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1. 抛物线的形状、开口方向与 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$ 相同，顶点坐标为$(-2,1)$，则表达式为 （
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
C
）A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心思路：①抛物线的形状、开口方向由二次项系数$a$决定，若两个抛物线形状、开口方向完全相同，说明二者的$a$值相等；②已知抛物线顶点坐标时，选用二次函数顶点式求解解析式更简便。第一步先从已知抛物线中提取$a$的值，第二步将顶点坐标代入顶点式化简，即可得到所求表达式，再匹配选项即可。
【解析】
步骤1：确定二次项系数$a$
∵ 所求抛物线的形状、开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$相同，
∴ 两个抛物线的二次项系数相等，即$a=\frac{1}{2}$，可直接排除D选项。
步骤2：代入顶点式求解析式
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为抛物线的顶点坐标），
已知顶点坐标为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，
将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=1$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}(x - (-2))^2 + 1 = \frac{1}{2}(x+2)^2 +1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图像性质
2. 二次函数顶点式
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是牢记“形状、开口方向相同的抛物线二次项系数相等”的性质，同时已知顶点坐标时优先选用顶点式可大幅简化计算，注意不要写错顶点式中$h$的符号。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确两个核心思路：①抛物线的形状、开口方向由二次项系数$a$决定，若两个抛物线形状、开口方向完全相同，说明二者的$a$值相等；②已知抛物线顶点坐标时，选用二次函数顶点式求解解析式更简便。第一步先从已知抛物线中提取$a$的值，第二步将顶点坐标代入顶点式化简，即可得到所求表达式，再匹配选项即可。
【解析】
步骤1：确定二次项系数$a$
∵ 所求抛物线的形状、开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$相同，
∴ 两个抛物线的二次项系数相等，即$a=\frac{1}{2}$，可直接排除D选项。
步骤2：代入顶点式求解析式
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为抛物线的顶点坐标），
已知顶点坐标为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，
将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=1$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}(x - (-2))^2 + 1 = \frac{1}{2}(x+2)^2 +1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图像性质
2. 二次函数顶点式
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是牢记“形状、开口方向相同的抛物线二次项系数相等”的性质，同时已知顶点坐标时优先选用顶点式可大幅简化计算，注意不要写错顶点式中$h$的符号。
【难度系数】
0.85
2. 二次函数的图像如图所示，则其表达式是 （
A.$y=-x^2+2x+4$
B.$y=x^2+2x+4$
C.$y=-x^2-2x+4$
D.$y=-x^2+2x+3$
A
）A.$y=-x^2+2x+4$
B.$y=x^2+2x+4$
C.$y=-x^2-2x+4$
D.$y=-x^2+2x+3$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时可采用排除法逐步筛选错误选项：首先观察二次函数开口方向，确定二次项系数a的符号，排除不符合的选项；再结合图像与y轴的交点坐标，排除常数项不符合的选项；最后利用图像对称轴的位置，结合对称轴公式验证剩余选项，即可得到正确答案。
【解析】
1. 由图像可知二次函数开口向下，因此二次项系数$a＜0$，选项B中$a=1＞0$，排除B；
2. 图像与y轴交点为$(0,4)$，即$x=0$时$y=4$，代入选项D得$y=0+0+3=3≠4$，排除D；
3. 由图像可得函数对称轴为直线$x=1$，二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$：
代入选项A：$a=-1,b=2$，得$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，符合对称轴特征；
代入选项C：$a=-1,b=-2$，得$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，不符合对称轴特征，排除C。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，解题时利用排除法可有效减少计算量，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质和对应系数的关联。
【难度系数】
0.8
解题时可采用排除法逐步筛选错误选项：首先观察二次函数开口方向，确定二次项系数a的符号，排除不符合的选项；再结合图像与y轴的交点坐标，排除常数项不符合的选项；最后利用图像对称轴的位置，结合对称轴公式验证剩余选项，即可得到正确答案。
【解析】
1. 由图像可知二次函数开口向下，因此二次项系数$a＜0$，选项B中$a=1＞0$，排除B；
2. 图像与y轴交点为$(0,4)$，即$x=0$时$y=4$，代入选项D得$y=0+0+3=3≠4$，排除D；
3. 由图像可得函数对称轴为直线$x=1$，二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$：
代入选项A：$a=-1,b=2$，得$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，符合对称轴特征；
代入选项C：$a=-1,b=-2$，得$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，不符合对称轴特征，排除C。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，解题时利用排除法可有效减少计算量，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质和对应系数的关联。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知关于$x$的二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为 ______.
