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一、选择题
1. 已知函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，那么关于$x$的方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况是().
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
1. 已知函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，那么关于$x$的方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况是().
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
答案
D
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，转化为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$的交点问题：第一步判断交点个数，确定根的数量；第二步判断交点横坐标的符号，确定根的正负性。根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=k$的实根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$交点的横坐标。结合图象特征：抛物线开口向上，顶点纵坐标（函数最小值）小于-2，且抛物线与x轴的两个交点均在正半轴，对称轴在y轴右侧，即可逐步推出根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c+2=0$整理为$ax^2+bx+c=-2$，该方程的实根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$交点的横坐标。
1. 判断根的个数：由图象可知抛物线开口向上，顶点纵坐标为函数的最小值，且最小值小于-2，因此抛物线与直线$y=-2$有2个不同交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的符号：观察图象可得，抛物线与x轴的两个交点都在x轴正半轴，说明$y=0$时方程$ax^2+bx+c=0$的两个根均为正根。由于抛物线开口向上，当y值减小时，对应的交点横坐标向对称轴两侧延伸，又因为抛物线对称轴在y轴右侧，且$-2＜0$，因此直线$y=-2$与抛物线的两个交点都在x轴正半轴，即两个根均为正数，属于同号不等实数根。
综上，方程有两个同号不等实数根。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题核心是将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，结合抛物线的开口方向、顶点位置、与x轴交点位置等特征即可快速判断，是二次函数章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，转化为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$的交点问题：第一步判断交点个数，确定根的数量；第二步判断交点横坐标的符号，确定根的正负性。根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=k$的实根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$交点的横坐标。结合图象特征：抛物线开口向上，顶点纵坐标（函数最小值）小于-2，且抛物线与x轴的两个交点均在正半轴，对称轴在y轴右侧，即可逐步推出根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c+2=0$整理为$ax^2+bx+c=-2$，该方程的实根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$交点的横坐标。
1. 判断根的个数：由图象可知抛物线开口向上，顶点纵坐标为函数的最小值，且最小值小于-2，因此抛物线与直线$y=-2$有2个不同交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的符号：观察图象可得，抛物线与x轴的两个交点都在x轴正半轴，说明$y=0$时方程$ax^2+bx+c=0$的两个根均为正根。由于抛物线开口向上，当y值减小时，对应的交点横坐标向对称轴两侧延伸，又因为抛物线对称轴在y轴右侧，且$-2＜0$，因此直线$y=-2$与抛物线的两个交点都在x轴正半轴，即两个根均为正数，属于同号不等实数根。
综上，方程有两个同号不等实数根。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题核心是将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，结合抛物线的开口方向、顶点位置、与x轴交点位置等特征即可快速判断，是二次函数章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示.有下列结论:①$2a+b＞0$;②$abc＜0$;③$b^2-4ac＞0$;④$a+b+c＜0$;⑤$4a-2b+c＜0$.其中正确的个数是().
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
解决这类二次函数图像与系数关系的问题，可按以下步骤思考：第一步，根据图像开口方向确定a的符号；第二步，根据对称轴位置，结合“左同右异”规律确定b的符号，再结合对称轴公式推导a和b的数量关系；第三步，根据图像与y轴的交点位置确定c的符号；第四步，根据图像与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号；第五步，代入特殊x值（如x=1、x=-2等），观察对应函数值的位置判断相关代数式的符号，最后逐个验证结论即可。
【解析】
我们逐个分析各结论：
1. 判断①：由图像可知抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在直线$x=1$的右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞1$。因为$a＜0$，不等式两边同时乘$2a$（负数）时不等号方向改变，得$-b＜2a$，移项可得$2a+b＞0$，故①正确。
2. 判断②：已知$a＜0$，对称轴在x轴正半轴，根据“左同右异”的规律，可知$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。因此$abc＜0$，故②正确。
3. 判断③：抛物线与x轴有两个不同的交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$b^2-4ac＞0$，③正确。
4. 判断④：当$x=1$时，代入二次函数得$y=a+b+c$，由图像可知$x=1$对应的函数图像在x轴上方，即$y＞0$，因此$a+b+c＞0$，故④错误。
