登录
16.如图,菱形ABCD,AB=4,∠A=60°。F,G分别为AB,AD边上的动点,连结FG,将菱形沿FG翻折,点A恰好落在CD边上的点E处。当BF长度最大时,DE的长为
$2\sqrt{3}-2$
。答案
解析:当 BF 长度最大时，AF 长度最短,由折叠知,EF=AF,即当 $EF⊥ AB$ 时 EF 最短。如图,设$DE=x$,过点 D 作 $DH⊥ EG$ 于点 H,则$∠ FEG=∠ A=60°,∠ DEG= 30°$,在菱形 ABCD 中,$AB// CD$,所以$∠ ADC=180-∠ A=180°-60°= 120°$。所以$∠ DGE=30°$,所以 $DG=DE=x$,所以 $DH= \frac{1}{2} DE=\frac{1}{2} x$,$HE=HG=\sqrt{3} DH=\frac{\sqrt{3}}{2} x$,所以 $GE=GH+ HE=\sqrt{3} x$,由翻折知,$AG=GE=\sqrt{3} x$,因为 $AG+DG=4$,即 $\sqrt{3} x+x=4$,所以 $x=2\sqrt{3}-2$,故答案为:$2\sqrt{3}-2$。
解析
【分析】
要解决本题，需先明确BF最大等价于AF最小，结合翻折性质AF=EF，因此转化为求EF的最小值（点到直线的距离垂线段最短），确定EF⊥AB时BF最大；再利用菱形的性质、翻折的角度关系推导边长的等量关系，通过设未知数建立方程求解DE的长度。
【解析】
1. 由翻折的性质可知：AF=EF，AG=EG，∠FEG=∠A=60°。
2. 因为BF=AB - AF=4 - EF，要使BF长度最大，需EF长度最小。根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当EF⊥AB时，EF取得最小值，此时BF最大。
3. 在菱形ABCD中，AB//CD，∠A=60°，故∠ADC=180°-∠A=120°，AB=CD=4。
4. 设DE=x，过点D作DH⊥GE于点H。因为EF⊥AB，AB//CD，所以EF⊥CD，结合∠FEG=60°，可得∠DEG=30°，进而推出∠DGE=30°，因此DG=DE=x。
5. 在Rt△DHE中，∠DEH=30°，则DH=½DE=½x，HE=√3 DH=(√3/2)x；同理HG=(√3/2)x，故GE=HG+HE=√3 x。
6. 由翻折知AG=GE=√3 x，又AG+DG=AD=AB=4，因此√3 x + x =4，解得x=2√3 -2，即DE=2√3 -2。
【答案】2√3 -2
【知识点】菱形性质、折叠性质、解直角三角形
【点评】本题是菱形与折叠结合的几何综合题，核心是利用“点到直线的距离最短”确定最值条件，再通过角度推导和边长等量关系建立方程求解，需熟练掌握菱形性质及折叠前后的对应关系。
【难度系数】0.4
要解决本题，需先明确BF最大等价于AF最小，结合翻折性质AF=EF，因此转化为求EF的最小值（点到直线的距离垂线段最短），确定EF⊥AB时BF最大；再利用菱形的性质、翻折的角度关系推导边长的等量关系，通过设未知数建立方程求解DE的长度。
【解析】
1. 由翻折的性质可知：AF=EF，AG=EG，∠FEG=∠A=60°。
2. 因为BF=AB - AF=4 - EF，要使BF长度最大，需EF长度最小。根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当EF⊥AB时，EF取得最小值，此时BF最大。
3. 在菱形ABCD中，AB//CD，∠A=60°，故∠ADC=180°-∠A=120°，AB=CD=4。
4. 设DE=x，过点D作DH⊥GE于点H。因为EF⊥AB，AB//CD，所以EF⊥CD，结合∠FEG=60°，可得∠DEG=30°，进而推出∠DGE=30°，因此DG=DE=x。
5. 在Rt△DHE中，∠DEH=30°，则DH=½DE=½x，HE=√3 DH=(√3/2)x；同理HG=(√3/2)x，故GE=HG+HE=√3 x。
6. 由翻折知AG=GE=√3 x，又AG+DG=AD=AB=4，因此√3 x + x =4，解得x=2√3 -2，即DE=2√3 -2。
【答案】2√3 -2
【知识点】菱形性质、折叠性质、解直角三角形
【点评】本题是菱形与折叠结合的几何综合题，核心是利用“点到直线的距离最短”确定最值条件，再通过角度推导和边长等量关系建立方程求解，需熟练掌握菱形性质及折叠前后的对应关系。
【难度系数】0.4
17.计算：
(1)$\sqrt{12} - 6\sqrt{3} + \sqrt{27}$；
(2)$(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})$。
(1)$\sqrt{12} - 6\sqrt{3} + \sqrt{27}$；
(2)$(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})$。
答案
(1)$-\sqrt{3}$ (2)3
解析
【分析】
第(1)小题是二次根式的加减运算，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第(2)小题是二次根式的乘法运算，可利用平方差公式简化计算，公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
