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一、选择题
1.(真题·绍兴柯桥)一个多边形的内角和是外角和的3倍,这个多边形的边数是 ……………………………………………………（
A.7
B.8
C.9
D.10
1.(真题·绍兴柯桥)一个多边形的内角和是外角和的3倍,这个多边形的边数是 ……………………………………………………（
B
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
1.B
解析
【分析】要解决这道题，需先掌握多边形的两个关键性质：①任意多边形的外角和固定为360°；②n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数）。题目给出内角和是外角和的3倍，因此可通过设边数为n，列方程求解。
【解析】设这个多边形的边数为$n$。
1. 多边形外角和恒为360°，根据题意，内角和为$3×360°=1080°$；
2. 结合多边形内角和公式，列出方程：$(n-2)×180°=1080°$；
3. 解方程：两边同时除以180°得$n-2=6$，移项后得$n=8$。
因此该多边形边数为8，对应选项B。
【答案】B
【知识点】多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】本题是多边形相关的基础计算题，核心考查内角和公式与外角和性质的应用，只要牢记公式和固定值即可快速求解，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】设这个多边形的边数为$n$。
1. 多边形外角和恒为360°，根据题意，内角和为$3×360°=1080°$；
2. 结合多边形内角和公式，列出方程：$(n-2)×180°=1080°$；
3. 解方程：两边同时除以180°得$n-2=6$，移项后得$n=8$。
因此该多边形边数为8，对应选项B。
【答案】B
【知识点】多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】本题是多边形相关的基础计算题，核心考查内角和公式与外角和性质的应用，只要牢记公式和固定值即可快速求解，属于易得分题。
【难度系数】0.8
2.(真题·嘉兴)在$□ ABCD$中,若$∠A=4∠D$,则$∠B$的度数是
………………………………………………………………………（
A.$20°$
B.$36°$
C.$54°$
D.$144°$
………………………………………………………………………（
B
）A.$20°$
B.$36°$
C.$54°$
D.$144°$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行四边形的性质：平行四边形的邻角互补（相邻内角和为180°），且对角相等。在□ABCD中，∠A与∠D是邻角，因此它们的和为180°，结合已知∠A=4∠D，可先求出∠D的度数，再根据平行四边形对角相等，得到∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A + ∠D = 180°（平行四边形邻角互补），
又
∵ ∠A = 4∠D，
∴ 4∠D + ∠D = 180°，
即5∠D = 180°，
解得∠D = 36°，
∵ 平行四边形对角相等，
∴ ∠B = ∠D = 36°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于常规题型，只要掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需利用平行四边形的性质：平行四边形的邻角互补（相邻内角和为180°），且对角相等。在□ABCD中，∠A与∠D是邻角，因此它们的和为180°，结合已知∠A=4∠D，可先求出∠D的度数，再根据平行四边形对角相等，得到∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A + ∠D = 180°（平行四边形邻角互补），
又
∵ ∠A = 4∠D，
∴ 4∠D + ∠D = 180°，
即5∠D = 180°，
解得∠D = 36°，
∵ 平行四边形对角相等，
∴ ∠B = ∠D = 36°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于常规题型，只要掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.(真题·杭州钱塘)如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，$AB⊥ AC$。若$AC=6$，$BD=10$，则AB的长为………………（
A.4
B.5
C.6
D.7
A
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3.A
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可求出OA和OB的长度；题目中给出AB⊥AC，说明△OAB是直角三角形，再结合勾股定理即可计算AB的长度，进而选出正确答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA = ½AC，OB = ½BD（平行四边形对角线互相平分）。
已知AC=6，BD=10，
∴OA = ½×6 = 3，OB = ½×10 =5。
又
∵AB⊥AC，
∴∠OAB=90°，即△OAB是直角三角形。