5. 判断⑤：当$x=-2$时，代入二次函数得$y=4a-2b+c$，由图像可知$x=-2$对应的函数图像在x轴下方，即$y＜0$，因此$4a-2b+c＜0$，故⑤正确。
综上，正确的结论有①②③⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数图像性质的常考题型，核心是建立图像特征（开口、对称轴、交点、特殊点位置）和代数式符号的对应关系，熟练掌握相关规律就能快速解题。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数图像与系数关系的问题，可按以下步骤思考：第一步，根据图像开口方向确定a的符号；第二步，根据对称轴位置，结合“左同右异”规律确定b的符号，再结合对称轴公式推导a和b的数量关系；第三步，根据图像与y轴的交点位置确定c的符号；第四步，根据图像与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号；第五步，代入特殊x值（如x=1、x=-2等），观察对应函数值的位置判断相关代数式的符号，最后逐个验证结论即可。
【解析】
我们逐个分析各结论：
1. 判断①：由图像可知抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在直线$x=1$的右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞1$。因为$a＜0$，不等式两边同时乘$2a$（负数）时不等号方向改变，得$-b＜2a$，移项可得$2a+b＞0$，故①正确。
2. 判断②：已知$a＜0$，对称轴在x轴正半轴，根据“左同右异”的规律，可知$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。因此$abc＜0$，故②正确。
3. 判断③：抛物线与x轴有两个不同的交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$b^2-4ac＞0$，③正确。
4. 判断④：当$x=1$时，代入二次函数得$y=a+b+c$，由图像可知$x=1$对应的函数图像在x轴上方，即$y＞0$，因此$a+b+c＞0$，故④错误。
5. 判断⑤：当$x=-2$时，代入二次函数得$y=4a-2b+c$，由图像可知$x=-2$对应的函数图像在x轴下方，即$y＜0$，因此$4a-2b+c＜0$，故⑤正确。
综上，正确的结论有①②③⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数图像性质的常考题型，核心是建立图像特征（开口、对称轴、交点、特殊点位置）和代数式符号的对应关系，熟练掌握相关规律就能快速解题。
【难度系数】
0.6
3. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的部分对应值如表所示：
则下列关于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 的判断错误的是().
A.$ a + c ＞ b $ 且 $ b ＜ 0 $
B.图象与 $ x $ 轴有两个交点，它们位于 $ y $ 轴的同侧
C.图象与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离等于 $ \sqrt{6} $
D.对于该二次函数图象上的点 $ P(\sqrt{3} + 1, y_1) $，$ Q(-\sqrt{3} + 1, y_2) $，存在 $ y_1 = y_2 $
则下列关于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 的判断错误的是().
A.$ a + c ＞ b $ 且 $ b ＜ 0 $
B.图象与 $ x $ 轴有两个交点，它们位于 $ y $ 轴的同侧
C.图象与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离等于 $ \sqrt{6} $
D.对于该二次函数图象上的点 $ P(\sqrt{3} + 1, y_1) $，$ Q(-\sqrt{3} + 1, y_2) $，存在 $ y_1 = y_2 $
答案
B
解析
【分析】
首先观察表格数据，发现x=0和x=2时函数值相等，可先确定二次函数的对称轴，再选取合适的点求出二次函数的解析式，最后结合二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系逐一判断每个选项的正误，选出错误的选项。
【解析】
1. 求二次函数解析式：
由表格可知，x=0和x=2时y均为-1，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，且x=0时y=-1，可得常数项$c=-1$。
设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-3$（顶点为$(1,-3)$，由表格x=1时y=-3得到），将$(0,-1)$代入得：
$a(0-1)^2-3=-1$，解得$a=2$。
因此二次函数解析式为$y=2(x-1)^2-3$，展开得$y=2x^2-4x-1$，即$a=2$，$b=-4$，$c=-1$。
2. 逐一判断选项：
选项A：$a+c=2+(-1)=1$，$b=-4$，因此$a+c＞b$，且$b=-4＜0$，A判断正确，不符合题意。
选项B：令$y=0$，得一元二次方程$2x^2-4x-1=0$，设方程两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系得$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}＜0$，说明两根一正一负，即图象与x轴的两个交点位于y轴两侧，B判断错误，符合题意。
选项C：两个交点的距离为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=\frac{4}{2}=2$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$，得$|x_1-x_2|=\sqrt{2^2-4×(-\frac{1}{2})}=\sqrt{6}$，C判断正确，不符合题意。
选项D：点P横坐标为$\sqrt{3}+1$，点Q横坐标为$-\sqrt{3}+1$，两点横坐标的中点为$\frac{(\sqrt{3}+1)+(-\sqrt{3}+1)}{2}=1$，即两点关于对称轴$x=1$对称，因此$y_1=y_2$，D判断正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，解题的核心是利用表格数据的对称性快速确定函数解析式，再结合相关性质逐一验证选项，要求熟练掌握二次函数对称性、二次函数与方程的联系等知识点。
【难度系数】
0.7
首先观察表格数据，发现x=0和x=2时函数值相等，可先确定二次函数的对称轴，再选取合适的点求出二次函数的解析式，最后结合二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系逐一判断每个选项的正误，选出错误的选项。
【解析】
1. 求二次函数解析式：
