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一、选择题
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB ⊥ OB$，$AB=OB=3$.设直线$l:x=t$截此三角形所得的阴影部分的面积为$S$，则$S$与$t$之间函数关系的图象为().
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB ⊥ OB$，$AB=OB=3$.设直线$l:x=t$截此三角形所得的阴影部分的面积为$S$，则$S$与$t$之间函数关系的图象为().
答案
解：
由题意可知，$O(0,0)$，$A(3,3)$，$B(3,0)$。
设直线$OA$的解析式为$y=kx$，将$A(3,3)$代入得：
$3k=3$，解得$k=1$，
因此直线$OA$的解析式为$y=x$。
直线$x=t$与$OA$的交点坐标为$(t,t)$，阴影部分是直角边长为$t$的等腰直角三角形，因此面积：
$S=\frac{1}{2} · t · t = \frac{1}{2}t^2 \quad (0≤ t≤ 3)$
该函数是二次函数，二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，在$0≤ t≤ 3$区间内，$S$随$t$的增大而增大，且增长速度逐渐变快，对应选项D的图象。
答：答案为D。
由题意可知，$O(0,0)$，$A(3,3)$，$B(3,0)$。
设直线$OA$的解析式为$y=kx$，将$A(3,3)$代入得：
$3k=3$，解得$k=1$，
因此直线$OA$的解析式为$y=x$。
直线$x=t$与$OA$的交点坐标为$(t,t)$，阴影部分是直角边长为$t$的等腰直角三角形，因此面积：
$S=\frac{1}{2} · t · t = \frac{1}{2}t^2 \quad (0≤ t≤ 3)$
该函数是二次函数，二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，在$0≤ t≤ 3$区间内，$S$随$t$的增大而增大，且增长速度逐渐变快，对应选项D的图象。
答：答案为D。
解析
【分析】
解题时先确定直线OA的函数解析式，再结合直线x=t判断阴影部分的形状及边长，推导面积S与t的函数关系式，最后根据函数性质匹配对应图象：第一步根据已知点坐标求OA的解析式；第二步分析x=t截得的阴影部分形状，计算面积得到S关于t的函数；第三步根据函数图象特征选出正确选项。
【解析】
解：由题意可知点$O(0,0)$，$A(3,3)$，$B(3,0)$。
设直线$OA$的解析式为$y=kx$，将$A(3,3)$代入解析式得：
$3k=3$，解得$k=1$，因此直线$OA$的解析式为$y=x$。
直线$x=t$与$OA$的交点坐标为$(t,t)$，可知阴影部分是直角边长均为$t$的等腰直角三角形，因此阴影部分面积为：
$S=\frac{1}{2} · t · t = \frac{1}{2}t^2 \quad (0≤ t≤ 3)$
该函数是二次函数，二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，在$0≤ t≤ 3$区间内，$S$随$t$的增大而增大，且增长速度逐渐变快，对应选项D的图象。
【答案】
D
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数的图象与性质，动态图形面积计算
【点评】
本题结合动态几何与函数图象知识，需要先通过几何分析推导函数表达式，再结合函数性质判断图象，考察了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先确定直线OA的函数解析式，再结合直线x=t判断阴影部分的形状及边长，推导面积S与t的函数关系式，最后根据函数性质匹配对应图象：第一步根据已知点坐标求OA的解析式；第二步分析x=t截得的阴影部分形状，计算面积得到S关于t的函数；第三步根据函数图象特征选出正确选项。
【解析】
解：由题意可知点$O(0,0)$，$A(3,3)$，$B(3,0)$。
设直线$OA$的解析式为$y=kx$，将$A(3,3)$代入解析式得：
$3k=3$，解得$k=1$，因此直线$OA$的解析式为$y=x$。
直线$x=t$与$OA$的交点坐标为$(t,t)$，可知阴影部分是直角边长均为$t$的等腰直角三角形，因此阴影部分面积为：
$S=\frac{1}{2} · t · t = \frac{1}{2}t^2 \quad (0≤ t≤ 3)$
该函数是二次函数，二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，在$0≤ t≤ 3$区间内，$S$随$t$的增大而增大，且增长速度逐渐变快，对应选项D的图象。
【答案】
D
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数的图象与性质，动态图形面积计算
【点评】
本题结合动态几何与函数图象知识，需要先通过几何分析推导函数表达式，再结合函数性质判断图象，考察了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在一个腰长为10的等腰直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点B，D分别在边AF，AE上.则此矩形的最大面积为().
