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一、选择题(每题3分,共18分)
1. 将方程$x^2 - 6x + 1 = 0$配方后,原方程可变形为 （
A.$(x - 3)^2 = 8$
B.$(x - 3)^2 = 10$
C.$(x + 3)^2 = 10$
D.$(x + 3)^2 = 8$
1. 将方程$x^2 - 6x + 1 = 0$配方后,原方程可变形为 （
A
）A.$(x - 3)^2 = 8$
B.$(x - 3)^2 = 10$
C.$(x + 3)^2 = 10$
D.$(x + 3)^2 = 8$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，第一步先将常数项移到等号右侧，第二步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方的形式，最后计算等号右侧的结果，即可得到配方后的方程，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 6x + 1 = 0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = -1$
第二步，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式两边同时加9，得：
$x^2 - 6x + 9 = -1 + 9$
第三步，将左侧整理为完全平方式，计算右侧结果：
$(x-3)^2 = 8$
因此配方后原方程变形为$(x-3)^2=8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，是一元二次方程相关知识中的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，第一步先将常数项移到等号右侧，第二步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方的形式，最后计算等号右侧的结果，即可得到配方后的方程，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 6x + 1 = 0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = -1$
第二步，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式两边同时加9，得：
$x^2 - 6x + 9 = -1 + 9$
第三步，将左侧整理为完全平方式，计算右侧结果：
$(x-3)^2 = 8$
因此配方后原方程变形为$(x-3)^2=8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，是一元二次方程相关知识中的常考基础题。
【难度系数】
0.8
2. ⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离OA=6，则点A与⊙O的位置关系为 （
A.点A在圆上
B.点A在圆内
C.点A在圆外
D.无法确定
C
）A.点A在圆上
B.点A在圆内
C.点A在圆外
D.无法确定
答案
2.C
解析
【分析】要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。本题中首先提取题目给出的半径r和点A到圆心的距离OA的数值，再对二者大小进行比较，即可对应得出点A的位置。
【解析】已知⊙O的半径r=5，点A到圆心O的距离d=OA=6。
因为6＞5，即d＞r，根据点与圆的位置关系判定规则，可得点A在⊙O外。
因此本题选C选项。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题属于基础概念应用题，难度较低，解题的关键是牢记点与圆位置关系的判定方法，通过简单的数值比较即可得出结果。
【难度系数】0.9
【解析】已知⊙O的半径r=5，点A到圆心O的距离d=OA=6。
因为6＞5，即d＞r，根据点与圆的位置关系判定规则，可得点A在⊙O外。
因此本题选C选项。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题属于基础概念应用题，难度较低，解题的关键是牢记点与圆位置关系的判定方法，通过简单的数值比较即可得出结果。
【难度系数】0.9
3.《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多少步？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为$ x $，根据题意，可列方程为（
A.$(7x - 10)^2 = 10^2 + (3x)^2$
B.$(7x - 10)^2 + (3x)^2 = 10^2$
C.$(7x - 10)^2 + 10^2 = (3x)^2$
D.$(7x + 10)^2 = 10^2 + (3x)^2$
A
）A.$(7x - 10)^2 = 10^2 + (3x)^2$
B.$(7x - 10)^2 + (3x)^2 = 10^2$
C.$(7x - 10)^2 + 10^2 = (3x)^2$
D.$(7x + 10)^2 = 10^2 + (3x)^2$
答案
3.A
解析
【分析】
解决本题首先要梳理甲、乙的行走路线，判断路线构成的几何图形：第一步先根据“路程=速度×时间”表示出相遇时甲、乙走的总路程，再找到甲斜向走的路程的表达式；第二步明确出发地、甲向南走10步的位置、相遇点三点构成直角三角形，确定三边对应的长度，最后利用勾股定理列方程即可。
【解析】
设甲、乙二人从出发到相遇的时间为$ x $：
1. 计算各段路程：乙的速度为3，总路程为$ 3x $步（方向正东）；甲的速度为7，总路程为$ 7x $步，其中向南走了10步，因此斜向走的路程为$ (7x - 10) $步。
2. 分析直角三角形三边：出发地、甲向南走10步的位置、相遇点构成直角三角形，两条直角边分别为向南的10步、向东的$ 3x $步，斜边为甲斜向走的$ (7x - 10) $步。
3. 根据勾股定理（直角三角形斜边平方等于两直角边平方和），列方程得：$ (7x - 10)^2 = 10^2 + (3x)^2 $。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；列一元二次方程；行程问题