答案
3.$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时首先从图像提取两个关键信息：一是二次函数的对称轴为直线$x=2$，二是函数图象经过点$(-1, 0)$。已知二次函数一般式中$a=-\frac{1}{2}$，第一步先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出$b$的值，第二步将点$(-1,0)$代入含$b$的函数表达式，即可求出$c$的值，最终得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，其中$a=-\dfrac{1}{2}$，代入得：
$\quad 2=-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{2})}$
化简计算得$b=2$，此时函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+c$。
又$\because$函数图象经过点$(-1,0)$，将$x=-1,y=0$代入得：
$\quad 0=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 + 2×(-1) + c$
$\quad 0=-\dfrac{1}{2}-2 + c$
解得$c=\dfrac{5}{2}$。
$\therefore$该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次函数对称轴公式；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是从图象中获取有效信息，结合公式计算未知系数，熟练掌握二次函数的基本性质和待定系数法的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从图像提取两个关键信息：一是二次函数的对称轴为直线$x=2$，二是函数图象经过点$(-1, 0)$。已知二次函数一般式中$a=-\frac{1}{2}$，第一步先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出$b$的值，第二步将点$(-1,0)$代入含$b$的函数表达式，即可求出$c$的值，最终得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，其中$a=-\dfrac{1}{2}$，代入得：
$\quad 2=-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{2})}$
化简计算得$b=2$，此时函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+c$。
又$\because$函数图象经过点$(-1,0)$，将$x=-1,y=0$代入得：
$\quad 0=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 + 2×(-1) + c$
$\quad 0=-\dfrac{1}{2}-2 + c$
解得$c=\dfrac{5}{2}$。
$\therefore$该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次函数对称轴公式；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是从图象中获取有效信息，结合公式计算未知系数，熟练掌握二次函数的基本性质和待定系数法的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 过原点O,格点A是该抛物线的顶点.
(1)求出该二次函数的表达式；
(2)点 $ M(m,t) $, $ N(m+2,t) $ 都在该抛物线上,求 $ m $ 的值.
(1)求出该二次函数的表达式；
(2)点 $ M(m,t) $, $ N(m+2,t) $ 都在该抛物线上,求 $ m $ 的值.
答案
4.解:(1)
∵二次函数的顶点坐标是$(-1,3)$,
∴设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+3$.
将$(0,0)$代入$y=a(x+1)^2+3$,得$a=-3$,
∴该二次函数的表达式为$y=-3(x+1)^2+3$.
(2)
∵点$M(m,t),N(m+2,t)$都在该抛物线上,
∴$m+m+2=2×(-1),∴m=-2.$
∵二次函数的顶点坐标是$(-1,3)$,
∴设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+3$.
将$(0,0)$代入$y=a(x+1)^2+3$,得$a=-3$,
∴该二次函数的表达式为$y=-3(x+1)^2+3$.
