量多8个。
素材3 学校花费1 680元后,商家赠送若干张抵扣券(满100元抵扣20元,每件商品限用1张),学校准备花费1 260元再次购买这种篮球和排球,其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$。
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法,求出篮球与排球的单价;
任务2 求商品的数量 利用素材2,求出该校花费1 680元购买的篮球和排球的数量;
任务3 确定抵扣方式 基于素材3,求出排球中使用抵扣券的数量。
答案
23.解:任务1:设排球的单价为$x$元,则篮球的单价为$(x+20)$元。由题意,得$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$,解得$x=100$。经检验,$x=100$是所列方程的根,且符合题意,所以$x+20=120$。答:排球的单价为100元,篮球的单价为120元。
任务2:设购买篮球的数量为$m$个,则购买排球的数量为$(m+8)$个。由题意,得$120m+100(m+8)=1680$,解得$m=4$,所以购买排球的数量为$m+8=12$(个)。答:购买篮球的数量为4个,排球的数量为12个。
任务3:设第二次购买了$a$个篮球,$b$个排球,且购买的排球中使用抵扣券的数量是$c$个,则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是$\dfrac{a+b}{3}$个,所以第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}$(个),所以$120a+100b-20(c+\dfrac{2a-b}{3})=1260$,所以$\dfrac{320}{3}a+\dfrac{320}{3}b-20c=1260$,所以$16(a+b)-3c=189$,因为$\dfrac{a+b}{3}$一定是正整数,所以$a+b$一定是3的倍数。设$a+b=3k$($k$为正整数),所以$48k-3c=189$,所以$16k-c=63$,因为$c＜a+b$,所以$c＜3k$。当$k=4$时,$c=1$;当$k=5$时,$c=17$(不符合题意,舍去),随着$k$的增大,$\dfrac{63}{16k}$的结果越来越小,所以$\dfrac{c}{16k}$的结果越来越大。因为当$k=5$时,$c=17$,此时$c＞3k$,所以当$k＞5$时,$c＞3k$,所以只有$k=4$,$c=1$满足题意。答:排球中使用抵扣券的数量为1。
任务2:设购买篮球的数量为$m$个,则购买排球的数量为$(m+8)$个。由题意,得$120m+100(m+8)=1680$,解得$m=4$,所以购买排球的数量为$m+8=12$(个)。答:购买篮球的数量为4个,排球的数量为12个。
任务3:设第二次购买了$a$个篮球,$b$个排球,且购买的排球中使用抵扣券的数量是$c$个,则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是$\dfrac{a+b}{3}$个,所以第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}$(个),所以$120a+100b-20(c+\dfrac{2a-b}{3})=1260$,所以$\dfrac{320}{3}a+\dfrac{320}{3}b-20c=1260$,所以$16(a+b)-3c=189$,因为$\dfrac{a+b}{3}$一定是正整数,所以$a+b$一定是3的倍数。设$a+b=3k$($k$为正整数),所以$48k-3c=189$,所以$16k-c=63$,因为$c＜a+b$,所以$c＜3k$。当$k=4$时,$c=1$;当$k=5$时,$c=17$(不符合题意,舍去),随着$k$的增大,$\dfrac{63}{16k}$的结果越来越小,所以$\dfrac{c}{16k}$的结果越来越大。因为当$k=5$时,$c=17$,此时$c＞3k$,所以当$k＞5$时,$c＞3k$,所以只有$k=4$,$c=1$满足题意。答:排球中使用抵扣券的数量为1。
解析
【分析】
本题是结合实际情境的综合应用题，分三个任务逐步求解：任务1通过设排球单价为未知数，利用“800元买排球数量是480元买篮球数量的2倍”的数量关系列分式方程，求解并检验得到单价；任务2根据任务1的单价，结合“排球数量比篮球多8个、总花费1680元”列一元一次方程，求解购买数量；任务3需结合抵扣券规则（满100元抵20元，每件限用1张）和“篮球未用抵扣券数量为两球总数的1/3”的条件，设未知数建立方程，结合正整数约束和数量合理性求解排球使用抵扣券的数量。
【解析】
任务1：设排球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x+20)$元。
根据题意，“用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍”，列方程：
$\frac{800}{x}=2×\frac{480}{x+20}$
解方程：
两边同乘$x(x+20)$得：$800(x+20)=960x$
展开得：$800x +16000=960x$
移项合并得：$160x=16000$，解得$x=100$
经检验，$x=100$是原方程的根，且符合题意，因此篮球单价为$100+20=120$元。
任务2：设购买篮球的数量为$m$个，则购买排球的数量为$(m+8)$个。
根据总花费1680元，列方程：
