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1. 在平面直角坐标系中，已知点$P(2m+4,m-1)$。
（1）当点$P$在$y$轴上时，求点$P$的坐标；
（2）试判断点$P$是否可能在第二象限，并说明理由。
（1）当点$P$在$y$轴上时，求点$P$的坐标；
（2）试判断点$P$是否可能在第二象限，并说明理由。
答案
1. (1) $\because$ 点 $P(2m+4,m-1)$ 在 $y$ 轴上, $\therefore 2m+4=0$. 解得 $m=-2$, $\therefore m-1=-2-1=-3$. $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,-3)$
(2) 不可能. 理由:若点 $P$ 在第二象限,则$\begin{cases}2m+4＜0,\\m-1＞0.\end{cases}$ 不等式组无解, $\therefore$ 点$P$不可能在第二象限
(2) 不可能. 理由:若点 $P$ 在第二象限,则$\begin{cases}2m+4＜0,\\m-1＞0.\end{cases}$ 不等式组无解, $\therefore$ 点$P$不可能在第二象限
解析
【分析】
（1）解题时先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此只需令点P的横坐标$2m+4=0$，解出$m$的值后，代入纵坐标表达式$m-1$即可求出纵坐标，进而得到点P的坐标。
（2）要判断点P是否在第二象限，先回忆第二象限内点的坐标符号规律：横坐标小于0，纵坐标大于0。我们可以先假设点P在第二象限，根据上述规律列出关于$m$的一元一次不等式组，若不等式组有解则点P可能在第二象限，若无解则不可能。
【解析】
（1）$\because$ 点 $P(2m+4,m-1)$ 在 $y$ 轴上，y轴上点的横坐标为0，
$\therefore 2m+4=0$，
解得 $m=-2$，
将$m=-2$代入纵坐标得：$m-1=-2-1=-3$，
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,-3)$。
（2）点P不可能在第二象限，理由如下：
假设点P在第二象限，第二象限内点横坐标小于0、纵坐标大于0，
则可列不等式组：$\begin{cases}2m+4＜0\\m-1＞0\end{cases}$，
解$2m+4＜0$得$m＜-2$，解$m-1＞0$得$m＞1$，两个解集没有公共部分，即不等式组无解，
因此不存在符合条件的$m$值，故点$P$不可能在第二象限。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(0,-3)}$；（2）不可能，理由见解析。
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征，象限内点的坐标特征，一元一次不等式组求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，解题核心是熟记各特殊位置点的坐标符号规律，第二问采用假设法结合不等式组解的判断即可推导结论，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
（1）解题时先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此只需令点P的横坐标$2m+4=0$，解出$m$的值后，代入纵坐标表达式$m-1$即可求出纵坐标，进而得到点P的坐标。
（2）要判断点P是否在第二象限，先回忆第二象限内点的坐标符号规律：横坐标小于0，纵坐标大于0。我们可以先假设点P在第二象限，根据上述规律列出关于$m$的一元一次不等式组，若不等式组有解则点P可能在第二象限，若无解则不可能。
【解析】
（1）$\because$ 点 $P(2m+4,m-1)$ 在 $y$ 轴上，y轴上点的横坐标为0，
$\therefore 2m+4=0$，
解得 $m=-2$，
将$m=-2$代入纵坐标得：$m-1=-2-1=-3$，
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,-3)$。
（2）点P不可能在第二象限，理由如下：
假设点P在第二象限，第二象限内点横坐标小于0、纵坐标大于0，
则可列不等式组：$\begin{cases}2m+4＜0\\m-1＞0\end{cases}$，
解$2m+4＜0$得$m＜-2$，解$m-1＞0$得$m＞1$，两个解集没有公共部分，即不等式组无解，
因此不存在符合条件的$m$值，故点$P$不可能在第二象限。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(0,-3)}$；（2）不可能，理由见解析。
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征，象限内点的坐标特征，一元一次不等式组求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，解题核心是熟记各特殊位置点的坐标符号规律，第二问采用假设法结合不等式组解的判断即可推导结论，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中,已知点 M 的坐标为$(2-t,2t)$,将点 M 到 x 轴的距离记作$d_1$,到 y 轴的距离记作$d_2$.
