14.(真题·杭州滨江)如图，E是$□ ABCD$的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F。
(1)求证:$AD=CF$。
(2)若$∠ BAF=90°$，$BC=5$，$AB=8$，求EF的长。

14.(1)证明:因为在$□ ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ F$,$∠ D=∠ ECF$,因为$E$是边$CD$的中点,所以$DE=CE$,所以$△ ADE≌△ FCE$(AAS),所以$AD=CF$。
(2)因为在$□ ABCD$中,$AD=BC=5$,所以$CF=AD=5$,所以$BF=BC+CF=5+5=10$,因为$∠ BAF=90°$,所以$△ BAF$为直角三角形,由勾股定理得$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,因为$△ ADE≌△ FCE$,所以$EF=AE=\frac{1}{2}AF=3$。

【分析】
第(1)问要证明AD=CF，需观察到AD和CF分别在△ADE与△FCE中，利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合E是CD中点得到边相等，通过AAS证明三角形全等即可得证；第(2)问先利用平行四边形对边相等得到AD的长度，结合(1)的结论算出BF的长度，再在直角三角形BAF中用勾股定理求出AF，最后由全等三角形对应边相等得到EF是AF的一半，从而算出EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠F\\∠D=∠ECF\\DE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD=CF。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
∴CF=AD=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10。
∵∠BAF=90°，
∴在Rt△BAF中，由勾股定理得：
AF=$\sqrt{BF^2 - AB^2}$=$\sqrt{10^2 -8^2}$=$\sqrt{36}$=6。
∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】(1)证明见解析；(2)EF的长为3。
【知识点】平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】本题结合平行四边形的性质，通过全等三角形证明线段相等，再运用勾股定理计算线段长度，考查了平行四边形、全等三角形及直角三角形的相关知识，综合性适中，需要掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.5

15.(真题·绍兴越城)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F。
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形。
(2)若E,F是BD的三等分点,BD=12,AC=6,求四边形ABCD的面积。

15.(1)证明:因为$AE⊥ BD$,$CF⊥ BD$,所以$∠ AEB=∠ CFD=90°$,因为$AB// CD$,所以$∠ ABE=∠ CDF$,在$△ ABE$与$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF,\\BE=DF,\\∠ AEB=∠ CFD,\end{cases}$所以$△ ABE≌△ CDF$(ASA),所以$AB=CD$,又因为$AB// CD$,所以四边形$ABCD$是平行四边形。
(2)因为$E,F$是$BD$的三等分点,$BD=12$,所以$BE=\frac{1}{3}BD=4$,因为四边形$ABCD$是平行四边形,$AC=6$,所以$OA=\frac{1}{2}AC=3$,$OB=\frac{1}{2}BD=6$,所以$OE=OB-BE=6-4=2$。因为$AE⊥ BD$,所以$∠ AEO=90°$,$△ AEO$为直角三角形,由勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$,所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE=\frac{1}{2}×12×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$,因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=2S_{△ ABD}=12\sqrt{5}$,所以四边形$ABCD$的面积是$12\sqrt{5}$。

【分析】
第(1)问要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，根据平行四边形的判定定理，只需证明AB=CD即可。由AE⊥BD、CF⊥BD可得直角相等，结合AB//CD得到的内错角相等，以及已知BE=DF，可通过ASA证明△ABE≌△CDF，进而得到AB=CD，结合AB//CD即可完成证明。第(2)问求平行四边形面积，利用平行四边形对角线互相平分的性质，先求出OA、OB的长度，再结合E是BD三等分点算出OE的长度，在Rt△AEO中用勾股定理求出AE，再根据三角形面积公式算出△ABD的面积，平行四边形面积是△ABD面积的2倍，即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CDF \\BE = DF \\∠AEB = ∠CFD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（ASA），
∴ AB = CD，
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 解：
∵ E，F是BD的三等分点，BD=12，
∴ BE = $\frac{1}{3}$BD = 4，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，
∴ OA = $\frac{1}{2}$AC = 3，OB = $\frac{1}{2}$BD = 6，
∴ OE = OB - BE = 6 - 4 = 2，
∵ AE⊥BD，
∴ △AEO是直角三角形，
由勾股定理得：AE = $\sqrt{OA^2 - OE^2}$ = $\sqrt{3^2 - 2^2}$ = $\sqrt{5}$，
∴ S△ABD = $\frac{1}{2}$×BD×AE = $\frac{1}{2}$×12×$\sqrt{5}$ = 6$\sqrt{5}$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ S平行四边形ABCD = 2S△ABD = 2×6$\sqrt{5}$ = 12$\sqrt{5}$。
【答案】
12$\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定及勾股定理的应用，解题时需熟练运用相关定理，结合图形性质逐步推导，考查学生的逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.6