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10. 甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表(单位:℃).
甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：$S_甲^2$
甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：$S_甲^2$
＜
$S_乙^2$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
10.＜
解析
【分析】
要比较甲、乙两地日平均气温的方差大小，需按照方差的计算步骤求解：第一步先分别计算甲、乙两组数据的平均数，第二步根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$分别计算两组数据的方差，第三步比较两个方差的大小即可得到结论。
【解析】
1. 计算甲地气温的平均数和方差：
甲地5天的气温为12、11、12、10、12，
平均数$\overline{x}_甲=\frac{12+11+12+10+12}{5}=11.4$，
方差$S_甲^2=\frac{1}{5}×[3×(12-11.4)^2+(11-11.4)^2+(10-11.4)^2]$
$=\frac{1}{5}×(3×0.36+0.16+1.96)=\frac{3.2}{5}=0.64$。
2. 计算乙地气温的平均数和方差：
乙地5天的气温为-2、0、4、0、-2，
平均数$\overline{x}_乙=\frac{-2+0+4+0-2}{5}=0$，
方差$S_乙^2=\frac{1}{5}×[2×(-2-0)^2+2×(0-0)^2+(4-0)^2]$
$=\frac{1}{5}×(8+0+16)=\frac{24}{5}=4.8$。
3. 比较大小：
因为$0.64＜4.8$，所以$S_甲^2＜S_乙^2$。
【答案】
＜
【知识点】
平均数计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查方差的计算方法，解题的关键是牢记方差公式，通过计算方差还可以判断两组数据的稳定性，方差越小的数据波动越小，稳定性越高。
【难度系数】
0.7
要比较甲、乙两地日平均气温的方差大小，需按照方差的计算步骤求解：第一步先分别计算甲、乙两组数据的平均数，第二步根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$分别计算两组数据的方差，第三步比较两个方差的大小即可得到结论。
【解析】
1. 计算甲地气温的平均数和方差：
甲地5天的气温为12、11、12、10、12，
平均数$\overline{x}_甲=\frac{12+11+12+10+12}{5}=11.4$，
方差$S_甲^2=\frac{1}{5}×[3×(12-11.4)^2+(11-11.4)^2+(10-11.4)^2]$
$=\frac{1}{5}×(3×0.36+0.16+1.96)=\frac{3.2}{5}=0.64$。
2. 计算乙地气温的平均数和方差：
乙地5天的气温为-2、0、4、0、-2，
平均数$\overline{x}_乙=\frac{-2+0+4+0-2}{5}=0$，
方差$S_乙^2=\frac{1}{5}×[2×(-2-0)^2+2×(0-0)^2+(4-0)^2]$
$=\frac{1}{5}×(8+0+16)=\frac{24}{5}=4.8$。
3. 比较大小：
因为$0.64＜4.8$，所以$S_甲^2＜S_乙^2$。
【答案】
＜
【知识点】
平均数计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查方差的计算方法，解题的关键是牢记方差公式，通过计算方差还可以判断两组数据的稳定性，方差越小的数据波动越小，稳定性越高。
【难度系数】
0.7
11. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率.某同学在学习割圆术的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若$\odot O$的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为
27
.答案
11.27
解析
【分析】
要计算圆内接正十二边形的面积，可通过转化思想，将其分割为12个全等的等腰三角形求解：首先正多边形的中心角等于360°除以边数，先求出每个等腰三角形的顶角度数；再结合等腰三角形的腰长等于圆的半径，利用特殊角的三角函数值求出三角形的高，计算单个三角形的面积后乘12，即可得到正十二边形的总面积。
【解析】
解：
∵圆内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，已知$\odot O$的半径为3，
∴每个以圆心$O$和正十二边形相邻两个顶点为顶点的等腰三角形，腰长均为3，顶角为$30°$。
过等腰三角形的一个底顶点向对应的腰作高，根据30°角所对直角边是斜边的一半，可得高为$3×\sin30°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
单个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
因此正十二边形的面积为$12×\frac{9}{4}=27$。
【答案】
27
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合古代“割圆术”的数学文化背景考查正多边形面积计算，解题核心是将正多边形面积转化为多个中心等腰三角形的面积之和，注重对转化思想和基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
要计算圆内接正十二边形的面积，可通过转化思想，将其分割为12个全等的等腰三角形求解：首先正多边形的中心角等于360°除以边数，先求出每个等腰三角形的顶角度数；再结合等腰三角形的腰长等于圆的半径，利用特殊角的三角函数值求出三角形的高，计算单个三角形的面积后乘12，即可得到正十二边形的总面积。
