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9.(改编)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$O$,并且$∠ DAC=60°,∠ ADB=15°$。$E$是边$AD$上一动点,延长$EO$交$BC$于点$F$,连结$AF,CE$。当点$E$从点$D$向点$A$移动过程中(点$E$与点$D,A$不重合),则四边形$AFCE$的变化是 ……（
A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
B
）A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
答案
B
解析
【分析】首先，根据平行四边形ABCD的性质，AD与BC平行且相等，对角线互相平分，可证明△AOE和△COF全等，得出AE与CF平行且相等，因此四边形AFCE始终为平行四边形。接下来分析E从D向A移动过程中，该平行四边形的特殊变化：当对角线垂直时变为菱形，当有一个内角为直角时变为矩形，结合移动顺序可判断变化过程。
【解析】
1. 证明四边形AFCE为平行四边形：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA=OC，
∴ ∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ AE=CF，又AE//CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形。
2. 分析特殊状态：
当EF⊥AC时：平行四边形的对角线互相垂直，此时四边形AFCE为菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）；
继续移动E，当CE⊥AD时：∠AEC=90°，此时平行四边形AFCE有一个内角为直角，变为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
E继续向A移动，直角和垂直状态消失，回到普通平行四边形，直到E与A重合。
因此，变化顺序为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】本题结合平行四边形性质，考查特殊平行四边形的判定，需理清动点移动过程中图形的变化规律，中等难度。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 证明四边形AFCE为平行四边形：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA=OC，
∴ ∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ AE=CF，又AE//CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形。
2. 分析特殊状态：
当EF⊥AC时：平行四边形的对角线互相垂直，此时四边形AFCE为菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）；
继续移动E，当CE⊥AD时：∠AEC=90°，此时平行四边形AFCE有一个内角为直角，变为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
E继续向A移动，直角和垂直状态消失，回到普通平行四边形，直到E与A重合。
因此，变化顺序为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】本题结合平行四边形性质，考查特殊平行四边形的判定，需理清动点移动过程中图形的变化规律，中等难度。
【难度系数】0.5
10.如图,在矩形ABCD中,E,F分别为BC,AD上的点,BE=DF,连结EF,CF,过点D作DG//CF,交EF的延长线于点G,连结CG。若要知道矩形ABCD的面积,则只需要知道下列哪个图形的面积?该图形是……………………………（
A.$△ CEG$
B.$△ CEF$
C.四边形ECDG
D.四边形FCDG
A
）A.$△ CEG$
B.$△ CEF$
C.四边形ECDG
D.四边形FCDG
答案
解析:如图,连结 AE,因为四边形ABCD 是矩形,所以 $AD// BC,AD= BC,AB= CD,AB⊥ BC,CD⊥ AD$,因为 $BE= DF$,所以 $AF= EC$,$S_{△ ABE} = S_{△ CDF}$,所以四边形 AFCE 是平行四边形,所以 $S_{△ AFE} = S_{△ CFE}$,所以 $S_{四边形EFDC} = \frac{1}{2} S_{四边形ABCD}$,因为 $DG // CF$,所以 $S_{△ FGC} = S_{△ DFC}$,所以 $S_{△ EGC} = S_{四边形EFDC} = \frac{1}{2} S_{四边形ABCD}$,故选:A。
解析
【分析】
要确定哪个图形的面积可反映矩形ABCD的面积，需结合矩形的性质、平行四边形的判定及面积的等积变换推导。首先利用矩形对边平行且相等的性质，结合已知BE=DF推得AF=EC，判定四边形AFCE为平行四边形，得到相关三角形面积相等，得出四边形EFDC的面积是矩形面积的一半；再根据DG//CF，利用同底等高三角形面积相等，推导出△CEG的面积等于四边形EFDC的面积，即等于矩形面积的一半，因此只需知道△CEG的面积就能求出矩形面积。
【解析】
连接AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，CD⊥AD，AB⊥BC，
又
∵BE=DF，
∴AF=AD-DF=BC-BE=EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴S△AFE=S△CFE，
又
∵AB=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，故S△ABE=S△CDF，
∴S四边形EFDC = S矩形ABCD - S△ABE - S△AFE = S矩形ABCD - S△CDF - S△CFE = S△CEF + S△CDF = S四边形EFDC = $\frac{1}{2}$S矩形ABCD，
∵DG//CF，
∴△FGC与△DFC同底等高，故S△FGC=S△DFC，
∴S△EGC = S△EFC + S△FGC = S△EFC + S△DFC = S四边形EFDC = $\frac{1}{2}$S矩形ABCD，
因此S矩形ABCD=2S△CEG，即只需知道△CEG的面积即可，故选A。
【答案】
A.