【点评】
本题结合古代数学典籍的实际背景，将行程问题和勾股定理相结合，考查学生梳理数量关系、结合几何知识解决实际问题的能力，需要注意正确判断直角三角形的斜边和直角边。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要梳理甲、乙的行走路线，判断路线构成的几何图形：第一步先根据“路程=速度×时间”表示出相遇时甲、乙走的总路程，再找到甲斜向走的路程的表达式；第二步明确出发地、甲向南走10步的位置、相遇点三点构成直角三角形，确定三边对应的长度，最后利用勾股定理列方程即可。
【解析】
设甲、乙二人从出发到相遇的时间为$ x $：
1. 计算各段路程：乙的速度为3，总路程为$ 3x $步（方向正东）；甲的速度为7，总路程为$ 7x $步，其中向南走了10步，因此斜向走的路程为$ (7x - 10) $步。
2. 分析直角三角形三边：出发地、甲向南走10步的位置、相遇点构成直角三角形，两条直角边分别为向南的10步、向东的$ 3x $步，斜边为甲斜向走的$ (7x - 10) $步。
3. 根据勾股定理（直角三角形斜边平方等于两直角边平方和），列方程得：$ (7x - 10)^2 = 10^2 + (3x)^2 $。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；列一元二次方程；行程问题
【点评】
本题结合古代数学典籍的实际背景，将行程问题和勾股定理相结合，考查学生梳理数量关系、结合几何知识解决实际问题的能力，需要注意正确判断直角三角形的斜边和直角边。
【难度系数】
0.7
4. 当汽车的功率$ P $ kW一定时，汽车的行驶速度$ v $ m/s与汽车所受阻力$ F $ N之间成反比例函数关系，其图象如图所示.当汽车所受阻力低于600 N时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应（
A.大于 30 m/s
B.不大于 30 m/s
C.小于 30 m/s
D.不小于 30 m/s
B
）A.大于 30 m/s
B.不大于 30 m/s
C.小于 30 m/s
D.不小于 30 m/s
答案
4.B
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据F与v成反比例关系，设出反比例函数解析式；再利用图象上给出的已知点坐标，用待定系数法求出函数解析式；最后根据安全要求“阻力不低于600N”，即F≥600N，代入解析式求解对应的速度v的取值范围即可。
【解析】
设汽车所受阻力F与行驶速度v的反比例函数解析式为$ F=\frac{k}{v}(k≠0, v＞0) $。
由图象可知，当$ v=20\ \mathrm{m/s} $时，$ F=900\ \mathrm{N} $，代入解析式得：
$ 900=\frac{k}{20} $，解得$ k=900×20=18000 $，
因此函数解析式为$ F=\frac{18000}{v} $。
为保证行驶安全，需满足$ F≥600\ \mathrm{N} $，代入得：
$ \frac{18000}{v}≥600 $，
因为v是速度，$ v＞0 $，两边同乘v不等号方向不变，得$ 18000≥600v $，
解得$ v≤30 $，即汽车行驶速度不大于30m/s。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 一元一次不等式的求解
【点评】
本题结合行车安全的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先确定反比例函数解析式，再结合实际限制条件求解自变量的取值范围，解题时需注意反比例函数的增减性，避免取值范围判断错误。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据F与v成反比例关系，设出反比例函数解析式；再利用图象上给出的已知点坐标，用待定系数法求出函数解析式；最后根据安全要求“阻力不低于600N”，即F≥600N，代入解析式求解对应的速度v的取值范围即可。
【解析】
设汽车所受阻力F与行驶速度v的反比例函数解析式为$ F=\frac{k}{v}(k≠0, v＞0) $。
由图象可知，当$ v=20\ \mathrm{m/s} $时，$ F=900\ \mathrm{N} $，代入解析式得：
$ 900=\frac{k}{20} $，解得$ k=900×20=18000 $，
因此函数解析式为$ F=\frac{18000}{v} $。
为保证行驶安全，需满足$ F≥600\ \mathrm{N} $，代入得：
$ \frac{18000}{v}≥600 $，
因为v是速度，$ v＞0 $，两边同乘v不等号方向不变，得$ 18000≥600v $，
解得$ v≤30 $，即汽车行驶速度不大于30m/s。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 一元一次不等式的求解
【点评】
本题结合行车安全的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先确定反比例函数解析式，再结合实际限制条件求解自变量的取值范围，解题时需注意反比例函数的增减性，避免取值范围判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 小明在计算一组数据的离差平方和 $ S^2=(x_1 - 3)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2 + (6 - 3)^2 $，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（
A.$ n=5 $
B.$ x_1=0 $
C.第二四分位数为3
D.$ s^2=24 $
D
）A.$ n=5 $
B.$ x_1=0 $
C.第二四分位数为3
D.$ s^2=24 $
答案
5.D
解析
【分析】
首先根据离差平方和的定义，表达式中平方项的个数就是数据总数，每个平方项中减去的常数就是这组数据的平均数。解题时逐一验证四个选项：先数平方项个数判断A；再用平均数公式求出$x_1$判断B；接着把所有数据排序找中位数（即第二四分位数）判断C；最后计算离差平方和或方差判断D，即可选出错误结论。