【解析】
解：
∵圆内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，已知$\odot O$的半径为3，
∴每个以圆心$O$和正十二边形相邻两个顶点为顶点的等腰三角形，腰长均为3，顶角为$30°$。
过等腰三角形的一个底顶点向对应的腰作高，根据30°角所对直角边是斜边的一半，可得高为$3×\sin30°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
单个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
因此正十二边形的面积为$12×\frac{9}{4}=27$。
【答案】
27
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合古代“割圆术”的数学文化背景考查正多边形面积计算，解题核心是将正多边形面积转化为多个中心等腰三角形的面积之和，注重对转化思想和基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
12.如图，$\odot O$的半径是2，A是圆周上一定点，点B在$\odot O$上运动，且$∠ ABM=30°$，$AC⊥ BM$，垂足为C，连接OC，则OC的最小值是
$\sqrt{3}-1$
.答案
12.$\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
求解本题首先分析已知条件：由AC⊥BM可得△ACB为直角三角形，结合∠ABM=30°，可推出AC=½AB，∠BAC=60°。取AB中点E，连接OE、CE：利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得CE=AE=½AB，可证△AEC为等边三角形；再根据等腰三角形三线合一，得OE⊥AB，进而得到∠OEC=30°。最后通过勾股定理表示出OC²，结合不等式性质即可求出OC的最小值。
【解析】
解：取AB的中点E，连接OE、CE。
1. 因为AC⊥BM，所以∠ACB=90°。在Rt△ACB中，E是斜边AB的中点，由直角三角形斜边中线性质得：$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$。
2. 已知$∠ ABM=30°$，所以$∠ BAC=90°-30°=60°$，结合$CE=AE$，可得$△ AEC$是等边三角形，因此$∠ AEC=60°$。
3. 因为$\odot O$半径为2，所以$OA=OB=2$，又E是AB中点，由等腰三角形三线合一可知$OE⊥ AB$，即$∠ OEA=90°$，因此$∠ OEC=∠ OEA-∠ AEC=90°-60°=30°$。
4. 在$Rt△ OEA$中，由勾股定理得：$OE^2 + AE^2 = OA^2=4$，又$CE=AE$，所以$OE^2 + CE^2=4$。
5. 过C作$CF⊥ OE$于F，在$Rt△ CEF$中，$∠ OEC=30°$，因此$CF=\frac{1}{2}CE$，$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}CE$。
6. 则$OF=OE-EF=OE-\frac{\sqrt{3}}{2}CE$，在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}OC^2&=OF^2 + CF^2\\&=(OE-\frac{\sqrt{3}}{2}CE)^2 + (\frac{1}{2}CE)^2\\&=OE^2 - \sqrt{3}OE· CE + \frac{3}{4}CE^2 + \frac{1}{4}CE^2\\&=OE^2 + CE^2 - \sqrt{3}OE· CE\end{aligned}$
将$OE^2 + CE^2=4$代入得：$OC^2=4 - \sqrt{3}OE· CE$。
7. 由完全平方的性质可知$OE^2 + CE^2≥ 2OE· CE$，因此$OE· CE≤ \frac{OE^2 + CE^2}{2}=\frac{4}{2}=2$，当且仅当$OE=CE$时取等号。
代入得：$OC^2≥ 4 - \sqrt{3}×2=4-2\sqrt{3}$。
又因为$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^2$，且$OC＞0$，所以$OC≥\sqrt{3}-1$，即OC的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
直角三角形性质；等腰三角形性质；最值计算
【点评】
本题综合考查了三角形的相关性质与最值求解，解题的关键是通过取AB中点构造辅助线，将OC的长度转化为可推导的代数式，对辅助线构造能力和代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
求解本题首先分析已知条件：由AC⊥BM可得△ACB为直角三角形，结合∠ABM=30°，可推出AC=½AB，∠BAC=60°。取AB中点E，连接OE、CE：利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得CE=AE=½AB，可证△AEC为等边三角形；再根据等腰三角形三线合一，得OE⊥AB，进而得到∠OEC=30°。最后通过勾股定理表示出OC²，结合不等式性质即可求出OC的最小值。
【解析】
解：取AB的中点E，连接OE、CE。
1. 因为AC⊥BM，所以∠ACB=90°。在Rt△ACB中，E是斜边AB的中点，由直角三角形斜边中线性质得：$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$。
2. 已知$∠ ABM=30°$，所以$∠ BAC=90°-30°=60°$，结合$CE=AE$，可得$△ AEC$是等边三角形，因此$∠ AEC=60°$。
3. 因为$\odot O$半径为2，所以$OA=OB=2$，又E是AB中点，由等腰三角形三线合一可知$OE⊥ AB$，即$∠ OEA=90°$，因此$∠ OEC=∠ OEA-∠ AEC=90°-60°=30°$。
4. 在$Rt△ OEA$中，由勾股定理得：$OE^2 + AE^2 = OA^2=4$，又$CE=AE$，所以$OE^2 + CE^2=4$。
