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19.(改编)如图1,2均是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点。请按要求作图,所作图形的顶点均要落在格点上。
(1)在图1中作格点四边形$ABCD$,使四边形$ABCD$为中心对称图形。
(2)如图2,作一个面积为6的菱形。
(1)在图1中作格点四边形$ABCD$,使四边形$ABCD$为中心对称图形。
(2)如图2,作一个面积为6的菱形。
答案
(1)如图1,四边形 ABCD 就是所求作的四边形。(答案不唯一) (2)如图 2,四边形 EFGH 就是所求作的菱形。(答案不唯一)
解析
【分析】
本题为网格作图题，需结合几何图形的性质完成：(1)中心对称图形绕中心旋转180°后与自身重合，平行四边形是典型的中心对称图形，可利用线段AB构造平行四边形，保证顶点均在格点上；(2)菱形面积公式为对角线乘积的一半，要构造面积为6的菱形，需满足对角线乘积为12，结合6×6网格的格点特征，选取合适的对角线长度作图即可。
【解析】
(1) 在图1中，根据平行四边形是中心对称图形的性质，在格点上确定点D、C，使AD平行且等于BC，AB平行且等于DC，连接A、B、C、D，得到中心对称四边形ABCD（答案不唯一，符合要求即可）；
(2) 在图2中，根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为对角线长），取对角线长为6和2，此时面积为$\frac{1}{2}×6×2=6$，连接对角线的四个格点端点，得到面积为6的菱形（答案不唯一，符合要求即可）。
【答案】
(1) 如图1，四边形ABCD为所求作的中心对称图形；(2) 如图2，四边形EFGH为所求作的面积为6的菱形。
【知识点】
中心对称图形，菱形的性质，网格作图
【点评】
本题考查网格中的几何作图，需掌握中心对称图形和菱形的性质，结合网格特点确定格点位置，作图方法多样，重点考查几何图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.5
本题为网格作图题，需结合几何图形的性质完成：(1)中心对称图形绕中心旋转180°后与自身重合，平行四边形是典型的中心对称图形，可利用线段AB构造平行四边形，保证顶点均在格点上；(2)菱形面积公式为对角线乘积的一半，要构造面积为6的菱形，需满足对角线乘积为12，结合6×6网格的格点特征，选取合适的对角线长度作图即可。
【解析】
(1) 在图1中，根据平行四边形是中心对称图形的性质，在格点上确定点D、C，使AD平行且等于BC，AB平行且等于DC，连接A、B、C、D，得到中心对称四边形ABCD（答案不唯一，符合要求即可）；
(2) 在图2中，根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为对角线长），取对角线长为6和2，此时面积为$\frac{1}{2}×6×2=6$，连接对角线的四个格点端点，得到面积为6的菱形（答案不唯一，符合要求即可）。
【答案】
(1) 如图1，四边形ABCD为所求作的中心对称图形；(2) 如图2，四边形EFGH为所求作的面积为6的菱形。
【知识点】
中心对称图形，菱形的性质，网格作图
【点评】
本题考查网格中的几何作图，需掌握中心对称图形和菱形的性质，结合网格特点确定格点位置，作图方法多样，重点考查几何图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.5
20.某校八年级同学参加“校史知多少”答题比赛，随机抽查其中20名同学的答题情况，绘制成如图统计图。
(1)这20名同学的答对题数的众数为
(2)求这20名同学的答对题数的平均数。
(3)小明答对了7道题，请分析该成绩在20名同学中处于怎样的水平。
(1)这20名同学的答对题数的众数为
7
道。(2)求这20名同学的答对题数的平均数。
(3)小明答对了7道题，请分析该成绩在20名同学中处于怎样的水平。
答案
(1)7 (2)$\frac{1×6+9×7+3×8+3×9+4×10}{20}=8$(道),答:这20名同学的答对题数的平均数为8道。 (3)平均数为 8 道,中位数为 7.5 道,所以小明的成绩略低于平均水平(合理即可)。
解析
【分析】
要解决这三个问题，需先从条形统计图中读取各答对题数对应的人数：答对6道的有1人，7道的有9人，8道的有3人，9道的有3人，10道的有4人。
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，找到对应人数最多的答对题数即可；
（2）平均数的计算方法是总答对题数除以总人数，总答对题数为各答对题数乘以对应人数的和，再除以总人数20；
（3）分析成绩水平需结合平均数和中位数，中位数是将数据排序后中间位置的数（偶数个时为中间两个数的平均数），对比小明的成绩与平均数、中位数判断水平。
【解析】
（1）观察统计图，答对7道题的人数为9，是所有答对题数中人数最多的，因此众数为7道；
（2）总答对题数为：$1×6 + 9×7 + 3×8 + 3×9 + 4×10 = 6 + 63 + 24 + 27 + 40 = 160$（道），总人数为20名，所以平均数为$\frac{160}{20}=8$（道）；
（3）将20名同学的答对题数从小到大排序，第1个数据是6，第2到10个数据都是7，第11个数据是8，因此中位数为第10和11个数据的平均数，即$\frac{7+8}{2}=7.5$（道）。已知平均数为8道，小明答对7道，既低于平均水平，也低于中位数，所以小明的成绩略低于平均水平，处于中下水平。