【解析】
1. 验证选项A：观察离差平方和的表达式，共有$(x_1-3)^2$、$(2-3)^2$、$(3-3)^2$、$(4-3)^2$、$(6-3)^2$共5个平方项，对应5个数据，因此$n=5$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：离差为数据减平均数，所有项均减3，说明这组数据的平均数$\bar{x}=3$。根据平均数公式：
$\bar{x}=\frac{x_1+2+3+4+6}{5}=3$
解得$x_1=3×5-(2+3+4+6)=0$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：将5个数据从小到大排序为0、2、3、4、6，第二四分位数即中位数，5个数据的中位数是第3个数据，为3，C结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：计算离差平方和为：
$(0-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(6-3)^2=9+1+0+1+9=20$
若计算总体方差$s^2=\frac{20}{5}=4$，若计算样本方差$s^2=\frac{20}{5-1}=5$，均不等于24，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算，中位数，方差计算
【点评】
本题围绕统计核心概念展开，需要准确掌握平均数、中位数、方差的定义及计算方法，逐一排查选项即可得出答案，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据离差平方和的定义，表达式中平方项的个数就是数据总数，每个平方项中减去的常数就是这组数据的平均数。解题时逐一验证四个选项：先数平方项个数判断A；再用平均数公式求出$x_1$判断B；接着把所有数据排序找中位数（即第二四分位数）判断C；最后计算离差平方和或方差判断D，即可选出错误结论。
【解析】
1. 验证选项A：观察离差平方和的表达式，共有$(x_1-3)^2$、$(2-3)^2$、$(3-3)^2$、$(4-3)^2$、$(6-3)^2$共5个平方项，对应5个数据，因此$n=5$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：离差为数据减平均数，所有项均减3，说明这组数据的平均数$\bar{x}=3$。根据平均数公式：
$\bar{x}=\frac{x_1+2+3+4+6}{5}=3$
解得$x_1=3×5-(2+3+4+6)=0$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：将5个数据从小到大排序为0、2、3、4、6，第二四分位数即中位数，5个数据的中位数是第3个数据，为3，C结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：计算离差平方和为：
$(0-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(6-3)^2=9+1+0+1+9=20$
若计算总体方差$s^2=\frac{20}{5}=4$，若计算样本方差$s^2=\frac{20}{5-1}=5$，均不等于24，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算，中位数，方差计算
【点评】
本题围绕统计核心概念展开，需要准确掌握平均数、中位数、方差的定义及计算方法，逐一排查选项即可得出答案，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，弦$BD$交$AC$于点$E$，$AE＝DE$，$BC＝CE$，过点$O$作$OF ⊥ AC$，垂足为$F$，延长$FO$交$BE$于点$G$，若$DE＝3$，$AB＝7$，则$EG$的长为（
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
A
）A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
答案
6.A
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用同弧所对的圆周角相等、已知AE=DE和对顶角相等，证明△AEB≌△DEC，得到AB=CD、BE=CE的边的关系；②结合已知BC=CE，可判定△BCE为等边三角形，得到∠BEC=60°；③利用垂径定理可知OF垂直平分AC，推导出EF与EC的数量关系，再结合Rt△EFG中60°角的性质，得到EG与EC的关系；④最后在△DEC中构造直角三角形，利用勾股定理求出EC的长度，代入即可算出EG的长。
【解析】
1. 证明△AEB≌△DEC：
在⊙O中，∠A和∠D都是弧BC所对的圆周角，故∠A=∠D。
又
∵AE=DE，∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴BE=CE，CD=AB=7。
2. 判定等边三角形：
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，即△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°。
3. 推导EG与EC的关系：
∵OF⊥AC，由垂径定理得F是AC的中点，
∴$AF=FC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AE+EC)=\frac{1}{2}(3+EC)$，
∴$EF=AF - AE = \frac{1}{2}(3+EC) - 3 = \frac{1}{2}(EC-3)$。
在Rt△EFG中，∠GEF=∠BEC=60°，故∠EGF=30°，
由直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得$EG=2EF$，
代入EF的表达式得$EG=2×\frac{1}{2}(EC-3)=EC-3$。
4. 求EC的长度：
过D作DH⊥AC，交AC的延长线于点H，