由表格可知，x=0和x=2时y均为-1，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，且x=0时y=-1，可得常数项$c=-1$。
设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-3$（顶点为$(1,-3)$，由表格x=1时y=-3得到），将$(0,-1)$代入得：
$a(0-1)^2-3=-1$，解得$a=2$。
因此二次函数解析式为$y=2(x-1)^2-3$，展开得$y=2x^2-4x-1$，即$a=2$，$b=-4$，$c=-1$。
2. 逐一判断选项：
选项A：$a+c=2+(-1)=1$，$b=-4$，因此$a+c＞b$，且$b=-4＜0$，A判断正确，不符合题意。
选项B：令$y=0$，得一元二次方程$2x^2-4x-1=0$，设方程两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系得$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}＜0$，说明两根一正一负，即图象与x轴的两个交点位于y轴两侧，B判断错误，符合题意。
选项C：两个交点的距离为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=\frac{4}{2}=2$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$，得$|x_1-x_2|=\sqrt{2^2-4×(-\frac{1}{2})}=\sqrt{6}$，C判断正确，不符合题意。
选项D：点P横坐标为$\sqrt{3}+1$，点Q横坐标为$-\sqrt{3}+1$，两点横坐标的中点为$\frac{(\sqrt{3}+1)+(-\sqrt{3}+1)}{2}=1$，即两点关于对称轴$x=1$对称，因此$y_1=y_2$，D判断正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，解题的核心是利用表格数据的对称性快速确定函数解析式，再结合相关性质逐一验证选项，要求熟练掌握二次函数对称性、二次函数与方程的联系等知识点。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 二次函数$y=x^2+kx+2k-1$的图象与$x$轴交于$A(m,0)$，$B(n,0)$两点，且$m^2+n^2=7$，则$k$的值为。
4. 二次函数$y=x^2+kx+2k-1$的图象与$x$轴交于$A(m,0)$，$B(n,0)$两点，且$m^2+n^2=7$，则$k$的值为。
答案
解：
∵ 二次函数$y=x^2+kx+2k-1$的图象与$x$轴交于$A(m,0)$，$B(n,0)$两点，
∴ $m$、$n$是一元二次方程$x^2 + kx + 2k -1 = 0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：
$m + n = -k$，$mn = 2k - 1$，
且判别式$\Delta = k^2 - 4×1×(2k -1) ＞ 0$，即$k^2 -8k +4 ＞0$。
∵ $m^2 + n^2 =7$，又$m^2 +n^2 = (m+n)^2 - 2mn$，
代入得：$(-k)^2 - 2(2k -1) =7$，
整理得：$k^2 -4k -5=0$，
解得$k_1=5$，$k_2=-1$。
当$k=5$时，$\Delta=25 - 40 +4 = -11 ＜0$，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=1 +8 +4=13＞0$，符合题意。
∴ $k$的值为$\boldsymbol{-1}$。
∵ 二次函数$y=x^2+kx+2k-1$的图象与$x$轴交于$A(m,0)$，$B(n,0)$两点，
∴ $m$、$n$是一元二次方程$x^2 + kx + 2k -1 = 0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：
$m + n = -k$，$mn = 2k - 1$，
且判别式$\Delta = k^2 - 4×1×(2k -1) ＞ 0$，即$k^2 -8k +4 ＞0$。
∵ $m^2 + n^2 =7$，又$m^2 +n^2 = (m+n)^2 - 2mn$，
代入得：$(-k)^2 - 2(2k -1) =7$，
整理得：$k^2 -4k -5=0$，
解得$k_1=5$，$k_2=-1$。
当$k=5$时，$\Delta=25 - 40 +4 = -11 ＜0$，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=1 +8 +4=13＞0$，符合题意。
∴ $k$的值为$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
遇到二次函数图象与x轴的交点问题，首先要明确交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实数根，因此可以结合根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式。题目给出$m^2+n^2=7$，可利用完全平方公式的变形：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，将根与系数的关系结果代入即可构造关于k的方程，求解k的值。特别注意：因为函数图象与x轴有两个不同交点，对应的一元二次方程要有两个不相等的实数根，因此求出k后必须代入判别式验证，舍去不符合条件的解。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+kx+2k-1$的图象与$x$轴交于$A(m,0)$，$B(n,0)$两点，
∴ $m$、$n$是一元二次方程$x^2 + kx + 2k -1 = 0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：
$m + n = -k$，$mn = 2k - 1$，
且判别式$\Delta = k^2 - 4×1×(2k -1) ＞ 0$，即$k^2 -8k +4 ＞0$。
∵ $m^2 + n^2 =7$，又$m^2 +n^2 = (m+n)^2 - 2mn$，
代入得：$(-k)^2 - 2(2k -1) =7$，
整理得：$k^2 -4k -5=0$，
解得$k_1=5$，$k_2=-1$。
当$k=5$时，$\Delta=25 - 40 +4 = -11 ＜0$，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=1 +8 +4=13＞0$，符合题意。
∴ $k$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系 2. 根与系数的关系 3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础综合题，核心考查根与系数的关系及完全平方公式的变形应用，易错点是容易忽略“二次函数与x轴有两个交点”对应的判别式大于0的隐含条件，未对求出的k值进行检验导致多解。
【难度系数】
0.6