(2)
∵点$M(m,t),N(m+2,t)$都在该抛物线上,
∴$m+m+2=2×(-1),∴m=-2.$
解析
【分析】
(1) 求解二次函数表达式时，先从图像提取关键信息：抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，且过原点$(0,0)$。已知顶点坐标时优先选用顶点式设函数表达式，再代入已知点求解参数$a$即可得到解析式。
(2) 点$M$、$N$纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，该抛物线对称轴为顶点所在直线$x=-1$，因此两点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，据此列方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 由图可得二次函数的顶点坐标为$(-1,3)$，设二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x+1)^2+3$。
已知抛物线过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入表达式得：
$0=a(0+1)^2+3$，解得$a=-3$。
因此该二次函数的表达式为$y=-3(x+1)^2+3$。
(2) 点$M(m,t)$、$N(m+2,t)$纵坐标相同，因此两点关于抛物线的对称轴对称。
该抛物线对称轴为直线$x=-1$，根据对称点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m+(m+2)}{2}=-1$
化简得$2m+2=-2$，解得$m=-2$。
【答案】
(1) $y=-3(x+1)^2+3$
(2) $m=-2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数的基础典型题，解题核心是从图像中提取顶点、过原点等有效信息，灵活选择顶点式简化解析式求解过程，同时掌握二次函数对称点的特征快速求解参数，需熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.8
(1) 求解二次函数表达式时，先从图像提取关键信息：抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，且过原点$(0,0)$。已知顶点坐标时优先选用顶点式设函数表达式，再代入已知点求解参数$a$即可得到解析式。
(2) 点$M$、$N$纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，该抛物线对称轴为顶点所在直线$x=-1$，因此两点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，据此列方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 由图可得二次函数的顶点坐标为$(-1,3)$，设二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x+1)^2+3$。
已知抛物线过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入表达式得：
$0=a(0+1)^2+3$，解得$a=-3$。
因此该二次函数的表达式为$y=-3(x+1)^2+3$。
(2) 点$M(m,t)$、$N(m+2,t)$纵坐标相同，因此两点关于抛物线的对称轴对称。
该抛物线对称轴为直线$x=-1$，根据对称点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m+(m+2)}{2}=-1$
化简得$2m+2=-2$，解得$m=-2$。
【答案】
(1) $y=-3(x+1)^2+3$
(2) $m=-2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数的基础典型题，解题核心是从图像中提取顶点、过原点等有效信息，灵活选择顶点式简化解析式求解过程，同时掌握二次函数对称点的特征快速求解参数，需熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.8
5.已知一条抛物线经过$A(0,10),B(m+2,n),C(4-m,n),D(3,1)$四点,则抛物线的表达式为（
A.$y=x^2+6x+10$
B.$y=x^2+3x+10$
C.$y=x^2-6x+10$
D.$y=x^2-3x+10$
C
）A.$y=x^2+6x+10$
B.$y=x^2+3x+10$
C.$y=x^2-6x+10$
D.$y=x^2-3x+10$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先观察点的坐标特征：B、C两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，先利用两点横坐标求出抛物线的对称轴；再发现D点横坐标恰好是对称轴的横坐标，因此D是抛物线的顶点，可选择顶点式设二次函数表达式，最后将已知点A代入求解参数，整理成一般式后对应选项即可。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
∵ 点$B(m+2,n)$、$C(4-m,n)$纵坐标相同，
∴ 两点关于抛物线的对称轴对称
对称轴为直线$x=\frac{(m+2)+(4-m)}{2}=3$
2. 确定顶点，设解析式：
∵ 点$D(3,1)$在对称轴$x=3$上，
∴ D是抛物线的顶点
设抛物线的顶点式为$y=a(x-3)^2+1$（$a≠0$）
3. 代入点A求参数：
将$A(0,10)$代入顶点式得：
