7.(真题·台州温岭)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,F为CD中点,BC=6,则EF的长为……()

A.6
B.4
C.8
D.3

7.D

【分析】
要解决这道题，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定点E是AC的中点；再结合F是CD中点，得出EF是三角形的中位线；最后根据三角形中位线定理和平行四边形对边相等的性质，计算EF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD互相平分，即E为AC的中点。
又
∵F为CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边的一半，可得EF = $\frac{1}{2}$AD。
∵平行四边形对边相等，AD = BC = 6，
∴EF = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题结合平行四边形性质与三角形中位线定理求解，核心是识别中位线并利用平行四边形对边相等的关系，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】
0.3

8.(真题·台州天台)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$O,E$为$OD$上一点,若$OA: OB=3: 4, OE: ED=3: 1$,且$AE=3, CE=2$,则$□ ABCD$的面积为…………………()

A.6
B.8
C.10
D.12

8.B 解析:在$□ ABCD$中,$OA=OC,OB=OD$。因为$OA:OB=3:4,OE:ED=3:1$,所以$OA=OE$,所以$OA=OE=OC$,所以$AE⊥ EC$,所以$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· EC=\frac{1}{2}×2×3=3$。因为$OE:ED=3:1$,所以$S_{△ ACD}=\frac{4}{3}S_{△ AEC}=4$,所以$S_{□ ABCD}=2S_{△ ACD}=8$,故选:B。

【分析】
要解决本题，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到线段关系，再结合已知比例推导关键结论，进而判定直角三角形，最后通过三角形面积关系求出平行四边形面积。具体思路：1. 由平行四边形性质得OA=OC、OB=OD；2. 结合线段比例推导OA=OE，进而得到OA=OE=OC，利用直角三角形判定定理确定AE⊥CE；3. 计算△ACE的面积，再根据OE与ED的比例关系求出△ACD的面积；4. 利用平行四边形面积是△ACD面积的2倍，得出最终结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
已知OA:OB=3:4，OE:ED=3:1，且OB=OD，
∴ OD=OB，OE= (3/4)OD，OA= (3/4)OB= (3/4)OD，
∴ OA=OE，又
∵ OA=OC，
∴ OA=OE=OC，
根据“三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形”，可得∠AEC=90°，即AE⊥CE。
计算△ACE的面积：
S△ACE = (1/2)×AE×CE = (1/2)×3×2 = 3。
∵ OE:ED=3:1，
∴ OD=OE+ED=4份，
△ACE和△ACD同以AC为底，结合E、D在直线OD上，可得S△ACD = (4/3)S△ACE = (4/3)×3 = 4。
平行四边形ABCD的面积=2×S△ACD = 2×4 = 8。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、直角三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、直角三角形判定及面积计算，关键是通过比例关系推导出OA=OE=OC，进而判定AE⊥CE，再利用面积比例求解，难度中等。
【难度系数】
0.5

二、填空题
9.(真题·嘉兴)若一个多边形的每个外角均为$60°$,则这个多边形的边数为________。

9.6

【分析】要解决这个问题，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和都是固定的360°。已知该多边形每个外角为60°，则边数等于外角和除以每个外角的度数，据此计算即可。
【解析】根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为360°。已知该多边形每个外角是60°，因此边数为：$360°÷60°=6$。
【答案】6
【知识点】多边形外角和；多边形边数计算
【点评】本题考查多边形外角和的基础应用，难度较低，只要牢记多边形外角和为360°的知识点，就能快速得出结果，是巩固多边形相关知识的典型基础题。
【难度系数】0.9

10.(真题·宁波镇海)若点$P(a-1,-2)$与点$Q(-1,2)$关于坐标原点对称，则$a$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

10.2

【分析】首先明确关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于坐标原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数。本题中已知点P与Q关于原点对称，可利用该特征建立关于a的方程，进而求解a的值。
【解析】根据“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”，点$P(a-1,-2)$与$Q(-1,2)$关于原点对称，因此点P的横坐标等于点Q横坐标的相反数，即：$a - 1 = -(-1)$，计算得$a - 1 = 1$，解得$a = 2$。
【答案】2
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标规律，属于基础题，只需牢记核心规律即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8

11.(真题·金华义乌)若平行四边形的两邻边长分别4和5，两条较短边之间的距离为3，则两条较长边之间的距离为。

11.$\frac{12}{5}$

【分析】
要解决该问题，需利用平行四边形面积的不变性：平行四边形的面积等于底与对应高的乘积，无论选择哪条边作为底，面积始终固定。首先确定较短边及其对应的高，计算出平行四边形的面积；再用较长边作为底，结合面积不变的性质，求出较长边对应的高，即两条较长边之间的距离。
【解析】
平行四边形的面积公式为：$ S = 底 × 高 $。
已知平行四边形两邻边长为4和5，其中较短边为4，两条较短边之间的距离为3，即较短边对应的高为3，因此平行四边形的面积为：
$ S = 4 × 3 = 12 $。
设两条较长边之间的距离为$ h $，较长边为5，此时较长边对应的高为$ h $，面积仍为12，可得：
$ 5h = 12 $，
解得$ h = \frac{12}{5} $。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
平行四边形面积计算、平行线间的距离
【点评】
本题考查平行四边形面积公式的灵活应用，核心是利用“面积不变”的性质，通过不同底与高的对应关系求解，属于基础题，只要掌握平行四边形面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.6