(1) 若$t=3$,则$d_1+d_2=$
(2) 若$t＜0,d_1=d_2$,求点 M 的坐标.
(1) 若$t=3$,则$d_1+d_2=$
7
;(2) 若$t＜0,d_1=d_2$,求点 M 的坐标.
答案
2. (1) $\because$ 点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2t),t=3, \therefore M(-1,6)$. 点 $M$ 到 $x$ 轴的距离记作 $d_1$,到 $y$ 轴的距离记作 $d_2$,则 $d_1=6,d_2=|-1|=1, \therefore d_1+d_2=6+1=7$
(2) $\because t＜0$,点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2t), \therefore d_1=|2t|=-2t,d_2=|2-t|=2-t, \because d_1=d_2, \therefore -2t=2-t$,解得 $t=-2$. $\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(4,-4)$
(2) $\because t＜0$,点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2t), \therefore d_1=|2t|=-2t,d_2=|2-t|=2-t, \because d_1=d_2, \therefore -2t=2-t$,解得 $t=-2$. $\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(4,-4)$
解析
【分析】
（1）第一问先将t=3代入点M的坐标表达式，算出M的具体坐标，再根据“点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值”分别求出$d_1$、$d_2$，相加即可得到结果。
（2）第二问先结合$t＜0$的条件，判断$2t$和$2-t$的正负性，去掉绝对值符号化简$d_1$和$d_2$，再根据$d_1=d_2$列一元一次方程求出t的值，最后回代到点M的坐标表达式即可得到答案。
【解析】
（1）当$t=3$时，代入点M的坐标$(2-t,2t)$可得：
$2-t=2-3=-1$，$2t=2×3=6$，即点M的坐标为$(-1,6)$。
根据点到坐标轴的距离定义：
$d_1$是点M到x轴的距离，等于纵坐标的绝对值，即$d_1=|6|=6$；
$d_2$是点M到y轴的距离，等于横坐标的绝对值，即$d_2=|-1|=1$。
因此$d_1+d_2=6+1=7$。
（2）已知$t＜0$：
首先判断代数式的正负：$2t＜0$，$2-t$中$-t＞0$，因此$2-t=2+(-t)＞0$。
所以$d_1=|2t|=-2t$，$d_2=|2-t|=2-t$。
由$d_1=d_2$列方程：$-2t=2-t$，
移项计算得：$-t=2$，即$t=-2$。
将$t=-2$代入点M的坐标：$2-t=2-(-2)=4$，$2t=2×(-2)=-4$，即点M的坐标为$(4,-4)$。
【答案】
（1）$\boxed{7}$；（2）$\boxed{(4,-4)}$
【知识点】
1.点到坐标轴的距离
2.绝对值的化简
3.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握点到坐标轴的距离的概念，解题时要注意距离是非负数，化简绝对值前需要先判断对应代数式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
（1）第一问先将t=3代入点M的坐标表达式，算出M的具体坐标，再根据“点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值”分别求出$d_1$、$d_2$，相加即可得到结果。
（2）第二问先结合$t＜0$的条件，判断$2t$和$2-t$的正负性，去掉绝对值符号化简$d_1$和$d_2$，再根据$d_1=d_2$列一元一次方程求出t的值，最后回代到点M的坐标表达式即可得到答案。
【解析】
（1）当$t=3$时，代入点M的坐标$(2-t,2t)$可得：
$2-t=2-3=-1$，$2t=2×3=6$，即点M的坐标为$(-1,6)$。
根据点到坐标轴的距离定义：
$d_1$是点M到x轴的距离，等于纵坐标的绝对值，即$d_1=|6|=6$；
$d_2$是点M到y轴的距离，等于横坐标的绝对值，即$d_2=|-1|=1$。
因此$d_1+d_2=6+1=7$。
（2）已知$t＜0$：
首先判断代数式的正负：$2t＜0$，$2-t$中$-t＞0$，因此$2-t=2+(-t)＞0$。
所以$d_1=|2t|=-2t$，$d_2=|2-t|=2-t$。
由$d_1=d_2$列方程：$-2t=2-t$，
移项计算得：$-t=2$，即$t=-2$。
将$t=-2$代入点M的坐标：$2-t=2-(-2)=4$，$2t=2×(-2)=-4$，即点M的坐标为$(4,-4)$。
【答案】
（1）$\boxed{7}$；（2）$\boxed{(4,-4)}$
【知识点】
1.点到坐标轴的距离
2.绝对值的化简
3.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握点到坐标轴的距离的概念，解题时要注意距离是非负数，化简绝对值前需要先判断对应代数式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
3. 阅读下列材料,并解答相应的问题.