【答案】
(1)7；(2)8道；(3)小明的成绩略低于平均水平（合理即可）
【知识点】
众数、平均数、中位数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算与应用，需准确读取统计图数据，掌握众数、平均数、中位数的定义及计算方法，难度适中，属于基础统计类题目。
【难度系数】
0.6
要解决这三个问题，需先从条形统计图中读取各答对题数对应的人数：答对6道的有1人，7道的有9人，8道的有3人，9道的有3人，10道的有4人。
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，找到对应人数最多的答对题数即可；
（2）平均数的计算方法是总答对题数除以总人数，总答对题数为各答对题数乘以对应人数的和，再除以总人数20；
（3）分析成绩水平需结合平均数和中位数，中位数是将数据排序后中间位置的数（偶数个时为中间两个数的平均数），对比小明的成绩与平均数、中位数判断水平。
【解析】
（1）观察统计图，答对7道题的人数为9，是所有答对题数中人数最多的，因此众数为7道；
（2）总答对题数为：$1×6 + 9×7 + 3×8 + 3×9 + 4×10 = 6 + 63 + 24 + 27 + 40 = 160$（道），总人数为20名，所以平均数为$\frac{160}{20}=8$（道）；
（3）将20名同学的答对题数从小到大排序，第1个数据是6，第2到10个数据都是7，第11个数据是8，因此中位数为第10和11个数据的平均数，即$\frac{7+8}{2}=7.5$（道）。已知平均数为8道，小明答对7道，既低于平均水平，也低于中位数，所以小明的成绩略低于平均水平，处于中下水平。
【答案】
(1)7；(2)8道；(3)小明的成绩略低于平均水平（合理即可）
【知识点】
众数、平均数、中位数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算与应用，需准确读取统计图数据，掌握众数、平均数、中位数的定义及计算方法，难度适中，属于基础统计类题目。
【难度系数】
0.6
21.(改编)定义:已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)的两个实数根,若$x_1＜x_2＜0$,且$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$,则称这个方程为“限根方程”。如:一元二次方程$x^2+13x+30=0$的两根为$x_1=-10,x_2=-3$,因$-10＜-3＜0,3＜\frac{-10}{-3}＜4$,所以一元二次方程$x^2+13x+30=0$为“限根方程”。请阅读以上材料,回答下列问题:
(1)判断一元二次方程$x^2+9x+14=0$是否为“限根方程”,并说明理由。
(2)若关于$x$的一元二次方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$是“限根方程”,且两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2+x_1x_2=-1$,求$k$的值。
(1)判断一元二次方程$x^2+9x+14=0$是否为“限根方程”,并说明理由。
(2)若关于$x$的一元二次方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$是“限根方程”,且两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2+x_1x_2=-1$,求$k$的值。
答案
(1)$x^2+9x+14=0,(x+2)(x+7)=0$,所以 $x+2=0$ 或 $x+ 7=0$,所以 $x_1=-7,x_2=-2$,因为 $-7＜-2＜0,3＜\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}＜4$,所以此方程为“限根方程”。 (2)因为方程 $2x^2 + (k+7)x+k^2+3=0$ 的两个根分别为 $x_1,x_2$,所以 $x_1+x_2= -\frac{k+7}{2},x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$。因为 $x_1+x_2+x_1x_2=-1$,所以 $-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$,解得:$k_1=2,k_2=-1$。分类讨论:①当 $k=2$ 时,原方程为 $2x^2+9x+7=0$,所以 $x_1=-\frac{7}{2},x_2=-1$,所以 $x_1＜x_2＜0,3＜\frac{x_1}{x_2}=\frac{7}{2}＜4$,所以此时方程 $2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$ 是“限根方程”,所以 $k=2$ 符合题意;②当 $k=-1$ 时,原方程为 $2x^2+6x+4=0$,所以 $x_1=-2,x_2=-1$,所以 $x_1＜x_2＜0,\frac{x_1}{x_2}=2＜3$,所以此时方程 $2x^2+(k+7)x+k^2+ 3=0$ 不是“限根方程”,所以 $k=-1$ 不符合题意。综上可知 $k$ 的值为 2。
解析
【分析】
本题是新定义题型，需先明确“限根方程”的核心条件：两根均为负数，且较大根与较小根的比值在3到4之间。
(1) 先解一元二次方程得到两根，再对照定义判断是否为“限根方程”；