∵∠DEC=180°-∠BEC=120°，
∴∠DEH=60°，
在Rt△DEH中，DE=3，
∴$EH=DE·\cos60°=3×\frac{1}{2}=1.5$，$DH=DE·\sin60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$HC=EH+EC=1.5+EC$，
在Rt△DHC中，由勾股定理得$DH^2+HC^2=CD^2$，
代入数值：$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (EC+1.5)^2 =7^2$，
化简得：$\frac{27}{4} + EC^2 + 3EC + \frac{9}{4} =49$，
整理得$EC^2+3EC-40=0$，
解得$EC=\frac{-3±13}{2}$，舍去负值得$EC=5$。
5. 计算EG：
$EG=EC-3=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，将圆的基本性质和三角形全等、等边三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的突破口是先通过全等得到边相等，进而得到等边三角形的角度关系，再结合垂径定理建立所求线段与未知边的联系。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①首先利用同弧所对的圆周角相等、已知AE=DE和对顶角相等，证明△AEB≌△DEC，得到AB=CD、BE=CE的边的关系；②结合已知BC=CE，可判定△BCE为等边三角形，得到∠BEC=60°；③利用垂径定理可知OF垂直平分AC，推导出EF与EC的数量关系，再结合Rt△EFG中60°角的性质，得到EG与EC的关系；④最后在△DEC中构造直角三角形，利用勾股定理求出EC的长度，代入即可算出EG的长。
【解析】
1. 证明△AEB≌△DEC：
在⊙O中，∠A和∠D都是弧BC所对的圆周角，故∠A=∠D。
又
∵AE=DE，∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴BE=CE，CD=AB=7。
2. 判定等边三角形：
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，即△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°。
3. 推导EG与EC的关系：
∵OF⊥AC，由垂径定理得F是AC的中点，
∴$AF=FC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AE+EC)=\frac{1}{2}(3+EC)$，
∴$EF=AF - AE = \frac{1}{2}(3+EC) - 3 = \frac{1}{2}(EC-3)$。
在Rt△EFG中，∠GEF=∠BEC=60°，故∠EGF=30°，
由直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得$EG=2EF$，
代入EF的表达式得$EG=2×\frac{1}{2}(EC-3)=EC-3$。
4. 求EC的长度：
过D作DH⊥AC，交AC的延长线于点H，
∵∠DEC=180°-∠BEC=120°，
∴∠DEH=60°，
在Rt△DEH中，DE=3，
∴$EH=DE·\cos60°=3×\frac{1}{2}=1.5$，$DH=DE·\sin60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$HC=EH+EC=1.5+EC$，
在Rt△DHC中，由勾股定理得$DH^2+HC^2=CD^2$，
代入数值：$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (EC+1.5)^2 =7^2$，
化简得：$\frac{27}{4} + EC^2 + 3EC + \frac{9}{4} =49$，
整理得$EC^2+3EC-40=0$，
解得$EC=\frac{-3±13}{2}$，舍去负值得$EC=5$。
5. 计算EG：
$EG=EC-3=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，将圆的基本性质和三角形全等、等边三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的突破口是先通过全等得到边相等，进而得到等边三角形的角度关系，再结合垂径定理建立所求线段与未知边的联系。
【难度系数】
0.6
7. 若$x=2$是一元二次方程$x^2 + kx - 2 = 0$的解，则$k$的值是
-1
。答案
7.-1
解析
【分析】
根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需把已知的解$x=2$代入原方程，就能得到一个只含有未知数$k$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$k$的值。
【解析】
因为$x=2$是一元二次方程$x^2 + kx - 2 = 0$的解，所以将$x=2$代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}2^2 + 2k - 2 &= 0\\4 + 2k - 2 &= 0\\2k + 2 &= 0\\2k &= -2\\k &= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的性质，只要掌握“方程的解代入原方程后等式恒成立”这一要点，代入转化为一元一次方程即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需把已知的解$x=2$代入原方程，就能得到一个只含有未知数$k$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$k$的值。
【解析】
