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三、解答题
7. 已知二次函数$y=-x^2-2x+2$。
（1）填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）结合函数图象，直接写出方程$-x^2-2x+2=0$的近似解。（指出解在哪两个连续整数之间即可）
7. 已知二次函数$y=-x^2-2x+2$。
（1）填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）结合函数图象，直接写出方程$-x^2-2x+2=0$的近似解。（指出解在哪两个连续整数之间即可）
答案
解：
(1) 将x的各取值依次代入$y=-x^2-2x+2$计算，得到对应的y值依次为：$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-6}$。
在平面直角坐标系中描出点$(-4,-6),(-3,-1),(-2,2),(-1,3),(0,2),(1,-1),(2,-6)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(2) 方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间。
(1) 将x的各取值依次代入$y=-x^2-2x+2$计算，得到对应的y值依次为：$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-6}$。
在平面直角坐标系中描出点$(-4,-6),(-3,-1),(-2,2),(-1,3),(0,2),(1,-1),(2,-6)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(2) 方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间。
解析
【分析】
（1）绘制二次函数图象需遵循“列表-描点-连线”的步骤：首先将给定的x取值依次代入函数解析式，计算出对应的y值完成列表，再在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象。
（2）一元二次方程$-x^2-2x+2=0$的解对应二次函数$y=-x^2-2x+2$图象与x轴交点的横坐标，因此观察图象中y=0的位置，找到相邻两个整数对应的函数值异号的区间，即可确定方程解的范围。
【解析】
(1) 把各x取值代入$y=-x^2-2x+2$计算：
当$x=-4$时，$y=-(-4)^2-2×(-4)+2=-6$；
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1$；
当$x=2$时，$y=-2^2-2×2+2=-6$。
得到对应y值依次为：-6，-1，2，3，2，-1，-6。
在平面直角坐标系中描出点$(-4,-6),(-3,-1),(-2,2),(-1,3),(0,2),(1,-1),(2,-6)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(2) 观察绘制好的函数图象，图象与x轴有两个交点：第一个交点的横坐标在-3和-2之间，第二个交点的横坐标在0和1之间，因此方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解分别在这两个区间内。
【答案】
(1) 表中y值依次为$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-6}$；图象按要求描点连线即可。
(2) 方程的两个近似解，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间。
【知识点】
二次函数图象绘制，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象估算方程解
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础题型，既考查了描点法绘制二次函数图象的基本技能，又考查了数形结合思想的应用，有助于理解二次函数和一元二次方程之间的对应关系，是后续解决二次函数相关方程问题的基础。
【难度系数】
0.8
（1）绘制二次函数图象需遵循“列表-描点-连线”的步骤：首先将给定的x取值依次代入函数解析式，计算出对应的y值完成列表，再在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象。
（2）一元二次方程$-x^2-2x+2=0$的解对应二次函数$y=-x^2-2x+2$图象与x轴交点的横坐标，因此观察图象中y=0的位置，找到相邻两个整数对应的函数值异号的区间，即可确定方程解的范围。
【解析】
(1) 把各x取值代入$y=-x^2-2x+2$计算：
当$x=-4$时，$y=-(-4)^2-2×(-4)+2=-6$；
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1$；
当$x=2$时，$y=-2^2-2×2+2=-6$。
得到对应y值依次为：-6，-1，2，3，2，-1，-6。
在平面直角坐标系中描出点$(-4,-6),(-3,-1),(-2,2),(-1,3),(0,2),(1,-1),(2,-6)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(2) 观察绘制好的函数图象，图象与x轴有两个交点：第一个交点的横坐标在-3和-2之间，第二个交点的横坐标在0和1之间，因此方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解分别在这两个区间内。
【答案】
(1) 表中y值依次为$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-6}$；图象按要求描点连线即可。
(2) 方程的两个近似解，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间。
【知识点】
二次函数图象绘制，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象估算方程解
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础题型，既考查了描点法绘制二次函数图象的基本技能，又考查了数形结合思想的应用，有助于理解二次函数和一元二次方程之间的对应关系，是后续解决二次函数相关方程问题的基础。
【难度系数】
0.8
8. 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴的两个交点分别为$A(m,0)$，$B(n,0)$，且$m+n=4$，$\frac{m}{n}=\frac{1}{3}$。
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）设此抛物线与$y$轴的交点为$C$，过点$C$作一条平行于$x$轴的直线交抛物线于另一点$P$，求$△ ACP$的面积。
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）设此抛物线与$y$轴的交点为$C$，过点$C$作一条平行于$x$轴的直线交抛物线于另一点$P$，求$△ ACP$的面积。
答案
解：
（1）由题意得：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{3} \end{cases}$
由$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{3}$得$n=3m$，代入$m+n=4$，得$m+3m=4$，解得$m=1$，$n=3$。
因此点$A$坐标为$(1,0)$，点$B$坐标为$(3,0)$。
将$A$、$B$两点代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 + b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$
两式相减得$2b=8$，解得$b=4$，将$b=4$代入$-1 + b + c = 0$，得$c=-3$。
