一、基础
1. 下列函数中，$ y $是$ x $的反比例函数的是()
A.$ y = -\frac{1}{3x} $
B.$ y = \frac{1}{x^{2}} $
C.$ y = \frac{1}{x - 1} $
D.$ y = \frac{x}{2} $

A

2. 下列方程中，一定是关于$ x $的一元二次方程的是()

A.$ 2x^{2} = 3(x - 1) $
B.$ \frac{1}{x^{2}} - 2 = 0 $
C.$ ax^{2} + bx + c = 0 $
D.$ x^{2} + 2x = x^{3} - 5 $

A

一元二次方程必须满足两个条件：首先，是整式方程；其次，方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是$2$。
A选项：$2x^{2}=3(x - 1)$，去括号得$2x^{2}=3x - 3$，移项化为一般形式为$2x^{2}-3x + 3 = 0$，是整式方程，且未知数$x$的最高次数是$2$，所以它是一元二次方程。
B选项：$\frac{1}{x^{2}}-2 = 0$，该方程的分母中含有未知数$x$，它是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
C选项：$ax^{2}+bx + c = 0$，当$a = 0$时，方程化为$bx + c = 0$，此时未知数$x$的最高次数是$1$，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程。
D选项：$x^{2}+2x = x^{3}-5$，移项化为一般形式为$x^{3}-x^{2}-2x - 5 = 0$，未知数$x$的最高次数是$3$，所以不是一元二次方程。

3. 若$ 2x + 1 $与$ 2x - 1 $互为倒数，则实数$ x $为()

A.$ \pm \frac{1}{2} $
B.$ \pm 1 $
C.$ \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \pm \sqrt{2} $

C

由题意可知 $(2x + 1)(2x - 1) = 1$，根据平方差公式得$4x^2 - 1 = 1$，
移项可得$4x^2 = 2$，
两边同时除以4，得到$x^2 = \frac{1}{2}$，
解得$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
经检验均满足原方程。

4. 已知关于$ x $的方程$ x^{2} - 2x + 3k = 0 $有两个不相等的实数根，则$ k $的取值范围为()

A.$ k ＜ \frac{1}{3} $
B.$ k ＞ \frac{1}{3} $
C.$ k ＜ \frac{1}{3} $且$ k \neq 0 $
D.$ k ＞ -\frac{1}{3} $且$ k \neq 0 $

A

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^2 - 2x + 3k = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，$c = 3k$。
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × 3k = 4 - 12k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即$4 - 12k ＞ 0$，解得$k ＜ \frac{1}{3}$。

5. 若关于$ x $的一元二次方程$ nx^{2} - 2x - 1 = 0 $无实数根，则一次函数$ y = (n + 1)x - n $的图象不经过()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

C

对于一元二次方程 $ nx^{2} - 2x - 1 = 0 $ 无实数根，需要满足两个条件：
1. $ n \neq 0 $（否则方程退化为一次方程，必有实数根）。
2. 判别式 $ \Delta = b^{2} - 4ac ＜ 0 $。
计算判别式：
$ \Delta = (-2)^{2} - 4 · n · (-1) = 4 + 4n ＜ 0 $，
解得：
$ n ＜ -1 $。
考虑一次函数 $ y = (n + 1)x - n $：
由于 $ n ＜ -1 $，则 $ n + 1 ＜ 0 $，即斜率 $ k ＜ 0 $。
再考虑 $ y $ 轴上的截距 $ -n $，由于 $ n ＜ -1 $，则 $ -n ＞ 1 ＞ 0 $，即截距 $ b ＞ 0 $。
根据一次函数的性质，当 $ k ＜ 0 $ 且 $ b ＞ 0 $ 时，函数图像将从左上到右下倾斜，且交 $ y $ 轴于正半轴，因此图像将经过第一、二、四象限，不经过第三象限。