三、解答题(共46分)
13. (20分)解下列方程:
(1) $25+2x=-8x+5$;
(2) $\dfrac{3}{2}t-3-t=2t-12$;
(3) $3x-2=1-2(x+1)$;
(4) $2(x+4)-3(5x+1)=2-x$.

13. (1) $x=-2$ (2) $t=6$
(3) $x=\dfrac{1}{5}$ (4) $x=\dfrac{1}{4}$

【分析】
这4道小题均为一元一次方程求解，解题的通用思路是：先观察方程形式，无括号无分母的方程直接移项，将含未知数的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项必须变号；带有括号的方程先按照去括号法则去掉括号，再进行移项、合并同类项操作，最后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 对$25+2x=-8x+5$移项，得：
$2x + 8x = 5 - 25$
合并同类项，得：
$10x = -20$
系数化为1，得：
$x = -2$
(2) 对$\dfrac{3}{2}t - 3 - t = 2t -12$，先合并左侧同类项，得：
$\dfrac{1}{2}t - 3 = 2t -12$
移项，得：
$\dfrac{1}{2}t - 2t = -12 + 3$
合并同类项，得：
$-\dfrac{3}{2}t = -9$
系数化为1，两边同乘$-\dfrac{2}{3}$，得：
$t = 6$
(3) 对$3x-2=1-2(x+1)$先去括号，得：
$3x - 2 = 1 - 2x - 2$
化简右侧，得：
$3x - 2 = -2x -1$
移项，得：
$3x + 2x = -1 + 2$
合并同类项，得：
$5x = 1$
系数化为1，得：
$x = \dfrac{1}{5}$
(4) 对$2(x+4)-3(5x+1)=2-x$先去括号，得：
$2x + 8 -15x -3 = 2 - x$
合并左侧同类项，得：
$-13x + 5 = 2 - x$
移项，得：
$-13x + x = 2 - 5$
合并同类项，得：
$-12x = -3$
系数化为1，得：
$x = \dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $t=6$；(3) $x=\dfrac{1}{5}$；(4) $x=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
一元一次方程解法，移项法则，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程的基础练习题，覆盖了无括号、含括号的两类常见一元一次方程，核心考察学生对解方程步骤的掌握程度，易错点集中在移项忘记变号、去括号时漏乘系数或符号处理错误，熟练掌握本题是后续学习分式方程、二元一次方程组的重要基础。
【难度系数】
0.8

14. (12 分)数学小组学完“一元一次方程”后,对一种新的求解方法进行了交流,请你仔细阅读.
小明: “对于 $3(x+1)+\dfrac{1}{3}(x-1)=\dfrac{1}{2}(x-1)+2(x+1)$, 我采取先去括号再移项的方法, 计算比较繁琐.”
小亮: “我有一种方法——整体求解法. 可先将 $(x+1)$、$(x-1)$ 分别看成整体进行移项、合并同类项, 得方程 $(x+1)=\dfrac{1}{6}(x-1)$, 然后继续求解.”
(1) 请你继续进行小亮的求解.
(2) 请利用小亮的方法解下面的方程:$7(x+3)+4=24-3(x+3)$.

14. (1) $3(x+1)+\dfrac{1}{3}(x-1)=\dfrac{1}{2}(x-1)+2(x+1)$,$3(x+1)-2(x+1)=\dfrac{1}{2}(x-1)-\dfrac{1}{3}(x-1)$,$x+1=\dfrac{1}{6}(x-1)$,$x+1=\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{6}$,$x-\dfrac{1}{6}x=-1-\dfrac{1}{6}$,$\dfrac{5}{6}x=-\dfrac{7}{6}$,$x=-\dfrac{7}{5}$
(2) $7(x+3)+4=24-3(x+3)$,$7(x+3)+3(x+3)=24-4$,$10(x+3)=20$,$x+3=2$,$x=-1$