遇到二次函数图象与x轴的交点问题，首先要明确交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实数根，因此可以结合根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式。题目给出$m^2+n^2=7$，可利用完全平方公式的变形：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，将根与系数的关系结果代入即可构造关于k的方程，求解k的值。特别注意：因为函数图象与x轴有两个不同交点，对应的一元二次方程要有两个不相等的实数根，因此求出k后必须代入判别式验证，舍去不符合条件的解。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+kx+2k-1$的图象与$x$轴交于$A(m,0)$，$B(n,0)$两点，
∴ $m$、$n$是一元二次方程$x^2 + kx + 2k -1 = 0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：
$m + n = -k$，$mn = 2k - 1$，
且判别式$\Delta = k^2 - 4×1×(2k -1) ＞ 0$，即$k^2 -8k +4 ＞0$。
∵ $m^2 + n^2 =7$，又$m^2 +n^2 = (m+n)^2 - 2mn$，
代入得：$(-k)^2 - 2(2k -1) =7$，
整理得：$k^2 -4k -5=0$，
解得$k_1=5$，$k_2=-1$。
当$k=5$时，$\Delta=25 - 40 +4 = -11 ＜0$，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=1 +8 +4=13＞0$，符合题意。
∴ $k$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系 2. 根与系数的关系 3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础综合题，核心考查根与系数的关系及完全平方公式的变形应用，易错点是容易忽略“二次函数与x轴有两个交点”对应的判别式大于0的隐含条件，未对求出的k值进行检验导致多解。
【难度系数】
0.6
5. 已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$，且不等式$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c＞0$的解集为$-5＜x＜-1$，则$b=$。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确三个“二次”的关联：二次函数开口向下时，函数值大于0的x的范围对应图象在x轴上方的部分，也就是对应一元二次方程的两根之间。已知不等式解集为-5＜x＜-1，可推出方程$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个根是x=-5和x=-1。接下来利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入两根之和的公式即可求出b的值，无需计算c，简化运算。
【解析】
解：
∵ 不等式$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c＞0$的解集为$-5＜x＜-1$，且二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，二次函数图象开口向下
∴ 一元二次方程$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1=-5$，$x_2=-1$
对于一元二次方程$ax^2+Bx+C=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\dfrac{B}{a}$
在方程$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=0$中，$a=-\dfrac{1}{2}$，一次项系数$B=b$
∴ $x_1+x_2=-\dfrac{b}{-\dfrac{1}{2}}=2b$
又
∵ $x_1+x_2=-5+(-1)=-6$
∴ $2b=-6$
解得$b=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次不等式的联系
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的转化应用，熟练掌握根与系数的关系可快速求解参数，是这类题型的常用解题方法。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确三个“二次”的关联：二次函数开口向下时，函数值大于0的x的范围对应图象在x轴上方的部分，也就是对应一元二次方程的两根之间。已知不等式解集为-5＜x＜-1，可推出方程$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个根是x=-5和x=-1。接下来利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入两根之和的公式即可求出b的值，无需计算c，简化运算。
【解析】
解：
∵ 不等式$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c＞0$的解集为$-5＜x＜-1$，且二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，二次函数图象开口向下
∴ 一元二次方程$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1=-5$，$x_2=-1$
对于一元二次方程$ax^2+Bx+C=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\dfrac{B}{a}$
在方程$-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=0$中，$a=-\dfrac{1}{2}$，一次项系数$B=b$
∴ $x_1+x_2=-\dfrac{b}{-\dfrac{1}{2}}=2b$
又
∵ $x_1+x_2=-5+(-1)=-6$
∴ $2b=-6$
解得$b=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次不等式的联系
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的转化应用，熟练掌握根与系数的关系可快速求解参数，是这类题型的常用解题方法。
【难度系数】
0.7
6. 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的顶点为D，与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.下面四个结论中，正确的结论是.(填序号)
① $2a+b=0$；② $a+b+c＞0$；③ 只有当$a=\frac{1}{2}$时，$△ ABD$是等腰直角三角形；④ 使$△ ACB$为等腰三角形的$a$的值可以有3个.