根据勾股定理：AB² + OA² = OB²，
代入数值可得：AB² + 3² =5²，
即AB² =25 -9=16，
∵AB为边长，是正数，
∴AB=√16=4。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与勾股定理结合的基础题，核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质构造直角三角形，再用勾股定理计算未知边，属于常规题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可求出OA和OB的长度；题目中给出AB⊥AC，说明△OAB是直角三角形，再结合勾股定理即可计算AB的长度，进而选出正确答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA = ½AC，OB = ½BD（平行四边形对角线互相平分）。
已知AC=6，BD=10，
∴OA = ½×6 = 3，OB = ½×10 =5。
又
∵AB⊥AC，
∴∠OAB=90°，即△OAB是直角三角形。
根据勾股定理：AB² + OA² = OB²，
代入数值可得：AB² + 3² =5²，
即AB² =25 -9=16，
∵AB为边长，是正数，
∴AB=√16=4。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与勾股定理结合的基础题，核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质构造直角三角形，再用勾股定理计算未知边，属于常规题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.(真题·杭州滨江)用反证法证明“在三角形中,至少有一个内角不小于$60°$”时,应先假设这个三角形中……………………（
A.内角都不小于$60°$
B.内角都不大于$60°$
C.内角都小于$60°$
D.内角都大于$60°$
C
）A.内角都不小于$60°$
B.内角都不大于$60°$
C.内角都小于$60°$
D.内角都大于$60°$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查反证法的应用，解题核心是明确反证法需先假设原命题的结论不成立。原命题结论为“三角形中至少有一个内角不小于60°”，需先找出该结论的否定表述，再对应选项即可得出答案。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立。原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”的结论是“至少存在一个内角≥60°”，其否定为“所有内角都＜60°”，因此应假设这个三角形中内角都小于60°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础应用题，关键在于准确理解“至少有一个”的否定规则，属于反证法的基础考点，难度较低，需熟练掌握命题否定的表述方法。
【难度系数】
0.6
本题考查反证法的应用，解题核心是明确反证法需先假设原命题的结论不成立。原命题结论为“三角形中至少有一个内角不小于60°”，需先找出该结论的否定表述，再对应选项即可得出答案。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立。原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”的结论是“至少存在一个内角≥60°”，其否定为“所有内角都＜60°”，因此应假设这个三角形中内角都小于60°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础应用题，关键在于准确理解“至少有一个”的否定规则，属于反证法的基础考点，难度较低，需熟练掌握命题否定的表述方法。
【难度系数】
0.6
5. 在平面直角坐标系中，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$P$中心对称。若点$A(-2,4)$的对应点为$A'(2,0)$，则点$B(-1,1)$的对应点$B'$的坐标为 …………………………………………………（
A.$(1,3)$
B.$(-1,-3)$
C.$(-1,3)$
D.$(1,-3)$
A
）A.$(1,3)$
B.$(-1,-3)$
C.$(-1,3)$
D.$(1,-3)$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决本题，需利用中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，即对称中心是对应点连线的中点。解题步骤为：①先根据点A及其对应点A'的坐标，利用中点坐标公式求出对称中心P的坐标；②再根据P是点B及其对应点B'连线的中点，再次用中点坐标公式计算出B'的坐标，最后匹配选项得出答案。
【解析】
设对称中心P的坐标为$(x,y)$，根据中点坐标公式（若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$）：
1. 求对称中心P：
点$A(-2,4)$，对应点$A'(2,0)$，则：
$x=\frac{-2+2}{2}=0$，$y=\frac{4+0}{2}=2$，即$P(0,2)$。
2. 求点$B'$的坐标：
设$B'(m,n)$，因P是$B(-1,1)$与$B'$的中点，故：
$\frac{-1+m}{2}=0$，解得$m=1$；