(2) 利用韦达定理（根与系数的关系），结合已知等式求出k的可能值，再代入原方程求根，逐一验证是否满足“限根方程”的定义，最终确定符合条件的k值。
【解析】
(1) 解方程$x^2+9x+14=0$，因式分解得$(x+2)(x+7)=0$，解得$x_1=-7$，$x_2=-2$。
因为$-7＜-2＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}=3.5$，满足$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，所以该方程是“限根方程”。
(2) 对于方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{k+7}{2}$，$x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$。
已知$x_1+x_2+x_1x_2=-1$，代入得：
$-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$，
两边同乘2化简：$-k-7 +k^2 +3 = -2$，
整理得$k^2 -k -2=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-1$。
分类验证：
①当$k=2$时，原方程为$2x^2+9x+7=0$，因式分解得$(2x+7)(x+1)=0$，解得$x_1=-\frac{7}{2}$，$x_2=-1$。
此时$-\frac{7}{2}＜-1＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=\frac{7}{2}=3.5$，满足$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，符合“限根方程”定义；
②当$k=-1$时，原方程为$2x^2+6x+4=0$，化简为$x^2+3x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-1$。
此时$\frac{x_1}{x_2}=2＜3$，不满足条件，不符合“限根方程”定义，舍去。
综上，$k=2$。
【答案】
(1) 是“限根方程”，理由见解析；(2) $k=2$
【知识点】
一元二次方程的解法，韦达定理，新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确理解“限根方程”的定义，利用韦达定理求出参数后必须验证是否符合定义，避免漏解或错解，属于中等难度的新定义应用题型。
【难度系数】
0.5
本题是新定义题型，需先明确“限根方程”的核心条件：两根均为负数，且较大根与较小根的比值在3到4之间。
(1) 先解一元二次方程得到两根，再对照定义判断是否为“限根方程”；
(2) 利用韦达定理（根与系数的关系），结合已知等式求出k的可能值，再代入原方程求根，逐一验证是否满足“限根方程”的定义，最终确定符合条件的k值。
【解析】
(1) 解方程$x^2+9x+14=0$，因式分解得$(x+2)(x+7)=0$，解得$x_1=-7$，$x_2=-2$。
因为$-7＜-2＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}=3.5$，满足$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，所以该方程是“限根方程”。
(2) 对于方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{k+7}{2}$，$x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$。
已知$x_1+x_2+x_1x_2=-1$，代入得：
$-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$，
两边同乘2化简：$-k-7 +k^2 +3 = -2$，
整理得$k^2 -k -2=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-1$。
分类验证：
①当$k=2$时，原方程为$2x^2+9x+7=0$，因式分解得$(2x+7)(x+1)=0$，解得$x_1=-\frac{7}{2}$，$x_2=-1$。
此时$-\frac{7}{2}＜-1＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=\frac{7}{2}=3.5$，满足$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，符合“限根方程”定义；
②当$k=-1$时，原方程为$2x^2+6x+4=0$，化简为$x^2+3x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-1$。
此时$\frac{x_1}{x_2}=2＜3$，不满足条件，不符合“限根方程”定义，舍去。
综上，$k=2$。
【答案】
(1) 是“限根方程”，理由见解析；(2) $k=2$
【知识点】
一元二次方程的解法，韦达定理，新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确理解“限根方程”的定义，利用韦达定理求出参数后必须验证是否符合定义，避免漏解或错解，属于中等难度的新定义应用题型。
【难度系数】
0.5
