22. 如图，$□ ABCD$，过点$A,C$分别作$AF ⊥ CD$，$CE ⊥ AB$，交$CD$，$AB$的延长线于点$F,E$。
(1)求证:四边形$AECF$为矩形。
(2)连结$AC,BD$交于点$O$，若$AC ⊥ BD$，$AC=\sqrt{30}$，$BE=2$，求矩形$AECF$的周长。

(1)证明:在$□ ABCD$中,$CD// AB,AD// BC$;因为 $AF⊥ CD$,所以 $AF⊥ AB$,又因为 $CE⊥ AB$,所以 $AF// CE$,所以四边形 AECF 是平行四边形。因为 $AF⊥ CD$,所以$∠ F=90°$,所以四边形 AECF 是矩形。 (2)因为四边形 ABCD 是平行四边形,$AC⊥ BD$,所以四边形 ABCD 是菱形,设 $AB=BC=x$,因为 $CE^2=AC^2-AE^2=CB^2-BE^2$,所以 $(\sqrt{30})^2-(x+2)^2= x^2-2^2$,解得 $x_1=3,x_2=-5$(舍去)。所以 $AB=3$,$AE=5$,所以 $CE=\sqrt{5}$,所以矩形 AECF 的周长为:$2(AE+CE)= 2\sqrt{5}+10$。

【分析】
第(1)问要证明四边形AECF为矩形，需先证它是平行四边形，再证有一个内角为直角。利用平行四边形ABCD的对边平行性质，结合AF⊥CD、CE⊥AB，可推出两组对边分别平行得到平行四边形，再由直角判定矩形；第(2)问中，平行四边形对角线垂直则为菱形，故AB=BC，设AB=x，结合AE=AB+BE，利用直角三角形中CE²的两种勾股定理表达式建立方程，求解后计算矩形周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//AB，即CF//AE，
∵ AF⊥CD，CE⊥AB，
∴ AF⊥AB，CE⊥AB，故AF//CE，
∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
又
∵ AF⊥CD，
∴ ∠F=90°，
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴ AB=BC，设AB=BC=x，
∵ AE=AB+BE=x+2，CE⊥AB，
在Rt△ACE中，CE²=AC² - AE²，
在Rt△BCE中，CE²=BC² - BE²，
∴ AC² - AE² = BC² - BE²，
代入AC=√30，BE=2，得：
(√30)² - (x+2)² = x² - 2²，
整理得：30 - (x²+4x+4) = x² -4，
即2x²+4x-30=0，化简为x²+2x-15=0，
解得x=3（x=-5舍去，边长为正），
∴ AB=3，AE=3+2=5，
在Rt△BCE中，CE=√(3²-2²)=√5，
矩形AECF的周长=2×(AE+CE)=2×(5+√5)=10+2√5。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 矩形AECF的周长为10+2√5
【知识点】
平行四边形性质、矩形判定、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质，结合勾股定理建立方程求解，需熟练掌握相关几何定理，是典型的几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6

23.甲同学家有一块空地,空地上有一面长为10米的围墙MN,甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD,已知木栏总长为50米,与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门,门不消耗木栏,设AB长为x米。

(1)如图1,当$AD≤MN$时,①$AD=$米(用含x的代数式表示);②若围成的养鸡场面积为138平方米,求AB的长。
(2)如图2,当$AD＞MN$时,求养鸡场可达到的最大面积。

(1)①$(52-2x)$ ②因为 $x(52-2x)=138$,整理得:$x^2-26x+ 69=0$,所以解得 $x_1=3,x_2=23$。由题意知:$\begin{cases}52-2x≤10,\\52-2x＞0,\end{cases}$ 解得:$21≤ x＜26$,所以 $x=23$,所以 AB 的长为 23 米。 (2)因为 $AD=\frac{50+12-2x}{2}=(-x+31)$ 米,所以养鸡场 ABCD 的面积 $=(-x+31)x=-(x-\frac{31}{2})^2+\frac{961}{4}$。因为 $-(x-\frac{31}{2})^2≤ 0$,所以 $-(x-\frac{31}{2})^2+\frac{961}{4}≤\frac{961}{4}$,当 $x=\frac{31}{2}$ 时,养鸡场面积可以达到最大值$\frac{961}{4}$平方米。

【分析】本题是利用一元二次方程和二次函数解决长方形面积的实际问题，需先根据木栏总长、门宽及长方形对边相等的关系，推导出各边的代数式，再结合围墙长度的限制条件求解。对于(1)①，利用木栏长度的组成（AB、CD及AD边扣除门宽的部分）建立等式，求出AD的表达式；②根据长方形面积公式列一元二次方程，再结合AD≤MN的条件筛选出符合题意的解。对于(2)，当AD超过围墙长度时，先推导AD的代数式，再写出面积的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值。
【解析】(1)①因为AB=CD=x，木栏总长为50米，门宽2米且不消耗木栏，门位于与墙相对的AD边上，所以木栏长度满足：AB + CD + (AD - 2) = 50，代入AB=CD=x，得x + x + AD - 2 = 50，解得AD = 52 - 2x；②由养鸡场面积为138平方米，根据长方形面积公式得：x(52 - 2x) = 138，整理为一元二次方程：$x^2 - 26x + 69 = 0$，解得$x_1=3$，$x_2=23$。结合AD≤MN=10米的条件，即$52 - 2x ≤10$，且AD＞0（$52-2x＞0$），解得$21≤x＜26$，因此$x=23$，即AB的长为23米。(2)当AD＞MN时，推导得$AD = \frac{50 + 12 - 2x}{2} = -x + 31$，所以养鸡场面积$S = AB×AD = x(-x + 31) = -x^2 + 31x$，将其配方为顶点式：$S = -(x - \frac{31}{2})^2 + \frac{961}{4}$，因为二次项系数为$-1＜0$，所以该函数开口向下，当$x=\frac{31}{2}$时，S取得最大值$\frac{961}{4}$平方米。
【答案】(1)①$(52-2x)$米；②AB的长为23米；(2)养鸡场可达到的最大面积为$\frac{961}{4}$平方米
【知识点】一元二次方程应用、二次函数最值、长方形面积
【点评】本题结合实际场景考查方程与函数的综合应用，关键是理清各边长度与木栏、围墙的关系，需注意实际问题中自变量的取值范围，避免解不符合题意，综合性较强但难度适中。
【难度系数】0.5