5. 过C作$CF⊥ OE$于F，在$Rt△ CEF$中，$∠ OEC=30°$，因此$CF=\frac{1}{2}CE$，$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}CE$。
6. 则$OF=OE-EF=OE-\frac{\sqrt{3}}{2}CE$，在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}OC^2&=OF^2 + CF^2\\&=(OE-\frac{\sqrt{3}}{2}CE)^2 + (\frac{1}{2}CE)^2\\&=OE^2 - \sqrt{3}OE· CE + \frac{3}{4}CE^2 + \frac{1}{4}CE^2\\&=OE^2 + CE^2 - \sqrt{3}OE· CE\end{aligned}$
将$OE^2 + CE^2=4$代入得：$OC^2=4 - \sqrt{3}OE· CE$。
7. 由完全平方的性质可知$OE^2 + CE^2≥ 2OE· CE$，因此$OE· CE≤ \frac{OE^2 + CE^2}{2}=\frac{4}{2}=2$，当且仅当$OE=CE$时取等号。
代入得：$OC^2≥ 4 - \sqrt{3}×2=4-2\sqrt{3}$。
又因为$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^2$，且$OC＞0$，所以$OC≥\sqrt{3}-1$，即OC的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
直角三角形性质；等腰三角形性质；最值计算
【点评】
本题综合考查了三角形的相关性质与最值求解，解题的关键是通过取AB中点构造辅助线，将OC的长度转化为可推导的代数式，对辅助线构造能力和代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共64分)
13. (6分)解下列方程：
(1) $(x + 3)^2 - 16 = 0$；
(2) $(x - 5)^2 = 2(x - 5)$。
13. (6分)解下列方程：
(1) $(x + 3)^2 - 16 = 0$；
(2) $(x - 5)^2 = 2(x - 5)$。
答案
13.(1) $x_1=1,x_2=-7$ (2) $x_1=5,x_2=7$
解析
【分析】
对于(1)题，方程呈现“平方项=常数”的结构，适合用直接开平方法求解，移项后开平方要注意取正负两个值，避免漏解；对于(2)题，方程左右两边含有相同的公因式$(x-5)$，若直接两边除以公因式会漏掉$x=5$的根，因此需先移项，再提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 解：移项，得 $\displaystyle (x+3)^2=16$，
两边开平方，得 $\displaystyle x+3=\pm4$，
即 $\displaystyle x+3=4$ 或 $\displaystyle x+3=-4$，
解得 $\displaystyle x_1=1$，$\displaystyle x_2=-7$。
(2) 解：移项，得 $\displaystyle (x-5)^2-2(x-5)=0$，
提取公因式$\displaystyle (x-5)$，得 $\displaystyle (x-5)(x-5-2)=0$，
整理得 $\displaystyle (x-5)(x-7)=0$，
即 $\displaystyle x-5=0$ 或 $\displaystyle x-7=0$，
解得 $\displaystyle x_1=5$，$\displaystyle x_2=7$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-7$ (2) $x_1=5,x_2=7$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，需根据方程的结构特征灵活选择简便方法，求解含公因式的方程时注意不要随意约掉含未知数的公因式，防止出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，方程呈现“平方项=常数”的结构，适合用直接开平方法求解，移项后开平方要注意取正负两个值，避免漏解；对于(2)题，方程左右两边含有相同的公因式$(x-5)$，若直接两边除以公因式会漏掉$x=5$的根，因此需先移项，再提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 解：移项，得 $\displaystyle (x+3)^2=16$，
两边开平方，得 $\displaystyle x+3=\pm4$，
即 $\displaystyle x+3=4$ 或 $\displaystyle x+3=-4$，
解得 $\displaystyle x_1=1$，$\displaystyle x_2=-7$。
(2) 解：移项，得 $\displaystyle (x-5)^2-2(x-5)=0$，
提取公因式$\displaystyle (x-5)$，得 $\displaystyle (x-5)(x-5-2)=0$，
整理得 $\displaystyle (x-5)(x-7)=0$，
即 $\displaystyle x-5=0$ 或 $\displaystyle x-7=0$，
解得 $\displaystyle x_1=5$，$\displaystyle x_2=7$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-7$ (2) $x_1=5,x_2=7$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，需根据方程的结构特征灵活选择简便方法，求解含公因式的方程时注意不要随意约掉含未知数的公因式，防止出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
14.（6分）已知一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$.