【知识点】
矩形性质、平行四边形判定、三角形面积
【点评】
本题通过几何图形的面积转化，考查学生对矩形、平行四边形性质的综合运用能力，关键在于利用等积变换建立目标图形与矩形面积的关系。
【难度系数】
0.5
要确定哪个图形的面积可反映矩形ABCD的面积，需结合矩形的性质、平行四边形的判定及面积的等积变换推导。首先利用矩形对边平行且相等的性质，结合已知BE=DF推得AF=EC，判定四边形AFCE为平行四边形，得到相关三角形面积相等，得出四边形EFDC的面积是矩形面积的一半；再根据DG//CF，利用同底等高三角形面积相等，推导出△CEG的面积等于四边形EFDC的面积，即等于矩形面积的一半，因此只需知道△CEG的面积就能求出矩形面积。
【解析】
连接AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，CD⊥AD，AB⊥BC，
又
∵BE=DF，
∴AF=AD-DF=BC-BE=EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴S△AFE=S△CFE，
又
∵AB=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，故S△ABE=S△CDF，
∴S四边形EFDC = S矩形ABCD - S△ABE - S△AFE = S矩形ABCD - S△CDF - S△CFE = S△CEF + S△CDF = S四边形EFDC = $\frac{1}{2}$S矩形ABCD，
∵DG//CF，
∴△FGC与△DFC同底等高，故S△FGC=S△DFC，
∴S△EGC = S△EFC + S△FGC = S△EFC + S△DFC = S四边形EFDC = $\frac{1}{2}$S矩形ABCD，
因此S矩形ABCD=2S△CEG，即只需知道△CEG的面积即可，故选A。
【答案】
A.
【知识点】
矩形性质、平行四边形判定、三角形面积
【点评】
本题通过几何图形的面积转化，考查学生对矩形、平行四边形性质的综合运用能力，关键在于利用等积变换建立目标图形与矩形面积的关系。
【难度系数】
0.5
11. 二次根式$\sqrt{a-2}$中，$a$的取值范围是________。
答案
$a≥ 2$
解析
【分析】要确定二次根式中字母的取值范围，需依据二次根式的核心性质：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此对于$\sqrt{a-2}$，有$a - 2 ≥ 0$，解这个不等式得$a ≥ 2$。
【答案】$a≥ 2$
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基本条件，属于基础题型，直接利用定义即可求解，是二次根式章节的入门基础题，用于巩固概念。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此对于$\sqrt{a-2}$，有$a - 2 ≥ 0$，解这个不等式得$a ≥ 2$。
【答案】$a≥ 2$
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基本条件，属于基础题型，直接利用定义即可求解，是二次根式章节的入门基础题，用于巩固概念。
【难度系数】0.9
12.一个多边形的内角和是$720°$,则这个多边形的边数是
6
。答案
6
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用多边形内角和公式建立方程求解。首先回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为边数，且$n≥3$），已知内角和为$720°$，设边数为n，代入公式解方程即可得到边数。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=720°$
两边同时除以$180°$：$n-2=720°÷180°=4$
移项得：$n=4+2=6$
【答案】
6
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和的基础应用题，核心考查对多边形内角和公式的掌握，只要牢记公式并正确代入计算即可快速得出结果，属于多边形知识的基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需利用多边形内角和公式建立方程求解。首先回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为边数，且$n≥3$），已知内角和为$720°$，设边数为n，代入公式解方程即可得到边数。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=720°$
两边同时除以$180°$：$n-2=720°÷180°=4$
移项得：$n=4+2=6$
【答案】
6
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和的基础应用题，核心考查对多边形内角和公式的掌握，只要牢记公式并正确代入计算即可快速得出结果，属于多边形知识的基础题型。
【难度系数】
0.9
13.若$x=1$是一元二次方程$x^2 - 6x + m = 0$的根，则方程的另一个根为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$x=5$
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需先求参数m，能简化计算。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入已知根即可算出另一个根。
