8 关于$x$的函数$y=ax^2+bx+c$的图像过点$A(3,2)$、$B(-1,-2)$、$C(2,n)$，则下列选项中，对应的$a$的值最大的是 （）

A.$n=2$
B.$n=1$
C.$n=0$
D.$n=-1$

8.D 解析:把$A(3,2)$,$B(-1,-2)$分别代入$y=ax^2+bx+c$得$\begin{cases} 9a+3b+c=2,\\a-b+c=-2, \end{cases}$
∴$b=-2a+1$,$c=-3a-1$,
把$C(2,n)$代入$y=ax^2+bx+c$得$4a+2b+c=n$,
∴$4a+2(-2a+1)-3a-1=n$,$∴a=-\frac{1}{3}n+\frac{1}{3}$,
∴当$n=2$时,$a=-\frac{1}{3}$;当$n=1$时,$a=0$(不符合题意);当$n=0$时,$a=\frac{1}{3}$;当$n=-1$时,$a=\frac{2}{3}$,
∴当$n=-1$时,$a$的值最大.故选D.

【分析】
题目给出二次函数经过两个定点A、B，以及横坐标固定、纵坐标为选项取值的点C，要求选出对应a值最大的选项。解题思路如下：第一步，先将A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的两个方程，通过消元用a表示出b和c；第二步，将点C坐标代入解析式，把用a表示的b、c代入，消去b、c后得到a与n的关系式；第三步，分别将四个选项的n值代入关系式计算对应的a，比较大小即可得到结果。
【解析】
把$A(3,2)$、$B(-1,-2)$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} 9a+3b+c=2 \\a-b+c=-2 \end{cases}$
两式相减得$8a+4b=4$，化简得$b=-2a+1$，
将$b=-2a+1$代入$a-b+c=-2$，解得$c=-3a-1$。
把$C(2,n)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$4a+2b+c=n$，
将$b=-2a+1$、$c=-3a-1$代入上式：
$4a+2(-2a+1)+(-3a-1)=n$
化简得$-3a+1=n$，变形得$a=\frac{1-n}{3}$。
分别代入各选项n值计算：
当$n=2$时，$a=\frac{1-2}{3}=-\frac{1}{3}$；
当$n=1$时，$a=\frac{1-1}{3}=0$；
当$n=0$时，$a=\frac{1-0}{3}=\frac{1}{3}$；
当$n=-1$时，$a=\frac{1-(-1)}{3}=\frac{2}{3}$。
比较得$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}＞0＞-\frac{1}{3}$，即$n=-1$时a的值最大。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，代入法求参数，代数式求值
【点评】
本题围绕二次函数图象上点的坐标特征命题，核心是利用已知点建立参数间的关系，将多变量问题转化为仅含a和n的关系式，再通过代入求值比较大小，属于基础的函数参数计算类题型。
【难度系数】
0.7

9如图，抛物线$y=ax^2+bx+4$经过点$A(-3,0)$，点$B$在抛物线上，$CB// x$轴，且$AB$平分$∠ CAO$，则此抛物线的表达式是。

9.$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$ 解析:
∵抛物线$y=ax^2+bx+4$与$y$轴交于点$C$,$∴C(0,4)$,$∴OC=4$.
∵$A(-3,0)$,$∴OA=3$,$∴AC=5$.
∵$AB$平分$∠CAO$,$∴∠BAC=∠BAO$.
∵$BC// x$轴,$∴∠CBA=∠BAO$,
∴$∠BAC=∠CBA$,$∴CB=CA=5$,$∴B(5,4)$.
把$A(-3,0)$,$B(5,4)$代入$y=ax^2+bx+4$,
得$\begin{cases} 9a-3b+4=0,\\25a+5b+4=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\frac{1}{6},\\b=\frac{5}{6}, \end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$.

【分析】
解题思路可分为5步：第一步，先根据抛物线解析式的常数项确定与y轴交点C的坐标；第二步，已知点A坐标，结合勾股定理计算线段AC的长度；第三步，利用角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导得出△ABC为等腰三角形，得到CB=AC；第四步，结合CB平行x轴的性质，求出点B的坐标；第五步，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组得到系数a、b的值，即可确定抛物线表达式。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+4$与y轴交于点C，
∴当$x=0$时，$y=4$，即$C(0,4)$，可得$OC=4$，
又
∵$A(-3,0)$，
∴$OA=3$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵AB平分$∠CAO$，
∴$∠BAC=∠BAO$，
∵$CB// x$轴，
∴$∠CBA=∠BAO$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠BAC=∠CBA$，
∴$CB=AC=5$（等角对等边），
∵CB平行x轴，B在C右侧，
∴B点纵坐标与C相同为4，横坐标为$0+5=5$，即$B(5,4)$，
把$A(-3,0)$、$B(5,4)$代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases} 9a-3b+4=0\\25a+5b+4=4 \end{cases}$
化简第二个方程得$25a+5b=0$，即$b=-5a$，代入第一个方程解得$a=-\frac{1}{6}$，进而得$b=\frac{5}{6}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，解题核心是通过几何性质推导得到点B的坐标，再用待定系数法求解解析式，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