因为$x=2$是一元二次方程$x^2 + kx - 2 = 0$的解，所以将$x=2$代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}2^2 + 2k - 2 &= 0\\4 + 2k - 2 &= 0\\2k + 2 &= 0\\2k &= -2\\k &= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的性质，只要掌握“方程的解代入原方程后等式恒成立”这一要点，代入转化为一元一次方程即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
8. $△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ ABC=30°$，$AC=2$，则这个圆的半径为
2
。答案
8.2
解析
【分析】
本题已知圆内接三角形的一个圆周角及其对边长度，要求圆的半径。解题时可从圆周角与圆心角的关系入手：首先连接圆心与已知弦AC的两个端点，得到两条半径，利用圆周角定理求出两条半径的夹角；再结合半径相等的性质，可判断出由两条半径和AC组成的三角形的形状，进而求出半径长度。
【解析】
连接OA、OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，
∴$△ AOC$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴OA=AC=2，即$\odot O$的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题核心是通过圆周角定理实现圆周角与圆心角的转化，也可通过构造直径将问题转化为含30°角的直角三角形问题求解，方法灵活，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8
本题已知圆内接三角形的一个圆周角及其对边长度，要求圆的半径。解题时可从圆周角与圆心角的关系入手：首先连接圆心与已知弦AC的两个端点，得到两条半径，利用圆周角定理求出两条半径的夹角；再结合半径相等的性质，可判断出由两条半径和AC组成的三角形的形状，进而求出半径长度。
【解析】
连接OA、OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，
∴$△ AOC$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴OA=AC=2，即$\odot O$的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题核心是通过圆周角定理实现圆周角与圆心角的转化，也可通过构造直径将问题转化为含30°角的直角三角形问题求解，方法灵活，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8
9. 反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上有三点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，且$x_1＜0＜x_2＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1＜y_3＜y_2$
（用“＜”号连接）。答案
9.$y_1＜y_3＜y_2$
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，需按以下思路推导：首先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和增减性；再根据三个点横坐标的正负，确定各点所在的象限，区分出函数值的正负，负的函数值一定小于正的函数值；最后对同一象限内的点，结合增减性和横坐标的大小关系，判断对应函数值的大小即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$中，$k=3＞0$，
∴该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$在第三象限，$\therefore y_1＜0$；
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$在第一象限，$\therefore y_2＞0$，$y_3＞0$。
又
∵第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＞y_3$。
综上可得大小关系为$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
反比例函数的性质、函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题型，解题时注意不要直接跨象限套用增减性判断大小，需先按象限分类区分函数值的正负，再对同象限内的函数值用增减性比较。
【难度系数】
0.7
要比较三个函数值的大小，需按以下思路推导：首先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和增减性；再根据三个点横坐标的正负，确定各点所在的象限，区分出函数值的正负，负的函数值一定小于正的函数值；最后对同一象限内的点，结合增减性和横坐标的大小关系，判断对应函数值的大小即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$中，$k=3＞0$，
∴该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$在第三象限，$\therefore y_1＜0$；
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$在第一象限，$\therefore y_2＞0$，$y_3＞0$。
又
∵第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＞y_3$。
综上可得大小关系为$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
反比例函数的性质、函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题型，解题时注意不要直接跨象限套用增减性判断大小，需先按象限分类区分函数值的正负，再对同象限内的函数值用增减性比较。
【难度系数】
0.7