$\frac{1+n}{2}=2$，解得$n=3$。
因此$B'$的坐标为$(1,3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称性质；中点坐标公式
【点评】
本题考查中心对称的基础性质，核心是利用中点坐标公式计算对称点，属于平面直角坐标系中对称变换的基础题型，只要掌握中心对称的性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需利用中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，即对称中心是对应点连线的中点。解题步骤为：①先根据点A及其对应点A'的坐标，利用中点坐标公式求出对称中心P的坐标；②再根据P是点B及其对应点B'连线的中点，再次用中点坐标公式计算出B'的坐标，最后匹配选项得出答案。
【解析】
设对称中心P的坐标为$(x,y)$，根据中点坐标公式（若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$）：
1. 求对称中心P：
点$A(-2,4)$，对应点$A'(2,0)$，则：
$x=\frac{-2+2}{2}=0$，$y=\frac{4+0}{2}=2$，即$P(0,2)$。
2. 求点$B'$的坐标：
设$B'(m,n)$，因P是$B(-1,1)$与$B'$的中点，故：
$\frac{-1+m}{2}=0$，解得$m=1$；
$\frac{1+n}{2}=2$，解得$n=3$。
因此$B'$的坐标为$(1,3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称性质；中点坐标公式
【点评】
本题考查中心对称的基础性质，核心是利用中点坐标公式计算对称点，属于平面直角坐标系中对称变换的基础题型，只要掌握中心对称的性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
6.(真题·舟山定海)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC=4$,D是AC上一点,连结BD,F是BD的中点,连结AF,作$AE⊥ BC$于点E,连结EF,若$AF=\frac{5}{2}$,则EF的长为 …(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1
答案
6.A
解析
【分析】
首先利用直角三角形斜边中线的性质，在Rt△ABD中，F是BD中点，可得AF=½BD，由此算出BD的长度；接着在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长，进而得到DC的长度；再根据等腰直角三角形的性质，AE⊥BC时E是BC中点，结合F是BD中点，可知EF是△BCD的中位线，利用中位线定理即可求出EF的长。
【解析】
解：在Rt△ABD中，∠BAC=90°，F是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
AF = ½BD
已知AF=5/2，因此BD=2AF=2×(5/2)=5。
在Rt△ABD中，AB=4，BD=5，由勾股定理得：
AD = √(BD² - AB²) = √(5² - 4²)=√9=3
因为AC=4，所以DC=AC - AD=4-3=1。
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点。
因为F是BD的中点，所以EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，得：
EF=½DC=½×1=½。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理；三角形中位线定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查几何核心定理的应用，关键是通过直角三角形斜边中线性质建立线段关系，逐步推导得到中位线，进而求出目标线段长度，属于中等难度的几何计算题，需熟练掌握相关定理的衔接运用。
【难度系数】
0.5
首先利用直角三角形斜边中线的性质，在Rt△ABD中，F是BD中点，可得AF=½BD，由此算出BD的长度；接着在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长，进而得到DC的长度；再根据等腰直角三角形的性质，AE⊥BC时E是BC中点，结合F是BD中点，可知EF是△BCD的中位线，利用中位线定理即可求出EF的长。
【解析】
解：在Rt△ABD中，∠BAC=90°，F是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
AF = ½BD
已知AF=5/2，因此BD=2AF=2×(5/2)=5。
在Rt△ABD中，AB=4，BD=5，由勾股定理得：
AD = √(BD² - AB²) = √(5² - 4²)=√9=3
因为AC=4，所以DC=AC - AD=4-3=1。
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点。
因为F是BD的中点，所以EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，得：