10.已知关于$x$的二次函数$y=x^2+bx+c$的图像过点$(0,-3)$、$(1,-4)$。
(1)求出二次函数的表达式；
(2)在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；
(3)根据图像回答:当$0≤ x＜3$时，$y$的取值范围是；
(4)当$y＞-3$时自变量$x$的取值范围是。

10.解:(1)
∵二次函数$y=x^2+bx+c$过点$(0,-3)$、$(1,-4)$,$∴\begin{cases} c=-3,\\1+b+c=-4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2,\\c=-3, \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)由(1)知二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴抛物线开口向上,对称轴是直线$x=1$,顶点为$(1,-4)$.作图如下：

(3)由图像可知,当$0≤x＜3$时,$-4≤y＜0$,
故答案为$-4≤y＜0$.
(4)由图像可知,当$y＞-3$时自变量$x$的取值范围是$x＞2$或$x＜0$,
故答案为$x＞2$或$x＜0$.

【分析】
本题围绕二次函数的基础应用展开，解题思路如下：
(1)求二次函数表达式：采用待定系数法，将已知的两个点坐标代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到系数，从而确定解析式；
(2)画二次函数图像：先将一般式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，再求出抛物线与坐标轴的交点等关键点，描点后顺次连线即可；
(3)求指定x区间内y的取值范围：结合函数图像的单调性，先找到区间内的最小值（顶点处），再计算区间端点对应的y值，综合得到y的范围；
(4)求y＞-3时x的取值范围：先找到y=-3时对应的x值，再结合开口方向，观察图像在直线y=-3上方部分对应的x的取值即可。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=x^2+bx+c$过点$(0,-3)$、$(1,-4)$，
∴代入坐标可得$\begin{cases} c=-3,\\1+b+c=-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2,\\c=-3, \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2)由(1)得$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
可知抛物线开口向上，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，另外抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$，选取关键点描点连线，作图如下：

(3)观察图像：当$x=1$时，y取最小值-4；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=3$时，$y=0$，在$0≤x＜3$区间内，函数值从-3降到-4再升到0，因此y的取值范围是$-4≤y＜0$。
(4)当$y=-3$时，代入解析式得$x^2-2x-3=-3$，解得$x=0$或$x=2$，因为抛物线开口向上，因此当$y＞-3$时，图像在直线$y=-3$上方，对应的自变量x的取值范围是$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$
(2)
(3)$-4≤y＜0$
(4)$x＜0$或$x＞2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的图像与性质；二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，涵盖了解析式求解、图像绘制以及利用图像分析取值范围的考点，核心是掌握数形结合的思想，结合函数的开口方向、对称轴、顶点等性质分析问题，侧重对基础知识的熟练运用。
【难度系数】
0.7

11 定义:把抛物线 $ y=ax^2+bx+c $（其中 $ ab≠0 $）与抛物线 $ y=bx^2+ax+c $ 称为“孪生抛物线”.
例如,抛物线 $ y=4x^2+3x+5 $ 的“孪生抛物线”为 $ y=3x^2+4x+5 $.已知抛物线 $ C_1:y=4ax^2+ax+4a-3(a＞0) $ 的“孪生抛物线”为 $ C_2 $, $ C_1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ E $.
(1)抛物线 $ C_2 $ 的表达式为 ______;
(2)若点 $ E $ 的坐标为 $ (0,-1) $,求抛物线 $ C_1 $ 的表达式;
(3)记 $ C_2 $ 在 $ a-4≤x≤a-2 $ 时的最大值为 $ M $,最小值为 $ m $,且 $ M-m=2a $,请你求出 $ a $ 的值.

11.解:(1)
∵抛物线$C_1:y=4ax^2+ax+4a-3(a＞0)$的“孪生抛物线”为$C_2$,
∴抛物线$C_2:y=ax^2+4ax+4a-3(a＞0)$.
故答案为$y=ax^2+4ax+4a-3(a＞0)$.
(2)当$x=0$时,$y=4a-3$,$∴E(0,4a-3)$.
∵$E(0,-1)$,$∴4a-3=-1$,解得$a=\frac{1}{2}$,
∴抛物线$C_1$的表达式为$y=2x^2+\frac{1}{2}x-1$.
(3)
∵$C_2$的表达式为$y=a(x+2)^2-3$,
∴当$x=-2$时,$y=-3$;
当$x=a-4$时,$y=a(a-4+2)^2-3=a(a-2)^2-3$;
当$x=a-2$时,$y=a(a-2+2)^2-3=a^3-3$.
根据题意可知,需要分三种情况讨论:
①当$a-4＜-2＜a-2$时,$0＜a＜2$,且当$0＜a≤1$时,函数的最大值为$a(a-2)^2-3$;
函数的最小值为$-3$,$∴a(a-2)^2-3-(-3)=2a$,
解得$a=2-\sqrt{2}$或$a=2+\sqrt{2}$(舍去)或$a=0$(舍去);
当$1＜a＜2$时,函数的最大值为$a^3-3$,函数的最小值为$-3$.
∴$a^3-3-(-3)=2a$,
解得$a=\sqrt{2}$或$a=-\sqrt{2}$(舍去)或$a=0$(舍去);
②当$-2≤a-4≤a-2$时,$a≥2$,函数的最大值为$a^3-3$;函数的最小值为$a(a-2)^2-3$,
∴$a^3-3-[a(a-2)^2-3]=2a$,
解得$a=\frac{3}{2}$(舍去)或$a=0$(舍去);
③当$a-4≤a-2≤-2$时,$a≤0$,不符合题意,舍去.
综上,$a$的值为$2-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$.