所以此抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）当$x=0$时，代入$y=-x^2+4x-3$得$y=-3$，因此点$C$的坐标为$(0,-3)$。
由题意，直线$CP// x$轴，故点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，代入抛物线表达式得：
$-x^2+4x-3=-3$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
因此点$P$的坐标为$(4,-3)$，$CP=4-0=4$。
点$A$到直线$CP$（直线$y=-3$）的竖直距离为$0-(-3)=3$。
所以$S_{△ ACP}=\dfrac{1}{2}× CP × 3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
答：$△ ACP$的面积为$6$。
（1）由题意得：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{3} \end{cases}$
由$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{3}$得$n=3m$，代入$m+n=4$，得$m+3m=4$，解得$m=1$，$n=3$。
因此点$A$坐标为$(1,0)$，点$B$坐标为$(3,0)$。
将$A$、$B$两点代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 + b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$
两式相减得$2b=8$，解得$b=4$，将$b=4$代入$-1 + b + c = 0$，得$c=-3$。
所以此抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）当$x=0$时，代入$y=-x^2+4x-3$得$y=-3$，因此点$C$的坐标为$(0,-3)$。
由题意，直线$CP// x$轴，故点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，代入抛物线表达式得：
$-x^2+4x-3=-3$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
因此点$P$的坐标为$(4,-3)$，$CP=4-0=4$。
点$A$到直线$CP$（直线$y=-3$）的竖直距离为$0-(-3)=3$。
所以$S_{△ ACP}=\dfrac{1}{2}× CP × 3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
答：$△ ACP$的面积为$6$。
解析
【分析】
（1）首先联立关于m、n的两个等式，求解得到m、n的值，确定A、B两点的坐标；再将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线的函数表达式。
（2）先令抛物线解析式中x=0，计算对应的y值，得到点C的坐标；由于CP平行于x轴，因此点P的纵坐标与点C相同，将该纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标，即可得到线段CP的长度；再求出点A到直线CP的竖直距离，最后代入三角形面积公式计算即可得到△ACP的面积。
【解析】
（1）由题意得：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{3} \end{cases}$
由$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{3}$得$n=3m$，代入$m+n=4$，得$m+3m=4$，解得$m=1$，$n=3$。
因此点$A$坐标为$(1,0)$，点$B$坐标为$(3,0)$。
将$A$、$B$两点代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 + b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$
两式相减得$2b=8$，解得$b=4$，将$b=4$代入$-1 + b + c = 0$，得$c=-3$。
所以此抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）当$x=0$时，代入$y=-x^2+4x-3$得$y=-3$，因此点$C$的坐标为$(0,-3)$。
由题意，直线$CP// x$轴，故点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，代入抛物线表达式得：
$-x^2+4x-3=-3$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
因此点$P$的坐标为$(4,-3)$，$CP=4-0=4$。
点$A$到直线$CP$（直线$y=-3$）的竖直距离为$0-(-3)=3$。
所以$S_{△ ACP}=\dfrac{1}{2}× CP × 3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
（1）$y=-x^2+4x-3$；（2）$6$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题逻辑连贯，重点考查解方程能力与二次函数图象上点的坐标特征的应用，计算量不大，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
（1）首先联立关于m、n的两个等式，求解得到m、n的值，确定A、B两点的坐标；再将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线的函数表达式。
（2）先令抛物线解析式中x=0，计算对应的y值，得到点C的坐标；由于CP平行于x轴，因此点P的纵坐标与点C相同，将该纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标，即可得到线段CP的长度；再求出点A到直线CP的竖直距离，最后代入三角形面积公式计算即可得到△ACP的面积。
【解析】
（1）由题意得：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{3} \end{cases}$
由$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{3}$得$n=3m$，代入$m+n=4$，得$m+3m=4$，解得$m=1$，$n=3$。
因此点$A$坐标为$(1,0)$，点$B$坐标为$(3,0)$。
将$A$、$B$两点代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 + b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$
两式相减得$2b=8$，解得$b=4$，将$b=4$代入$-1 + b + c = 0$，得$c=-3$。
所以此抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）当$x=0$时，代入$y=-x^2+4x-3$得$y=-3$，因此点$C$的坐标为$(0,-3)$。
由题意，直线$CP// x$轴，故点$P$的纵坐标为$-3$。
令$y=-3$，代入抛物线表达式得：
$-x^2+4x-3=-3$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
因此点$P$的坐标为$(4,-3)$，$CP=4-0=4$。
点$A$到直线$CP$（直线$y=-3$）的竖直距离为$0-(-3)=3$。
所以$S_{△ ACP}=\dfrac{1}{2}× CP × 3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
（1）$y=-x^2+4x-3$；（2）$6$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题逻辑连贯，重点考查解方程能力与二次函数图象上点的坐标特征的应用，计算量不大，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