$120m +100(m+8)=1680$
展开得：$120m +100m +800=1680$
合并得：$220m=880$，解得$m=4$
则排球数量为$4+8=12$个。
任务3：设第二次购买篮球$a$个，排球$b$个，排球中使用抵扣券的数量为$c$个。
由“购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$”，得篮球未用抵扣券数量为$\frac{a+b}{3}$，则篮球使用抵扣券数量为$a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a - b}{3}$。
根据抵扣规则，总花费=篮球总价+排球总价 - 抵扣金额（抵扣金额=20×使用抵扣券的总数量），列方程：
$120a +100b -20(\frac{2a - b}{3} + c)=1260$
两边同乘3消分母：
$360a +300b -20(2a - b +3c)=3780$
展开合并得：$320a +320b -60c=3780$
两边同除以20化简：$16(a+b)-3c=189$
因为$\frac{a+b}{3}$是正整数，所以设$a+b=3k$（$k$为正整数），代入得：
$16×3k -3c=189$，即$16k -c=63$，得$c=16k -63$
又因为$c ＜ a+b=3k$，所以$16k -63 ＜3k$，解得$k ＜ \frac{63}{13}\approx4.85$，$k$为正整数，故$k=4$
代入得$c=16×4 -63=1$，符合$c＜3×4=12$的合理性要求。
【答案】
任务1：排球单价为100元，篮球单价为120元；任务2：购买篮球4个，排球12个；任务3：排球中使用抵扣券的数量为1。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用；不等式的应用
【点评】
本题为结合实际场景的综合应用题，前两问为基础的方程求解，第三问需结合抵扣规则和数量约束分析，对逻辑推理能力有一定要求，需注意检验解的实际合理性。
【难度系数】
0.5
本题是结合实际情境的综合应用题，分三个任务逐步求解：任务1通过设排球单价为未知数，利用“800元买排球数量是480元买篮球数量的2倍”的数量关系列分式方程，求解并检验得到单价；任务2根据任务1的单价，结合“排球数量比篮球多8个、总花费1680元”列一元一次方程，求解购买数量；任务3需结合抵扣券规则（满100元抵20元，每件限用1张）和“篮球未用抵扣券数量为两球总数的1/3”的条件，设未知数建立方程，结合正整数约束和数量合理性求解排球使用抵扣券的数量。
【解析】
任务1：设排球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x+20)$元。
根据题意，“用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍”，列方程：
$\frac{800}{x}=2×\frac{480}{x+20}$
解方程：
两边同乘$x(x+20)$得：$800(x+20)=960x$
展开得：$800x +16000=960x$
移项合并得：$160x=16000$，解得$x=100$
经检验，$x=100$是原方程的根，且符合题意，因此篮球单价为$100+20=120$元。
任务2：设购买篮球的数量为$m$个，则购买排球的数量为$(m+8)$个。
根据总花费1680元，列方程：
$120m +100(m+8)=1680$
展开得：$120m +100m +800=1680$
合并得：$220m=880$，解得$m=4$
则排球数量为$4+8=12$个。
任务3：设第二次购买篮球$a$个，排球$b$个，排球中使用抵扣券的数量为$c$个。
由“购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$”，得篮球未用抵扣券数量为$\frac{a+b}{3}$，则篮球使用抵扣券数量为$a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a - b}{3}$。
根据抵扣规则，总花费=篮球总价+排球总价 - 抵扣金额（抵扣金额=20×使用抵扣券的总数量），列方程：
$120a +100b -20(\frac{2a - b}{3} + c)=1260$
两边同乘3消分母：
$360a +300b -20(2a - b +3c)=3780$
展开合并得：$320a +320b -60c=3780$
两边同除以20化简：$16(a+b)-3c=189$
因为$\frac{a+b}{3}$是正整数，所以设$a+b=3k$（$k$为正整数），代入得：
$16×3k -3c=189$，即$16k -c=63$，得$c=16k -63$
又因为$c ＜ a+b=3k$，所以$16k -63 ＜3k$，解得$k ＜ \frac{63}{13}\approx4.85$，$k$为正整数，故$k=4$
代入得$c=16×4 -63=1$，符合$c＜3×4=12$的合理性要求。
【答案】
任务1：排球单价为100元，篮球单价为120元；任务2：购买篮球4个，排球12个；任务3：排球中使用抵扣券的数量为1。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用；不等式的应用
【点评】
本题为结合实际场景的综合应用题，前两问为基础的方程求解，第三问需结合抵扣规则和数量约束分析，对逻辑推理能力有一定要求，需注意检验解的实际合理性。
【难度系数】
0.5