A.25
B.24
C.20
D.18
A.25
B.24
C.20
D.18
答案
A
解析
【分析】
首先明确大三角形是腰长为10的等腰直角三角形，矩形ABCD的边BC垂直于底边AF，因此△FBC为等腰直角三角形，可得FB=BC。我们可以设矩形的一边长为自变量，结合大三角形的腰长表示出矩形的另一边长，进而写出矩形面积关于自变量的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
解：
∵△EAF是腰长为10的等腰直角三角形，
∴∠F=45°，AF=10。
设矩形ABCD的长AB=x，宽BC=y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBC=90°，BC=AD=y，
∴△FBC是等腰直角三角形，即FB=BC=y，
又
∵FB + AB = AF = 10，
∴x + y = 10，整理得y = 10 - x。
矩形面积$S=AB· BC=x(10-x)=-x^2+10x$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，
将x=5代入函数得：$S_{\mathrm{max}}=-5^2+10×5=25$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值；等腰直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题把几何面积问题转化为二次函数求最值问题，解题核心是结合等腰直角三角形的性质找到矩形相邻两边的数量关系，再正确列出函数式计算即可。
【难度系数】
0.7
首先明确大三角形是腰长为10的等腰直角三角形，矩形ABCD的边BC垂直于底边AF，因此△FBC为等腰直角三角形，可得FB=BC。我们可以设矩形的一边长为自变量，结合大三角形的腰长表示出矩形的另一边长，进而写出矩形面积关于自变量的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
解：
∵△EAF是腰长为10的等腰直角三角形，
∴∠F=45°，AF=10。
设矩形ABCD的长AB=x，宽BC=y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBC=90°，BC=AD=y，
∴△FBC是等腰直角三角形，即FB=BC=y，
又
∵FB + AB = AF = 10，
∴x + y = 10，整理得y = 10 - x。
矩形面积$S=AB· BC=x(10-x)=-x^2+10x$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，
将x=5代入函数得：$S_{\mathrm{max}}=-5^2+10×5=25$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值；等腰直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题把几何面积问题转化为二次函数求最值问题，解题核心是结合等腰直角三角形的性质找到矩形相邻两边的数量关系，再正确列出函数式计算即可。
【难度系数】
0.7
3. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为$x$元，则可卖出$(350-10x)$件商品，那么卖出商品所获利润$y$与售价$x$之间的函数关系为().
A.$y=-10x^2 -560x +7350$
B.$y=-10x^2 +560x -7350$
C.$y=-10x^2 +350x$
D.$y=-10x^2 +350x -7350$
F B A
A.$y=-10x^2 -560x +7350$
B.$y=-10x^2 +560x -7350$
C.$y=-10x^2 +350x$
D.$y=-10x^2 +350x -7350$
F B A
答案
B
解析
【分析】
解这道题的核心是明确销售利润的基本计算公式：总利润=每件商品的利润×销售总数量。首先先确定单件利润：已知商品进价为21元，售价为x元，因此每件商品的利润为(x-21)元；题目已经直接给出销售量为(350-10x)件，将单件利润与销售量相乘即可得到总利润y与售价x的关系式，最后将乘积展开整理为二次函数一般式，和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
根据总利润的等量关系列式：
单件利润 = 售价 - 进价 = $x - 21$ 元，销售量 = $350 - 10x$ 件
因此总利润 $y = (x - 21)(350 - 10x)$
展开并整理式子：
$\begin{aligned}y&=350x - 10x^2 - 21×350 + 210x\\&=-10x^2 + (350x + 210x) - 7350\\&=-10x^2 + 560x - 7350\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，二次函数解析式，整式乘法
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是牢记销售问题中的利润等量关系，展开运算时注意各项符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是明确销售利润的基本计算公式：总利润=每件商品的利润×销售总数量。首先先确定单件利润：已知商品进价为21元，售价为x元，因此每件商品的利润为(x-21)元；题目已经直接给出销售量为(350-10x)件，将单件利润与销售量相乘即可得到总利润y与售价x的关系式，最后将乘积展开整理为二次函数一般式，和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
根据总利润的等量关系列式：
单件利润 = 售价 - 进价 = $x - 21$ 元，销售量 = $350 - 10x$ 件
因此总利润 $y = (x - 21)(350 - 10x)$
展开并整理式子：
$\begin{aligned}y&=350x - 10x^2 - 21×350 + 210x\\&=-10x^2 + (350x + 210x) - 7350\\&=-10x^2 + 560x - 7350\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，二次函数解析式，整式乘法
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是牢记销售问题中的利润等量关系，展开运算时注意各项符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 把8 m长的钢筋焊成一个如图所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形.则框架的面积y与半圆的半径x之间的函数表达式为 . 
