7.轮船顺流航行时,速度为$m$千米/时,逆流航行时,速度为$(m-6)$千米/时,则水流速度为 ………………………………（）

A.2千米/时
B.3千米/时
C.6千米/时
D.不能确定

7.B

【分析】
要解决这道题，需牢记流水行船的核心速度关系：顺流速度=轮船静水速度+水流速度，逆流速度=轮船静水速度-水流速度。通过设未知数表示静水速度和水流速度，利用两个速度公式相减消去静水速度，就能快速求出水流速度。
【解析】
设轮船在静水中的速度为$v$千米/时，水流速度为$u$千米/时。
根据流水行船的速度公式：
顺流时：$v + u = m$ ①
逆流时：$v - u = m - 6$ ②
用①式减去②式，可得：
$(v + u) - (v - u) = m - (m - 6)$
化简左边：$2u$，化简右边：$6$
因此$2u = 6$，解得$u = 3$千米/时，即水流速度为3千米/时。
【答案】
B
【知识点】
流水行船问题；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是流水行船的基础题型，核心是掌握顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，通过简单代数运算即可求解，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8

8.(2024·台州路桥)工人师傅用如图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖拼成如图2的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则a的值可能是 ……………………（）

A.272
B.265
C.254
D.232

8.B 解析:设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和$a$块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形$m$个，乙种图形$n$个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组如下：$\begin{cases} m+2n=100,① \\ 4m+3n=a,② \end{cases}$ 由①得 $m=100-2n$，③ 将③代入②，得$4×(100-2n)+3n=a$，解得 $n=\dfrac{400-a}{5}=80-\dfrac{a}{5}$，因为 $m,n$ 都是正整数，所以 $a$ 必须能被5整除，由此可知，选项A,C,D不符合题意，选项B符合题意，此时 $a=265$，$\begin{cases} m=46, \\ n=27 \end{cases}$的确是二元一次方程组$\begin{cases} m+2n=100, \\ 4m+3n=265 \end{cases}$的一个正整数解。故选B。

【分析】
要解决本题，需先观察图形确定1个甲、乙图形分别使用的正方形和长方形瓷砖数量，再设未知数表示甲、乙图形的个数，根据瓷砖总数列出二元一次方程组，结合正整数的条件分析a的取值特征，最终选出符合要求的选项。
【解析】
设拼成甲种图形$ m $个，乙种图形$ n $个（$ m、n $均为正整数）。
根据正方形瓷砖共100块，可得：$ m + 2n = 100 $ ①；
根据长方形瓷砖共$ a $块，可得：$ 4m + 3n = a $ ②。
由①变形得：$ m = 100 - 2n $ ③，将③代入②：
$ 4(100 - 2n) + 3n = a $，
化简得：$ 400 - 5n = a $，即$ n = \frac{400 - a}{5} = 80 - \frac{a}{5} $。
因为$ m、n $是正整数，所以$ a $必须能被5整除，且$ n＞0 $、$ m＞0 $，解得$ a ＜400 $且$ a＞150 $。结合选项，只有265能被5整除，代入验证：当$ a=265 $时，$ n=80 - \frac{265}{5}=27 $，$ m=100 -2×27=46 $，均为正整数，符合条件。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、正整数解的分析
【点评】
本题核心是通过观察图形确定两种图形的瓷砖用量，再利用二元一次方程组结合正整数条件求解，考查学生的图形分析能力和方程应用能力，需注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.4

二、填空题
9.(2025·金华武义)已知一个二元一次方程的一个解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \end{cases}$则这个二元一次方程可以是________。

9.答案不唯一，如:$x+y=-1$

【分析】
要构造符合条件的二元一次方程，需先明确二元一次方程的定义（含两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），再将已知的方程解代入方程，构造出满足等式的式子即可，本题答案不唯一。
【解析】
根据二元一次方程的定义，设所求二元一次方程为$ax + by = c$（$a$、$b$均不为0），将$\begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}$代入方程得：$a - 2b = c$。选取简单的系数，令$a=1$，$b=1$，则$c=1 - 2×1 = -1$，因此可得到方程$x + y = -1$，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如：$x+y=-1$
【知识点】
二元一次方程的定义；二元一次方程的解
【点评】
本题为开放性填空题，考查对二元一次方程及其解的基本概念的理解，解题思路简单，只要构造出满足已知解的二元一次方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

10.(2024·台州温岭)已知$m,n$满足方程组$\begin{cases} m - 2n = a, \\ 2m + n = 9, \end{cases}$则$3m - n - a$的值是________。

10.9

【分析】
要计算$3m - n - a$的值，可观察所求代数式与方程组的关联，通过将方程组中的两个方程相加，整体得到$3m - n$的表达式，再代入所求式即可快速求解，无需单独求出$m、n、a$的具体值。
【解析】
已知方程组$\begin{cases} m - 2n = a \ \ \ \ ① \\ 2m + n = 9 \ \ \ \ ② \end{cases}$，将①+②得：
$(m - 2n) + (2m + n) = a + 9$，
化简得：$3m - n = a + 9$，
将$3m - n = a + 9$代入$3m - n - a$得：
$a + 9 - a = 9$。
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程组、代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题利用二元一次方程组的加减消元法进行整体变形，结合整体代入思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，是二元一次方程组相关题型中常见的考查方式，需掌握整体处理的技巧。
【难度系数】
0.6