EF=½DC=½×1=½。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理；三角形中位线定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查几何核心定理的应用，关键是通过直角三角形斜边中线性质建立线段关系，逐步推导得到中位线，进而求出目标线段长度，属于中等难度的几何计算题，需熟练掌握相关定理的衔接运用。
【难度系数】
0.5
7.(真题·金华永康)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD和BC的中点,P是AB上的一个动点,从点A运动到点B。在点P的运动过程中,$△ PED$与$△ PFC$的面积之和 ………………（
A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大再变小
A
）A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大再变小
答案
7.A 解析:因为E,F分别是AD和BC的中点,所以$S_{△ PED}=\frac{1}{2}S_{△ PAD}$,$S_{△ PFC}=\frac{1}{2}S_{△ PBC}$,所以$S_{△ PED}+S_{△ PFC}=\frac{1}{2}(S_{△ PAD}+S_{△ PBC})$。因为$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$,所以$S_{△ PAD}+S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$,所以$S_{△ PED}+S_{△ PFC}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$,所以$△ PED$与$△ PFC$的面积之和不变,故选:A。
解析
【分析】
要判断△PED与△PFC的面积之和是否变化，需利用平行四边形的性质和三角形面积与底、高的关系分析：首先根据E、F是AD、BC中点，得出△PED与△PAD、△PFC与△PBC的面积比例关系；再结合平行四边形内三角形面积的和，推导两个阴影三角形面积和的定值，从而确定结论。
【解析】
1. 因为E是AD中点，所以$ED=\frac{1}{2}AD$，△PED与△PAD同高（高为点P到AD边的距离），根据三角形面积公式，同高的三角形面积比等于底的比，得$S_{△PED}=\frac{1}{2}S_{△PAD}$。
2. 同理，F是BC中点，$FC=\frac{1}{2}BC$，△PFC与△PBC同高（高为点P到BC边的距离），得$S_{△PFC}=\frac{1}{2}S_{△PBC}$。
3. 因此，$S_{△PED}+S_{△PFC}=\frac{1}{2}(S_{△PAD}+S_{△PBC})$。
4. 在平行四边形ABCD中，△PCD的面积是平行四边形面积的一半（以CD为底，高与平行四边形的高相等），且$S_{△PAD}+S_{△PBC}+S_{△PCD}=S_{□ABCD}$，所以$S_{△PAD}+S_{△PBC}=S_{□ABCD}-S_{△PCD}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$。
5. 代入得：$S_{△PED}+S_{△PFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{□ABCD}=\frac{1}{4}S_{□ABCD}$，为定值，故面积之和不变。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合平行四边形与三角形面积关系，核心是利用中点转化面积比例，推导得出面积和为定值，属于基础几何题，需掌握同高三角形面积比的规律。
【难度系数】
0.5
要判断△PED与△PFC的面积之和是否变化，需利用平行四边形的性质和三角形面积与底、高的关系分析：首先根据E、F是AD、BC中点，得出△PED与△PAD、△PFC与△PBC的面积比例关系；再结合平行四边形内三角形面积的和，推导两个阴影三角形面积和的定值，从而确定结论。
【解析】
1. 因为E是AD中点，所以$ED=\frac{1}{2}AD$，△PED与△PAD同高（高为点P到AD边的距离），根据三角形面积公式，同高的三角形面积比等于底的比，得$S_{△PED}=\frac{1}{2}S_{△PAD}$。
2. 同理，F是BC中点，$FC=\frac{1}{2}BC$，△PFC与△PBC同高（高为点P到BC边的距离），得$S_{△PFC}=\frac{1}{2}S_{△PBC}$。
3. 因此，$S_{△PED}+S_{△PFC}=\frac{1}{2}(S_{△PAD}+S_{△PBC})$。
4. 在平行四边形ABCD中，△PCD的面积是平行四边形面积的一半（以CD为底，高与平行四边形的高相等），且$S_{△PAD}+S_{△PBC}+S_{△PCD}=S_{□ABCD}$，所以$S_{△PAD}+S_{△PBC}=S_{□ABCD}-S_{△PCD}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$。
5. 代入得：$S_{△PED}+S_{△PFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{□ABCD}=\frac{1}{4}S_{□ABCD}$，为定值，故面积之和不变。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合平行四边形与三角形面积关系，核心是利用中点转化面积比例，推导得出面积和为定值，属于基础几何题，需掌握同高三角形面积比的规律。
【难度系数】
0.5