答案
解：
由半圆的半径为$x$，可得半圆弧长为$π x$，下部矩形的底边长为$2x$。
设矩形的竖直边长为$h$，根据钢筋总长为$8\ \mathrm{m}$，得：
$π x + 2x + 2h = 8$
解得 $h=\dfrac{8-2x-π x}{2}$。
框架总面积$y$为半圆面积与矩形面积之和：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· h\\&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x·\frac{8-2x-π x}{2}\\&=-(2+\frac{π}{2})x^2 +8x\end{aligned}$
由实际意义，$x＞0$且$h＞0$，即$\dfrac{8-2x-π x}{2}＞0$，解得$0＜x＜\dfrac{8}{π+2}$。
最终函数表达式为：$\boldsymbol{y=-(2+\dfrac{π}{2})x^2 +8x\ (0＜x＜\dfrac{8}{π+2})}$。
由半圆的半径为$x$，可得半圆弧长为$π x$，下部矩形的底边长为$2x$。
设矩形的竖直边长为$h$，根据钢筋总长为$8\ \mathrm{m}$，得：
$π x + 2x + 2h = 8$
解得 $h=\dfrac{8-2x-π x}{2}$。
框架总面积$y$为半圆面积与矩形面积之和：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· h\\&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x·\frac{8-2x-π x}{2}\\&=-(2+\frac{π}{2})x^2 +8x\end{aligned}$
由实际意义，$x＞0$且$h＞0$，即$\dfrac{8-2x-π x}{2}＞0$，解得$0＜x＜\dfrac{8}{π+2}$。
最终函数表达式为：$\boldsymbol{y=-(2+\dfrac{π}{2})x^2 +8x\ (0＜x＜\dfrac{8}{π+2})}$。
解析
【分析】
解题时首先明确框架由上部半圆和下部矩形组成，半圆半径为x，矩形的底边长等于半圆直径2x。第一步先根据钢筋总长度（即框架总周长）列等式，用含x的式子表示出矩形的竖直边长h；第二步将框架总面积拆分为半圆面积加矩形面积，把h代入面积公式整理，即可得到y与x的函数关系；最后结合实际意义（边长为正），求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：已知半圆的半径为$x$，因此半圆弧长为$π x$，下部矩形的底边长等于半圆直径，即$2x$。
设矩形的竖直边长为$h$，由钢筋总长为$8\ \mathrm{m}$，可得框架各边长度之和为8：
$π x + 2x + 2h = 8$
解得：
$h=\frac{8-2x-π x}{2}$
框架总面积$y$为半圆面积与矩形面积之和，代入$h$的表达式得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· h\\&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· \frac{8-2x-π x}{2}\\&=-(2+\frac{π}{2})x^2 +8x\end{aligned}$
结合实际意义，边长均为正数，因此$x＞0$且$h＞0$，即$\frac{8-2x-π x}{2}＞0$，解得$x＜\frac{8}{π+2}$，因此自变量$x$的取值范围为$0＜x＜\frac{8}{π+2}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-(2+\dfrac{π}{2})x^2 +8x\ (0＜x＜\dfrac{8}{π+2})}$
【知识点】
二次函数实际应用，组合图形周长面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是几何类二次函数应用的基础题型，解题核心是先通过周长的等量关系消去中间量（矩形的竖直边长），再结合面积公式推导函数表达式，需要注意实际问题中自变量的取值范围必须符合几何图形的边长要求，不能只关注函数表达式本身。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确框架由上部半圆和下部矩形组成，半圆半径为x，矩形的底边长等于半圆直径2x。第一步先根据钢筋总长度（即框架总周长）列等式，用含x的式子表示出矩形的竖直边长h；第二步将框架总面积拆分为半圆面积加矩形面积，把h代入面积公式整理，即可得到y与x的函数关系；最后结合实际意义（边长为正），求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：已知半圆的半径为$x$，因此半圆弧长为$π x$，下部矩形的底边长等于半圆直径，即$2x$。
设矩形的竖直边长为$h$，由钢筋总长为$8\ \mathrm{m}$，可得框架各边长度之和为8：
$π x + 2x + 2h = 8$
解得：
$h=\frac{8-2x-π x}{2}$
框架总面积$y$为半圆面积与矩形面积之和，代入$h$的表达式得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· h\\&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· \frac{8-2x-π x}{2}\\&=-(2+\frac{π}{2})x^2 +8x\end{aligned}$