11. 在长方形ABCD中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为________cm。

11.2

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立二元一次方程组来求解。首先设小长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，观察图形可得两个等量关系：一是大长方形的长$BC=13$ cm，等于小长方形的长加上3个小长方形的宽；二是图形竖直方向的尺寸关系，小长方形的长减去宽等于5 cm。通过解方程组就能得到小长方形的宽，也就是$CE$的长度。
【解析】
设小长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，根据图形尺寸关系列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 13 \\x - y = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$x$：
$(x + 3y) - (x - y) = 13 - 5 \\4y = 8 \\y = 2$
因此小长方形的宽$CE = 2$ cm。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形边长关系
【点评】
本题是几何图形与代数结合的典型题，核心是从图形中提取等量关系建立方程组，需要学生具备数形结合的思维，难度适中。
【难度系数】
0.6

12.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+my=7,①\\mx-y=2+m,②\end{cases}$将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加,得到一个新的方程,当$m$每取一个值时,就有一个方程,这些方程有一个公共解,这个公共解为$\underline{\hspace{5em}}$。

12.$\begin{cases} x=5, \\ y=-4 \end{cases}$ 解析:①+②得，$x+my+mx-y=9+m$，$x-y-9+mx+my-m=0$，$x-y-9+m(x+y-1)=0$。根据题意，这些方程有一个公共解，则方程与$m$的取值无关，可得$\begin{cases} x-y-9=0, \\ x+y-1=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=5, \\ y=-4。 \end{cases}$所以这个公共解为$\begin{cases} x=5, \\ y=-4。 \end{cases}$

【分析】
要找到方程组对应相加后新方程的公共解，需先将两个方程相加整理，再利用“方程对任意m取值都成立时，含m的项的系数与常数项均为0”的性质，联立关于x、y的方程组求解。
【解析】
将方程①和②左右两边分别相加，得：
$x + my + mx - y = 7 + (2 + m)$
整理得：$x - y + m(x + y) = 9 + m$
移项变形为：$(x - y - 9) + m(x + y - 1) = 0$
因为该方程对任意m的取值都成立，所以需满足：
$\begin{cases} x - y - 9 = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases}$
解这个方程组：
两式相加得：$2x = 10$，解得$x = 5$
将$x = 5$代入$x + y - 1 = 0$，得$5 + y - 1 = 0$，解得$y = -4$
【答案】
$\begin{cases} x=5 \\ y=-4 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组、含参数方程的公共解
【点评】
本题核心是利用方程恒成立的条件求解公共解，需学生理解参数对等式的影响，掌握含参方程的处理方法，属于中等难度的代数题。
【难度系数】
0.5

三、解答题
13. 用消元法解方程组$\begin{cases}a+2b=8,①\\3a+2b=4。②\end{cases}$三位同学采用不同方法，部分解答过程如下：
方法1:由①,得$a=8-2b$。③
把③代入②,得$3(8-2b)+2b=4$。
方法2:由②,得$2a+(a+2b)=4$。③
把①代入③,得$2a+8=4$。
方法3:①$-$②,得$2a=4$。
(1)观察上述三个消元过程,找出有错误的方法(写方法1,方法2,方法3中的一种)。
(2)选择其中一种方法,求出此方程组的解。

13.(1)方法3。
(2)方法不唯一，如方法3:①$-$②，得$-2a=4$，所以$a=-2$。把$a=-2$代入①，得$-2+2b=8$，解得$b=5$。所以原方程组的解为$\begin{cases} a=-2, \\ b=5。 \end{cases}$

【分析】
要判断三个消元方法的正误，需逐一验证运算过程：方法1是代入消元，将①变形后代入②，运算逻辑正确；方法2是整体代入消元，对②变形后利用①的整体值代入，运算正确；方法3是加减消元，计算①-②时，左边应为$(a+2b)-(3a+2b)=-2a$，右边为$8-4=4$，应得$-2a=4$，但方法3错误得到$2a=4$，符号出错，故错误的是方法3。解方程组时，选用正确的消元方法按步骤计算即可得到解。
【解析】
(1) 判断错误方法：
方法1：由①得$a=8-2b$，代入②得$3(8-2b)+2b=4$，运算正确；
方法2：将②变形为$2a+(a+2b)=4$，代入①的$a+2b=8$，得$2a+8=4$，运算正确；
方法3：①$-$②时，左边为$(a+2b)-(3a+2b)=-2a$，右边为$8-4=4$，应得$-2a=4$，但方法3错误得到$2a=4$，符号错误，故错误的是方法3。
(2) 用方法3解方程组：
①$-$②，得$(a+2b)-(3a+2b)=8-4$，化简得$-2a=4$，解得$a=-2$；
把$a=-2$代入①，得$-2+2b=8$，移项得$2b=10$，解得$b=5$；
所以原方程组的解为$\begin{cases} a=-2, \\ b=5 \end{cases}$
【答案】
(1) 方法3；(2) $\begin{cases} a=-2, \\ b=5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题考查二元一次方程组的消元解法，核心是掌握代入、加减消元的运算规则，尤其注意加减消元的符号处理，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6