坐标系中两点间的距离公式
如果平面直角坐标系内有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,那么两点间的距离$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.例如:若点$A(5,1),B(4,2)$,则$AB=\sqrt{(5-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}$.
(1) 若点$A(3,2),B(4,4)$,则$A,B$两点间的距离为________;
(2) 已知$A(-3,0)$,若点$B$在$y$轴上,且$A,B$两点间的距离是$5$,求点$B$的坐标.
坐标系中两点间的距离公式
如果平面直角坐标系内有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,那么两点间的距离$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.例如:若点$A(5,1),B(4,2)$,则$AB=\sqrt{(5-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}$.
(1) 若点$A(3,2),B(4,4)$,则$A,B$两点间的距离为________;
(2) 已知$A(-3,0)$,若点$B$在$y$轴上,且$A,B$两点间的距离是$5$,求点$B$的坐标.
答案
3. (1) $\sqrt{5}$
(2) 设 $B(0,a), \because A(-3,0), \therefore AB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-a)^2}=\sqrt{9+a^2}=5. \therefore a=\pm4. \therefore B(0,4)$ 或 $(0,-4)$
(2) 设 $B(0,a), \because A(-3,0), \therefore AB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-a)^2}=\sqrt{9+a^2}=5. \therefore a=\pm4. \therefore B(0,4)$ 或 $(0,-4)$
解析
【分析】
（1）第一问可直接套用平面直角坐标系两点间的距离公式，将点A、B的横纵坐标分别代入公式计算即可得到结果。
（2）第二问先根据y轴上点的坐标特征，确定点B的横坐标为0，设出点B的纵坐标为a，再将A、B坐标代入距离公式，结合已知AB=5列方程求解，注意开平方时正负两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
（1）已知点$A(3,2)$，$B(4,4)$，代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(3-4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
（2）
∵点B在y轴上，
∴点B的横坐标为0，设点B的坐标为$(0,a)$
已知$A(-3,0)$，$AB=5$，代入距离公式得：
$AB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-a)^2}=\sqrt{9+a^2}=5$
两边同时平方得：$9+a^2=25$
解得$a^2=16$，即$a=\pm4$
∴点B的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $(0,4)$或$(0,-4)$
【知识点】
两点间距离公式；y轴上点的坐标特征；平方根运算
【点评】
本题是两点间距离公式的基础应用题型，第一问考查公式的直接代入计算，第二问需要结合坐标轴上点的坐标特征设未知量，解方程时注意不要遗漏负根，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
（1）第一问可直接套用平面直角坐标系两点间的距离公式，将点A、B的横纵坐标分别代入公式计算即可得到结果。
（2）第二问先根据y轴上点的坐标特征，确定点B的横坐标为0，设出点B的纵坐标为a，再将A、B坐标代入距离公式，结合已知AB=5列方程求解，注意开平方时正负两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
（1）已知点$A(3,2)$，$B(4,4)$，代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(3-4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
（2）
∵点B在y轴上，
∴点B的横坐标为0，设点B的坐标为$(0,a)$
已知$A(-3,0)$，$AB=5$，代入距离公式得：
$AB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-a)^2}=\sqrt{9+a^2}=5$
两边同时平方得：$9+a^2=25$
解得$a^2=16$，即$a=\pm4$
∴点B的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $(0,4)$或$(0,-4)$
【知识点】
两点间距离公式；y轴上点的坐标特征；平方根运算
【点评】
本题是两点间距离公式的基础应用题型，第一问考查公式的直接代入计算，第二问需要结合坐标轴上点的坐标特征设未知量，解方程时注意不要遗漏负根，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