【分析】
(1) 根据题干给出的“孪生抛物线”定义，只需将原抛物线的二次项系数和一次项系数互换，常数项保持不变，即可直接写出$C_2$的表达式。
(2) 抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入$C_1$的表达式得到点E的纵坐标，结合E的坐标列方程求出a的值，再代回$C_1$即可得到其表达式。
(3) 先将$C_2$的一般式化为顶点式，确定其开口方向（a＞0，开口向上）和对称轴（x=-2），给定区间为$[a-4,a-2]$，区间长度为2。二次函数在闭区间上的最值出现在对称轴或区间端点处，因此需要分三种情况讨论：对称轴在区间内部、对称轴在区间左侧、对称轴在区间右侧，分别求出对应情况下的最大值M和最小值m，根据$M-m=2a$列方程求解，最后结合a＞0的条件舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 根据“孪生抛物线”的定义，互换$C_1$的二次项系数4a和一次项系数a，常数项不变，可得$C_2$的表达式为$y=ax^2+4ax+4a-3(a＞0)$。
(2) 对于抛物线$C_1:y=4ax^2+ax+4a-3$，当x=0时，$y=4a-3$，即E点坐标为$(0,4a-3)$。
已知$E(0,-1)$，代入得$4a-3=-1$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入$C_1$的表达式，得$y=4×\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+4×\frac{1}{2}-3=2x^2+\frac{1}{2}x-1$。
(3) 将$C_2$的表达式配方得$y=ax^2+4ax+4a-3=a(x+2)^2-3$，可知$C_2$开口向上，对称轴为直线x=-2，顶点纵坐标为-3。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=a-4$时，$y=a(a-4+2)^2-3=a(a-2)^2-3$；
当$x=a-2$时，$y=a(a-2+2)^2-3=a^3-3$。
分情况讨论：
① 当对称轴在区间内部，即$a-4＜-2＜a-2$，解得$0＜a＜2$：
当$0＜a≤1$时，区间左端点离对称轴更远，最大值$M=a(a-2)^2-3$，最小值为顶点处的函数值$m=-3$，由$M-m=2a$得：
$a(a-2)^2-3 - (-3)=2a$，化简得$a(a^2-4a+4)=2a$，因为a＞0，两边除以a得$a^2-4a+4=2$，即$(a-2)^2=2$，解得$a=2+\sqrt{2}$（不符合$0＜a≤1$，舍去），$a=2-\sqrt{2}$，符合条件。
当$1＜a＜2$时，区间右端点离对称轴更远，最大值$M=a^3-3$，最小值$m=-3$，由$M-m=2a$得：
$a^3-3 - (-3)=2a$，化简得$a^3=2a$，a＞0，两边除以a得$a^2=2$，解得$a=-\sqrt{2}$（舍去），$a=\sqrt{2}$，符合$1＜a＜2$的条件。
② 当对称轴在区间左侧，即$-2≤a-4$，解得$a≥2$，此时函数在区间上单调递增，最大值$M=a^3-3$，最小值$m=a(a-2)^2-3$，由$M-m=2a$得：
$a^3-3 - [a(a-2)^2 -3] =2a$，展开化简得$4a^2-4a=2a$，整理得$4a^2-6a=0$，解得$a=0$（舍去），$a=\frac{3}{2}$（不符合$a≥2$，舍去），此情况无解。
③ 当对称轴在区间右侧，即$a-2≤-2$，解得$a≤0$，与题设a＞0矛盾，舍去。
综上，a的值为$2-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=ax^2+4ax+4a-3(a＞0)}$
(2) $\boldsymbol{y=2x^2+\frac{1}{2}x-1}$
(3) $\boldsymbol{a=2-\sqrt{2}}$或$\boldsymbol{a=\sqrt{2}}$
【知识点】
新定义阅读理解，二次函数图象与性质，二次函数区间最值
【点评】
本题以新定义“孪生抛物线”为背景，综合考查二次函数的基本性质、区间最值求解及分类讨论思想，前两问难度较低，第三问需要根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，解题时要注意结合a的取值范围对根进行取舍。
【难度系数】
0.4