① $2a+b=0$；② $a+b+c＞0$；③ 只有当$a=\frac{1}{2}$时，$△ ABD$是等腰直角三角形；④ 使$△ ACB$为等腰三角形的$a$的值可以有3个.
答案
解：
∵ 二次函数图象与x轴交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴ 函数对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确。
当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图象可知$x=1$对应顶点D在x轴下方，
∴ $a+b+c＜0$，故②错误。
∵ AB的长度为$3-(-1)=4$，且$DA=DB$，若$△ ABD$是等腰直角三角形，则顶点D到AB的距离等于$\frac{1}{2}AB=2$，即D点纵坐标为-2。
将$A(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，结合$b=-2a$，得$a - b + c=0$，即$a + 2a + c=0$，$c=-3a$，
顶点纵坐标为$a+b+c=a-2a-3a=-4a$，令$-4a=-2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴ 只有当$a=\frac{1}{2}$时，$△ ABD$是等腰直角三角形，故③正确。
分三种情况讨论$△ ACB$为等腰三角形：
1. 若$AB=AC=4$，由$OA=1$，$OC=|c|=-c=3a$，根据勾股定理$OA^2+OC^2=AC^2$，得$1+9a^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{15}}{3}$（$a＞0$）；
2. 若$AB=BC=4$，由$OB=3$，$OC=3a$，根据勾股定理$OB^2+OC^2=BC^2$，得$9+9a^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{7}}{3}$（$a＞0$）；
3. 若$AC=BC$，则$AC^2=BC^2$，即$1+c^2=9+c^2$，化简得$1=9$，矛盾，该情况不存在。
因此满足条件的a的值只有2个，故④错误。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③}$。
∵ 二次函数图象与x轴交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴ 函数对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确。
当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图象可知$x=1$对应顶点D在x轴下方，
∴ $a+b+c＜0$，故②错误。
∵ AB的长度为$3-(-1)=4$，且$DA=DB$，若$△ ABD$是等腰直角三角形，则顶点D到AB的距离等于$\frac{1}{2}AB=2$，即D点纵坐标为-2。
将$A(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，结合$b=-2a$，得$a - b + c=0$，即$a + 2a + c=0$，$c=-3a$，
顶点纵坐标为$a+b+c=a-2a-3a=-4a$，令$-4a=-2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴ 只有当$a=\frac{1}{2}$时，$△ ABD$是等腰直角三角形，故③正确。
分三种情况讨论$△ ACB$为等腰三角形：
1. 若$AB=AC=4$，由$OA=1$，$OC=|c|=-c=3a$，根据勾股定理$OA^2+OC^2=AC^2$，得$1+9a^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{15}}{3}$（$a＞0$）；
2. 若$AB=BC=4$，由$OB=3$，$OC=3a$，根据勾股定理$OB^2+OC^2=BC^2$，得$9+9a^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{7}}{3}$（$a＞0$）；
3. 若$AC=BC$，则$AC^2=BC^2$，即$1+c^2=9+c^2$，化简得$1=9$，矛盾，该情况不存在。
因此满足条件的a的值只有2个，故④错误。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③}$。
解析
【分析】
本题需结合二次函数图像性质与几何图形判定逐一验证四个结论：第一步，先根据A、B两点横坐标求出二次函数对称轴，利用对称轴公式判断结论①；第二步，找到x=1对应的函数值，结合图像位置判断结论②；第三步，根据等腰直角三角形ABD的性质求出顶点D的纵坐标，结合二次函数顶点纵坐标公式计算a的值，判断结论③；第四步，分三种情况讨论△ACB为等腰三角形的情况，结合勾股定理计算a的取值，排除不成立的情况后判断结论④。
【解析】
1. 判断结论①：