12.(真题·杭州滨江)如图,在$□ ABCD$中,点E在边AD上,且$AE=2DE$,对角线AC平分$∠ BCE$,若$BC=3\sqrt{2}$,$CD=\sqrt{10}$,则AC的长为________。

12.4 解析:因为在$□ ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ EAC=∠ ACB$。因为$AC$平分$∠ BCE$,所以$∠ ECA=∠ ACB$,所以$∠ ECA=∠ EAC$,所以$AE=CE$。因为在$□ ABCD$中,$AD=BC=3\sqrt{2}$,且$AE=2DE$,所以$AE=2\sqrt{2}$,$DE=\sqrt{2}$,所以$CE=AE=2\sqrt{2}$。因为$DE^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=10$,$CD^2=(\sqrt{10})^2=10$,所以$DE^2+CE^2=CD^2$,所以$△ DEC$是直角三角形,$∠ CED=90°$,所以$∠ AEC=180°-∠ CED=90°$,所以$△ AEC$是直角三角形,所以$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$,故答案为:4。

【分析】
要解决本题，首先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合角平分线定义推导等腰三角形，得到AE=CE；再根据平行四边形对边相等及AE与DE的数量关系算出线段长度；接着用勾股定理逆定理判断直角三角形，最后在直角三角形中用勾股定理计算AC的长度。
【解析】
1. 由平行四边形性质：在$□ABCD$中，$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ EAC=∠ ACB$。
2. 结合角平分线：因为$AC$平分$∠ BCE$，所以$∠ ECA=∠ ACB$，因此$∠ ECA=∠ EAC$，根据“等角对等边”，得$AE=CE$。
3. 计算线段长度：在$□ABCD$中，$AD=BC=3\sqrt{2}$，又$AE=2DE$，故$AE+DE=AD=3\sqrt{2}$，解得$AE=2\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{2}$，所以$CE=AE=2\sqrt{2}$。
4. 判断直角：计算$DE^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，$CD^2=(\sqrt{10})^2=10$，因此$DE^2+CE^2=CD^2$，根据勾股定理逆定理，$△ DEC$是直角三角形，$∠ CED=90°$，故$∠ AEC=180°-∠ CED=90°$。
5. 计算AC：在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形判定、勾股定理及逆定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线、等腰三角形及勾股定理相关知识，解题核心是通过角的关系推导等腰，再利用勾股逆定理确定直角，逻辑推导要求较高，需学生逐步分析条件关联。
【难度系数】
0.5

三、解答题
13.(真题·台州临海)如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB=6$,$AD=4$,$∠B=100°$,$AE$平分$∠DAB$交$DC$于点$E$。
(1)求$∠DAE$的度数。
(2)求$CE$的长度。

13.(1)因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$BC// AD$,所以$∠ DAB=180°-∠ B=180°-100°=80°$,因为$AE$平分$∠ DAB$,所以$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2)因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$CD// AB$,所以$∠ DEA=∠ BAE$,因为$AE$平分$∠ DAB$,所以$∠ DAE=∠ EAB$,所以$∠ DEA=∠ DAE$,所以$DE=AD=4$,因为在$□ ABCD$中,$CD=AB=6$,所以$CE=CD-DE=6-4=2$。

【分析】
要解决本题，首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠DAB，再结合角平分线的定义计算∠DAE；求CE长度时，需利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合角平分线推出等腰三角形，得到DE的长度，再根据平行四边形对边相等求出CD，最终计算CE。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形邻角互补，得∠DAB + ∠B = 180°。已知∠B=100°，所以∠DAB = 180° - 100° = 80°。又因为AE平分∠DAB，所以∠DAE = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠DEA = ∠BAE。又因为AE平分∠DAB，所以∠DAE = ∠BAE，因此∠DEA = ∠DAE，根据“等角对等边”，得DE = AD = 4。在平行四边形ABCD中，对边相等，故CD = AB = 6，所以CE = CD - DE = 6 - 4 = 2。
【答案】
(1) ∠DAE的度数为40°；(2) CE的长度为2。
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形的基础应用题，核心考查平行四边形的性质与角平分线的应用，解题关键是通过角平分线和平行线的关系推出等腰三角形，整体难度较低，适合基础题型训练。
【难度系数】
0.6