【解析】
解：设方程$x^2 - 6x + m = 0$的两个根分别为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
在方程中，$a=1$，$b=-6$，已知一个根$x_1=1$，则：
$1 + x_2 = -\frac{-6}{1}=6$
解得$x_2=5$，即方程的另一个根为$x=5$。
【答案】
$x=5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的基础应用，利用韦达定理可快速求出另一个根，避免了先求参数再解方程的繁琐步骤，重点考查学生对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需先求参数m，能简化计算。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入已知根即可算出另一个根。
【解析】
解：设方程$x^2 - 6x + m = 0$的两个根分别为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
在方程中，$a=1$，$b=-6$，已知一个根$x_1=1$，则：
$1 + x_2 = -\frac{-6}{1}=6$
解得$x_2=5$，即方程的另一个根为$x=5$。
【答案】
$x=5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的基础应用，利用韦达定理可快速求出另一个根，避免了先求参数再解方程的繁琐步骤，重点考查学生对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.8
14.如图，D，E分别是$△ ABC$边AB，AC的中点，连结BE，DE。若$∠ AED=∠ BEC$，$DE=2$，则BE的长为________。
答案
4
解析
【分析】
要解决本题，需先利用三角形中位线的性质得到DE与BC的关系，再结合平行线的性质和已知角相等的条件，推导等腰三角形，进而求出BE的长度。第一步，根据D、E是AB、AC中点，确定DE是△ABC的中位线，利用中位线定理得到DE与BC的数量关系；第二步，由DE//BC，结合平行线的性质得到∠AED与∠C的关系，再通过已知∠AED=∠BEC，推导出∠BEC=∠C，利用等腰三角形判定得到BE=BC，即可计算BE的长。
【解析】
∵ D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ DE//BC，且DE = ½BC。
已知DE=2，代入得：BC = 2DE = 2×2 = 4。
∵ DE//BC，
∴ ∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠AED = ∠BEC，
∴ ∠BEC = ∠C，
根据“等角对等边”，可得BE = BC = 4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线、等腰三角形判定、平行线性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题关键是通过中位线定理建立线段关系，再结合角的等量代换推导等腰三角形，属于中等难度的基础题型，能较好地考查学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先利用三角形中位线的性质得到DE与BC的关系，再结合平行线的性质和已知角相等的条件，推导等腰三角形，进而求出BE的长度。第一步，根据D、E是AB、AC中点，确定DE是△ABC的中位线，利用中位线定理得到DE与BC的数量关系；第二步，由DE//BC，结合平行线的性质得到∠AED与∠C的关系，再通过已知∠AED=∠BEC，推导出∠BEC=∠C，利用等腰三角形判定得到BE=BC，即可计算BE的长。
【解析】
∵ D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ DE//BC，且DE = ½BC。
已知DE=2，代入得：BC = 2DE = 2×2 = 4。
∵ DE//BC，
∴ ∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠AED = ∠BEC，
∴ ∠BEC = ∠C，
根据“等角对等边”，可得BE = BC = 4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线、等腰三角形判定、平行线性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题关键是通过中位线定理建立线段关系，再结合角的等量代换推导等腰三角形，属于中等难度的基础题型，能较好地考查学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
15.(改编)如图1,将边长为2的正方形OABC如图1放置,O为原点。
(1)如图2,若将正方形OABC绕点O逆时针旋转$60°$时,则点A的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$。
(2)如图3,若将图1中的正方形OABC绕点O逆时针旋转$75°$时,则点B的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$。
(1)如图2,若将正方形OABC绕点O逆时针旋转$60°$时,则点A的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$。