（1）若方程有两个实数根，求$m$的范围；
（2）若方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1 + 3x_2 = 3$，求$m$的值.
（1）若方程有两个实数根，求$m$的范围；
（2）若方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1 + 3x_2 = 3$，求$m$的值.
答案
14.(1)
∵方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个实数根，
∴Δ=$(-2)^2-4m≥0$.解得 $m≤1$
(2) 由两根关系可知，$x_1+x_2=2$，$x_1· x_2=m$，解方程组$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1+3x_2=3,\end{cases}$得$\begin{cases}x_1=\dfrac{3}{2},\\x_2=\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
∴$m=x_1· x_2=\dfrac{3}{4}$
∵方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个实数根，
∴Δ=$(-2)^2-4m≥0$.解得 $m≤1$
(2) 由两根关系可知，$x_1+x_2=2$，$x_1· x_2=m$，解方程组$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1+3x_2=3,\end{cases}$得$\begin{cases}x_1=\dfrac{3}{2},\\x_2=\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
∴$m=x_1· x_2=\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
（1）看到一元二次方程有两个实数根的条件，首先联想到根的判别式的应用规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根等价于$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入本题方程的系数列不等式求解即可得到m的取值范围。
（2）题目给出两根的数量关系，可先通过根与系数的关系得到$x_1+x_2$的定值，将其与已知的$x_1+3x_2=3$联立为二元一次方程组，解出两根后再用两根之积的公式即可求出m的值。
【解析】
（1）
∵方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个实数根，其中$a=1,b=-2,c=m$，
∴$\Delta=(-2)^2-4×1× m≥0$，
即$4-4m≥0$，解得 $m≤1$。
（2）由根与系数的关系可知：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=m$，
联立条件$x_1+3x_2=3$，得方程组：
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1+3x_2=3\end{cases}$
两式相减得$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$，代入$x_1+x_2=2$得$x_1=\frac{3}{2}$，
∴$m=x_1· x_2=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
【答案】
（1）$m≤1$；（2）$m=\frac{3}{4}$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察判别式和韦达定理的直接应用，解题时要注意“两个实数根”包含相等实根的情况，因此判别式需取等号，整体解题思路清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）看到一元二次方程有两个实数根的条件，首先联想到根的判别式的应用规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根等价于$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入本题方程的系数列不等式求解即可得到m的取值范围。
（2）题目给出两根的数量关系，可先通过根与系数的关系得到$x_1+x_2$的定值，将其与已知的$x_1+3x_2=3$联立为二元一次方程组，解出两根后再用两根之积的公式即可求出m的值。
【解析】
（1）
∵方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个实数根，其中$a=1,b=-2,c=m$，
∴$\Delta=(-2)^2-4×1× m≥0$，
即$4-4m≥0$，解得 $m≤1$。
（2）由根与系数的关系可知：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=m$，
联立条件$x_1+3x_2=3$，得方程组：
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1+3x_2=3\end{cases}$
两式相减得$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$，代入$x_1+x_2=2$得$x_1=\frac{3}{2}$，
∴$m=x_1· x_2=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
【答案】
（1）$m≤1$；（2）$m=\frac{3}{4}$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察判别式和韦达定理的直接应用，解题时要注意“两个实数根”包含相等实根的情况，因此判别式需取等号，整体解题思路清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