已知二次函数与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)，因此函数对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确。
2. 判断结论②：
当$x=1$时，二次函数值$y=a+b+c$，由图像可知横坐标为1的顶点D在x轴下方，因此$a+b+c＜0$，故②错误。
3. 判断结论③：
AB的长度为$3-(-1)=4$，由对称性可知$DA=DB$，若$△ ABD$是等腰直角三角形，则顶点D到AB的距离为$\frac{1}{2}AB=2$，即D点纵坐标为-2。
将A(-1,0)代入$y=ax^2+bx+c$，结合$b=-2a$，得$a - (-2a) + c=0$，整理得$c=-3a$。
顶点纵坐标为$a+b+c=a-2a-3a=-4a$，令$-4a=-2$，解得$a=\frac{1}{2}$，因此只有$a=\frac{1}{2}$时$△ ABD$是等腰直角三角形，故③正确。
4. 判断结论④：
分三种情况讨论$△ ACB$为等腰三角形：
(1) 若$AB=AC=4$：$OA=1$，$OC=|c|=-c=3a$（$a＞0$，$c＜0$），由勾股定理$OA^2+OC^2=AC^2$，得$1+(3a)^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{15}}{3}$（舍去负根）；
(2) 若$AB=BC=4$：$OB=3$，$OC=3a$，由勾股定理$OB^2+OC^2=BC^2$，得$9+(3a)^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{7}}{3}$（舍去负根）；
(3) 若$AC=BC$：则$AC^2=BC^2$，即$1+c^2=9+c^2$，化简得$1=9$，矛盾，该情况不存在。
因此满足条件的a仅有2个，故④错误。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的性质；等腰三角形判定；勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，既需要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算方法，也需要在讨论等腰三角形时做到分类不重不漏，对数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题需结合二次函数图像性质与几何图形判定逐一验证四个结论：第一步，先根据A、B两点横坐标求出二次函数对称轴，利用对称轴公式判断结论①；第二步，找到x=1对应的函数值，结合图像位置判断结论②；第三步，根据等腰直角三角形ABD的性质求出顶点D的纵坐标，结合二次函数顶点纵坐标公式计算a的值，判断结论③；第四步，分三种情况讨论△ACB为等腰三角形的情况，结合勾股定理计算a的取值，排除不成立的情况后判断结论④。
【解析】
1. 判断结论①：
已知二次函数与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)，因此函数对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确。
2. 判断结论②：
当$x=1$时，二次函数值$y=a+b+c$，由图像可知横坐标为1的顶点D在x轴下方，因此$a+b+c＜0$，故②错误。
3. 判断结论③：
AB的长度为$3-(-1)=4$，由对称性可知$DA=DB$，若$△ ABD$是等腰直角三角形，则顶点D到AB的距离为$\frac{1}{2}AB=2$，即D点纵坐标为-2。
将A(-1,0)代入$y=ax^2+bx+c$，结合$b=-2a$，得$a - (-2a) + c=0$，整理得$c=-3a$。
顶点纵坐标为$a+b+c=a-2a-3a=-4a$，令$-4a=-2$，解得$a=\frac{1}{2}$，因此只有$a=\frac{1}{2}$时$△ ABD$是等腰直角三角形，故③正确。
4. 判断结论④：
分三种情况讨论$△ ACB$为等腰三角形：
(1) 若$AB=AC=4$：$OA=1$，$OC=|c|=-c=3a$（$a＞0$，$c＜0$），由勾股定理$OA^2+OC^2=AC^2$，得$1+(3a)^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{15}}{3}$（舍去负根）；
(2) 若$AB=BC=4$：$OB=3$，$OC=3a$，由勾股定理$OB^2+OC^2=BC^2$，得$9+(3a)^2=16$，解得$a=\frac{\sqrt{7}}{3}$（舍去负根）；
(3) 若$AC=BC$：则$AC^2=BC^2$，即$1+c^2=9+c^2$，化简得$1=9$，矛盾，该情况不存在。
因此满足条件的a仅有2个，故④错误。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的性质；等腰三角形判定；勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，既需要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算方法，也需要在讨论等腰三角形时做到分类不重不漏，对数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