(2)如图3,若将图1中的正方形OABC绕点O逆时针旋转$75°$时,则点B的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$。
答案
(1)$(-\sqrt{3},1)$ (2)$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$
解析
【分析】
本题是正方形旋转后求点的坐标问题，核心利用旋转的性质（旋转前后线段长度不变，旋转角相等），结合直角三角形的三角函数关系计算点的横、纵坐标。
(1) 求点A旋转后的坐标：先确定OA长度为正方形边长2，旋转角为60°，过A作x轴垂线构造直角三角形，利用三角函数求出横、纵坐标；
(2) 求点B旋转后的坐标：先确定OB为正方形对角线，长度为$2\sqrt{2}$，再确定OB旋转后的角度，结合三角函数计算坐标。
【解析】
(1) 过点A作$AD ⊥ x$轴于点D。
∵ 正方形OABC边长为2，
∴ $OA=2$。
∵ 正方形绕点O逆时针旋转$60°$，
∴ OA与y轴正方向夹角为$60°$，在$Rt△ AOD$中：
$AD = OA · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$OD = OA · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
∵ 点A在第二象限，
∴ 横坐标为$-OD=-\sqrt{3}$，纵坐标为$AD=1$，即点A坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
(2) 正方形OABC边长为2，对角线$OB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
原正方形中，OB与x轴正方向夹角为$45°$，绕O逆时针旋转$75°$后，OB与x轴正方向夹角为$45° + 75° = 120°$。
过点B作$BE ⊥ x$轴于点E，在$Rt△ BOE$中：
$OE = OB · \cos(180° - 120°) = 2\sqrt{2} × \frac{1}{2} = \sqrt{2}$，
$BE = OB · \sin(180° - 120°) = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$。
∵ 点B在第二象限，
∴ 横坐标为$-OE=-\sqrt{2}$，纵坐标为$BE=\sqrt{6}$，即点B坐标为$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$。
【答案】
(1)$(-\sqrt{3},1)$ (2)$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$
【知识点】
图形旋转的性质、平面直角坐标系中点的坐标、三角函数的应用
【点评】
本题结合正方形的旋转考查坐标计算，需掌握旋转前后线段长度不变、角度变化的规律，通过构造直角三角形，利用三角函数求解坐标，属于中等难度的几何坐标题。
【难度系数】
0.4
本题是正方形旋转后求点的坐标问题，核心利用旋转的性质（旋转前后线段长度不变，旋转角相等），结合直角三角形的三角函数关系计算点的横、纵坐标。
(1) 求点A旋转后的坐标：先确定OA长度为正方形边长2，旋转角为60°，过A作x轴垂线构造直角三角形，利用三角函数求出横、纵坐标；
(2) 求点B旋转后的坐标：先确定OB为正方形对角线，长度为$2\sqrt{2}$，再确定OB旋转后的角度，结合三角函数计算坐标。
【解析】
(1) 过点A作$AD ⊥ x$轴于点D。
∵ 正方形OABC边长为2，
∴ $OA=2$。
∵ 正方形绕点O逆时针旋转$60°$，
∴ OA与y轴正方向夹角为$60°$，在$Rt△ AOD$中：
$AD = OA · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$OD = OA · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
∵ 点A在第二象限，
∴ 横坐标为$-OD=-\sqrt{3}$，纵坐标为$AD=1$，即点A坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
(2) 正方形OABC边长为2，对角线$OB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
原正方形中，OB与x轴正方向夹角为$45°$，绕O逆时针旋转$75°$后，OB与x轴正方向夹角为$45° + 75° = 120°$。
过点B作$BE ⊥ x$轴于点E，在$Rt△ BOE$中：
$OE = OB · \cos(180° - 120°) = 2\sqrt{2} × \frac{1}{2} = \sqrt{2}$，
$BE = OB · \sin(180° - 120°) = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$。
∵ 点B在第二象限，
∴ 横坐标为$-OE=-\sqrt{2}$，纵坐标为$BE=\sqrt{6}$，即点B坐标为$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$。
【答案】
(1)$(-\sqrt{3},1)$ (2)$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$
【知识点】
图形旋转的性质、平面直角坐标系中点的坐标、三角函数的应用
【点评】
本题结合正方形的旋转考查坐标计算，需掌握旋转前后线段长度不变、角度变化的规律，通过构造直角三角形，利用三角函数求解坐标，属于中等难度的几何坐标题。
【难度系数】
0.4