则原式$=2\sqrt{3}-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2-6+3)\sqrt{3}=-\sqrt{3}$；
(2) 利用平方差公式计算：
原式$=3^2-(\sqrt{6})^2=9-6=3$；
【答案】
(1)$-\sqrt{3}$ (2)3
【知识点】
二次根式的加减、平方差公式、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，核心是掌握二次根式化简、同类二次根式合并及平方差公式的应用，属于初中数学的基础题型，计算时需注意化简的准确性和公式的正确使用。
【难度系数】
0.6
第(1)小题是二次根式的加减运算，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第(2)小题是二次根式的乘法运算，可利用平方差公式简化计算，公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
则原式$=2\sqrt{3}-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2-6+3)\sqrt{3}=-\sqrt{3}$；
(2) 利用平方差公式计算：
原式$=3^2-(\sqrt{6})^2=9-6=3$；
【答案】
(1)$-\sqrt{3}$ (2)3
【知识点】
二次根式的加减、平方差公式、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，核心是掌握二次根式化简、同类二次根式合并及平方差公式的应用，属于初中数学的基础题型，计算时需注意化简的准确性和公式的正确使用。
【难度系数】
0.6
18.解方程：
(1)$x^2 - 2x = 0$；
(2)$x^2 - 4x = 12$。
(1)$x^2 - 2x = 0$；
(2)$x^2 - 4x = 12$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=2$ (2)$x_1=6,x_2=-2$
解析
【分析】
解一元二次方程时，优先选用因式分解法（简便高效），核心思路是将二次方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而转化为两个一元一次方程求解。本题两个方程均适合用因式分解法，先整理方程，再通过提取公因式或十字相乘法分解因式，即可快速得到解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 0$，提取公因式得：$x(x - 2) = 0$，
则$x = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$；
(2) 先移项化为一元二次方程一般形式：$x^2 - 4x - 12 = 0$，
用十字相乘法因式分解得：$(x - 6)(x + 2) = 0$，
则$x - 6 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$ (2)$x_1=6,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解
【点评】
本题为基础的一元二次方程求解题型，通过因式分解法可快速得出结果，重点考察学生对一元二次方程解法的掌握，属于常规基础题，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，优先选用因式分解法（简便高效），核心思路是将二次方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而转化为两个一元一次方程求解。本题两个方程均适合用因式分解法，先整理方程，再通过提取公因式或十字相乘法分解因式，即可快速得到解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 0$，提取公因式得：$x(x - 2) = 0$，
则$x = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$；
(2) 先移项化为一元二次方程一般形式：$x^2 - 4x - 12 = 0$，
用十字相乘法因式分解得：$(x - 6)(x + 2) = 0$，
则$x - 6 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$ (2)$x_1=6,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解
【点评】
本题为基础的一元二次方程求解题型，通过因式分解法可快速得出结果，重点考察学生对一元二次方程解法的掌握，属于常规基础题，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