$10=a(0-3)^2+1$
$10=9a+1$
解得$a=1$
4. 整理得解析式：
$y=(x-3)^2+1=x^2-6x+9+1=x^2-6x+10$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题解题的关键是利用纵坐标相等的两点快速求出对称轴，进而确定顶点，选择顶点式求解比设一般式计算更简便，日常解题中要注意观察坐标特征，选择最优的解析式形式简化运算。
【难度系数】
0.7
解题时先观察点的坐标特征：B、C两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，先利用两点横坐标求出抛物线的对称轴；再发现D点横坐标恰好是对称轴的横坐标，因此D是抛物线的顶点，可选择顶点式设二次函数表达式，最后将已知点A代入求解参数，整理成一般式后对应选项即可。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
∵ 点$B(m+2,n)$、$C(4-m,n)$纵坐标相同，
∴ 两点关于抛物线的对称轴对称
对称轴为直线$x=\frac{(m+2)+(4-m)}{2}=3$
2. 确定顶点，设解析式：
∵ 点$D(3,1)$在对称轴$x=3$上，
∴ D是抛物线的顶点
设抛物线的顶点式为$y=a(x-3)^2+1$（$a≠0$）
3. 代入点A求参数：
将$A(0,10)$代入顶点式得：
$10=a(0-3)^2+1$
$10=9a+1$
解得$a=1$
4. 整理得解析式：
$y=(x-3)^2+1=x^2-6x+9+1=x^2-6x+10$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题解题的关键是利用纵坐标相等的两点快速求出对称轴，进而确定顶点，选择顶点式求解比设一般式计算更简便，日常解题中要注意观察坐标特征，选择最优的解析式形式简化运算。
【难度系数】
0.7
6如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系。若抛物线$A_1$的表达式为$y=-(x-6)^2+4$，则抛物线$A_6$的表达式为
$y=(x+2)^2-4$
。答案
6.$y=(x+2)^2-4$
解析
【分析】
解题时先从已知抛物线$A_1$的顶点式出发，先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中顶点为$(h,k)$、$a$决定开口方向的性质，再结合图案全等的特征推导抛物线的水平跨度，进一步得到和$A_6$对称的$A_3$的顶点坐标，最后根据关于$x$轴对称的图像性质确定$A_6$的顶点坐标和开口方向，代入顶点式即可得到表达式。
【解析】
已知抛物线$A_1$的表达式为$y=-(x-6)^2+4$，由二次函数顶点式的性质可得：$A_1$的顶点坐标为$(6,4)$，开口向下，$a=-1$。
令$y=0$，则$0=-(x-6)^2+4$，解得$x_1=4$，$x_2=8$，即单个抛物线的水平宽度为$8-4=4$，相邻抛物线顶点的横坐标相差4。
同一排的$A_3$在$A_1$左侧，间隔2个抛物线宽度，因此$A_3$的顶点横坐标为$6-4×2=-2$，纵坐标与$A_1$相同为4，即$A_3$顶点为$(-2,4)$，开口向下。
抛物线$A_6$与$A_3$关于$x$轴对称，全等图案开口方向相反，故$a=1$，顶点也关于$x$轴对称，即$A_6$的顶点为$(-2,-4)$。
将$a=1$、顶点$(-2,-4)$代入顶点式，得$A_6$的表达式为$y=(x+2)^2-4$。
【答案】
$y=(x+2)^2-4$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象变换
【点评】
本题结合图形特征考查二次函数的图像性质，解题核心是抓住全等图案的特点和对称变换的规律，通过确定顶点坐标和开口方向即可快速求出表达式，是二次函数部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知抛物线$A_1$的顶点式出发，先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中顶点为$(h,k)$、$a$决定开口方向的性质，再结合图案全等的特征推导抛物线的水平跨度，进一步得到和$A_6$对称的$A_3$的顶点坐标，最后根据关于$x$轴对称的图像性质确定$A_6$的顶点坐标和开口方向，代入顶点式即可得到表达式。
【解析】
已知抛物线$A_1$的表达式为$y=-(x-6)^2+4$，由二次函数顶点式的性质可得：$A_1$的顶点坐标为$(6,4)$，开口向下，$a=-1$。
令$y=0$，则$0=-(x-6)^2+4$，解得$x_1=4$，$x_2=8$，即单个抛物线的水平宽度为$8-4=4$，相邻抛物线顶点的横坐标相差4。
同一排的$A_3$在$A_1$左侧，间隔2个抛物线宽度，因此$A_3$的顶点横坐标为$6-4×2=-2$，纵坐标与$A_1$相同为4，即$A_3$顶点为$(-2,4)$，开口向下。
抛物线$A_6$与$A_3$关于$x$轴对称，全等图案开口方向相反，故$a=1$，顶点也关于$x$轴对称，即$A_6$的顶点为$(-2,-4)$。
将$a=1$、顶点$(-2,-4)$代入顶点式，得$A_6$的表达式为$y=(x+2)^2-4$。
【答案】
$y=(x+2)^2-4$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象变换
【点评】
本题结合图形特征考查二次函数的图像性质，解题核心是抓住全等图案的特点和对称变换的规律，通过确定顶点坐标和开口方向即可快速求出表达式，是二次函数部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