结合实际意义，边长均为正数，因此$x＞0$且$h＞0$，即$\frac{8-2x-π x}{2}＞0$，解得$x＜\frac{8}{π+2}$，因此自变量$x$的取值范围为$0＜x＜\frac{8}{π+2}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-(2+\dfrac{π}{2})x^2 +8x\ (0＜x＜\dfrac{8}{π+2})}$
【知识点】
二次函数实际应用，组合图形周长面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是几何类二次函数应用的基础题型，解题核心是先通过周长的等量关系消去中间量（矩形的竖直边长），再结合面积公式推导函数表达式，需要注意实际问题中自变量的取值范围必须符合几何图形的边长要求，不能只关注函数表达式本身。
【难度系数】
0.6
5. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人需花费800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人花费都降低10元.当一个旅游团的人数是人时，这个旅行社可以获得最大的营业额.
答案
解：设旅游团的人数为$x$人，旅行社获得的营业额为$y$元，其中$x≥30$且$x$为整数。
根据题意，每人的收费为$800 - 10(x-30) = 1100 - 10x$元，
因此营业额$y$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}y&=x(1100 - 10x)\\&=-10x^2 + 1100x\end{aligned}$
$\because a=-10＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值。
答：当一个旅游团的人数是$\boldsymbol{55}$人时，这个旅行社可以获得最大的营业额。
根据题意，每人的收费为$800 - 10(x-30) = 1100 - 10x$元，
因此营业额$y$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}y&=x(1100 - 10x)\\&=-10x^2 + 1100x\end{aligned}$
$\because a=-10＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值。
答：当一个旅游团的人数是$\boldsymbol{55}$人时，这个旅行社可以获得最大的营业额。
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解实际问题中最大营业额的题型。解题核心逻辑是：营业额=旅游团人数×每人实际花费。首先我们可以设旅游团人数为自变量x，营业额为因变量y，再结合题目给出的优惠规则表示出每人的实际花费，进而列出y关于x的二次函数关系式，最后根据二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围，就能求出获得最大营业额时的人数。
【解析】
设旅游团的人数为$x$人，旅行社获得的营业额为$y$元，其中$x≥30$且$x$为整数。
根据题意，每人的收费为$800 - 10(x-30) = 1100 - 10x$元，
因此营业额$y$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}y&=x(1100 - 10x)\\&=-10x^2 + 1100x\end{aligned}$
$\because a=-10＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值，且55符合人数的取值要求。
【答案】
$\boldsymbol{55}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题关键是准确梳理人数和单人花费的数量关系，列出正确的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是利用二次函数求解实际问题中最大营业额的题型。解题核心逻辑是：营业额=旅游团人数×每人实际花费。首先我们可以设旅游团人数为自变量x，营业额为因变量y，再结合题目给出的优惠规则表示出每人的实际花费，进而列出y关于x的二次函数关系式，最后根据二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围，就能求出获得最大营业额时的人数。
【解析】
设旅游团的人数为$x$人，旅行社获得的营业额为$y$元，其中$x≥30$且$x$为整数。
根据题意，每人的收费为$800 - 10(x-30) = 1100 - 10x$元，
因此营业额$y$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}y&=x(1100 - 10x)\\&=-10x^2 + 1100x\end{aligned}$
$\because a=-10＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值，且55符合人数的取值要求。
【答案】
$\boldsymbol{55}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题关键是准确梳理人数和单人花费的数量关系，列出正确的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6. 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝都围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm².