【分析】
先处理第(1)问：题目已经给出小亮整体合并后得到的方程$(x+1)=\dfrac{1}{6}(x-1)$，接下来只需要按照一元一次方程的标准求解步骤，先去掉右侧括号，再移项将含x的项放等号左侧、常数项放等号右侧，合并同类项后把x的系数化为1，就能得到最终解。
再处理第(2)问：按照小亮的整体求解思路，把$(x+3)$当作一个统一的整体，先移项把所有含$(x+3)$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，先合并同类项直接求出整体$(x+3)$的数值，再进一步计算x的取值，这种方法可以省去展开括号的繁琐步骤，大幅简化运算。
【解析】
(1) 继续求解方程$(x+1)=\dfrac{1}{6}(x-1)$：
① 去括号：$x+1=\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{6}$
② 移项：$x-\dfrac{1}{6}x=-1-\dfrac{1}{6}$
③ 合并同类项：$\dfrac{5}{6}x=-\dfrac{7}{6}$
④ 系数化为1：两边同时除以$\dfrac{5}{6}$，得$x=-\dfrac{7}{5}$
(2) 用整体法解方程$7(x+3)+4=24-3(x+3)$：
① 移项：将含$(x+3)$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$7(x+3)+3(x+3)=24-4$
② 合并同类项：把$(x+3)$作为整体合并，得$10(x+3)=20$
③ 两边同时除以10，得$x+3=2$
④ 移项计算得$x=-1$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{7}{5}$；(2) $x=-1$
【知识点】
一元一次方程求解，整体换元思想
【点评】
本题引导学生跳出常规先去括号的固化解题思维，体会整体合并的简便运算技巧，既夯实了一元一次方程的求解基础，也让学生初步感知换元思想在代数运算中的作用，有效降低繁琐计算的出错概率。
【难度系数】
0.8

15. (14 分) 已知方程 $6-3(x+1)=0$ 的解与关于 $x$ 的方程 $\dfrac{k+x}{2}-3k-2=2x$ 的解互为倒数,求 $k$ 的值.

15. $6-3(x+1)=0$,去括号,得$6-3x-3=0$,解得$x=1$.因为方程$6-3(x+1)=0$的解与关于$x$的方程$\dfrac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解互为倒数,所以$x=1$也是方程$\dfrac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解. 所以$\dfrac{k+1}{2}-3k-2=2$.
去分母,得$k+1-6k-4=4$,解得 $k=-\dfrac{7}{5}$

【分析】
我们可以按照三步逻辑梳理解题思路：
1. 先求解第一个不含参数的一元一次方程，按照常规解一元一次方程的步骤算出它的解；
2. 结合题目给出的“两个方程的解互为倒数”的条件，根据倒数的定义，推导得到第二个带参数k的方程的解；
3. 把得到的第二个方程的解代入含k的方程，此时方程就转化为只含未知数k的一元一次方程，求解即可得到k的值。本题中第一个方程的解为1，1的倒数仍是1，可直接代入第二个方程简化运算。
【解析】
1. 求解方程$6-3(x+1)=0$
去括号，得：$6 - 3x - 3 = 0$
合并同类项，得：$3 - 3x = 0$
移项得：$-3x = -3$
系数化为1，得：$x=1$
2. 推导第二个方程的解
因为两个方程的解互为倒数，1的倒数为1，因此方程$\dfrac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=1$。
3. 代入求解参数k
将$x=1$代入方程$\dfrac{k+x}{2}-3k-2=2x$，可得：
$\dfrac{k+1}{2} - 3k - 2 = 2$
去分母，两边同乘2，得：$k + 1 - 6k - 4 = 4$
合并同类项，得：$-5k - 3 = 4$
移项得：$-5k = 7$
系数化为1，得：$k = -\dfrac{7}{5}$
【答案】$k=-\dfrac{7}{5}$
【知识点】一元一次方程解法，倒数性质，方程的解
【点评】本题是一元一次方程板块的基础综合题，结合倒数概念考察含参数方程的求解，整体运算难度低，易错点为去分母时漏乘无分母的常数项、去括号时符号处理错误，解题时注意每一步运算的规范性即可规避失误。
【难度系数】0.7