答案
解：设其中一段铁丝的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长度为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $，两个正方形的面积之和为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
根据题意列面积和表达式：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}(x^2 - 40x + 400)\\&=\frac{1}{8}x^2 - \frac{5}{2}x + 25\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + \frac{25}{2}\end{aligned}$
由于二次项系数$ \frac{1}{8} ＞ 0 $，抛物线开口向上，当$ x = 10 $时，$ S $取得最小值，最小值为$ \frac{25}{2} = 12.5 $。
答：这两个正方形面积之和的最小值是$\boldsymbol{12.5}$ $ \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列面积和表达式：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}(x^2 - 40x + 400)\\&=\frac{1}{8}x^2 - \frac{5}{2}x + 25\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + \frac{25}{2}\end{aligned}$
由于二次项系数$ \frac{1}{8} ＞ 0 $，抛物线开口向上，当$ x = 10 $时，$ S $取得最小值，最小值为$ \frac{25}{2} = 12.5 $。
答：这两个正方形面积之和的最小值是$\boldsymbol{12.5}$ $ \mathrm{cm}^2 $。
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解实际几何最值的问题，解题思路可分为四步：第一步合理设自变量，设其中一段铁丝长为x cm，另一段长即为总长减去x，同时明确x的取值范围是0＜x＜20；第二步用含x的代数式表示两个正方形的边长，每段铁丝长是对应正方形的周长，因此边长分别为$\frac{x}{4}$cm、$\frac{20-x}{4}$cm；第三步根据正方形面积公式写出面积和S的表达式，整理为二次函数的形式；第四步用配方法将二次函数化为顶点式，结合二次项系数判断开口方向，再结合自变量取值范围求出S的最小值即可。
【解析】
设其中一段铁丝的长度为$x \, \mathrm{cm}$，则另一段铁丝的长度为$(20 - x) \, \mathrm{cm}$，两个正方形的面积之和为$S \, \mathrm{cm}^2$，其中$0 ＜ x ＜ 20$。
根据正方形面积公式可列面积和表达式：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}(x^2 - 40x + 400)\\&=\frac{1}{8}x^2 - \frac{5}{2}x + 25\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + \frac{25}{2}\end{aligned}$
由于二次项系数$\frac{1}{8} ＞ 0$，抛物线开口向上，且x=10在0＜x＜20的取值范围内，因此当$x = 10$时，$S$取得最小值，最小值为$\frac{25}{2} = 12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；正方形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是将几何问题转化为二次函数模型，需要熟练掌握配方法化简二次函数，结合二次函数的性质求解最值，同时要注意验证最值对应的自变量是否符合实际取值要求。
【难度系数】
0.7
本题是利用二次函数求解实际几何最值的问题，解题思路可分为四步：第一步合理设自变量，设其中一段铁丝长为x cm，另一段长即为总长减去x，同时明确x的取值范围是0＜x＜20；第二步用含x的代数式表示两个正方形的边长，每段铁丝长是对应正方形的周长，因此边长分别为$\frac{x}{4}$cm、$\frac{20-x}{4}$cm；第三步根据正方形面积公式写出面积和S的表达式，整理为二次函数的形式；第四步用配方法将二次函数化为顶点式，结合二次项系数判断开口方向，再结合自变量取值范围求出S的最小值即可。
【解析】
设其中一段铁丝的长度为$x \, \mathrm{cm}$，则另一段铁丝的长度为$(20 - x) \, \mathrm{cm}$，两个正方形的面积之和为$S \, \mathrm{cm}^2$，其中$0 ＜ x ＜ 20$。
根据正方形面积公式可列面积和表达式：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}(x^2 - 40x + 400)\\&=\frac{1}{8}x^2 - \frac{5}{2}x + 25\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + \frac{25}{2}\end{aligned}$
由于二次项系数$\frac{1}{8} ＞ 0$，抛物线开口向上，且x=10在0＜x＜20的取值范围内，因此当$x = 10$时，$S$取得最小值，最小值为$\frac{25}{2} = 12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；正方形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是将几何问题转化为二次函数模型，需要熟练掌握配方法化简二次函数，结合二次函数的性质求解最值，同时要注意验证最值对应的自变量是否符合实际取值要求。
【难度系数】
0.7
