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8. 右图是二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象，求：
（1）抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 的对称轴；
（2）$ ax^2+bx+c ＞ 0 $ 的解集；
（3）$ ax^2+bx+c ＜ 0 $ 的解集。
（1）抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 的对称轴；
（2）$ ax^2+bx+c ＞ 0 $ 的解集；
（3）$ ax^2+bx+c ＜ 0 $ 的解集。
答案
解：
（1）由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(-1, 0)$和$(4, 0)$，
根据抛物线的对称性，对称轴为：
直线$x=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$。
（2）$ax^2+bx+c＞0$对应函数值$y＞0$，即图象在x轴上方的部分，
结合抛物线开口向上，可得解集为$x＜-1$或$x＞4$。
（3）$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象在x轴下方的部分，
可得解集为$-1＜x＜4$。
（1）由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(-1, 0)$和$(4, 0)$，
根据抛物线的对称性，对称轴为：
直线$x=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$。
（2）$ax^2+bx+c＞0$对应函数值$y＞0$，即图象在x轴上方的部分，
结合抛物线开口向上，可得解集为$x＜-1$或$x＞4$。
（3）$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象在x轴下方的部分，
可得解集为$-1＜x＜4$。
解析
【分析】
解题时先从图像中提取关键信息：抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(4,0)$，开口向上。
（1）求对称轴：抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的中点所在的垂直于x轴的直线，用两点横坐标之和除以2即可计算。
（2）求$ax^2+bx+c＞0$的解集：不等式对应二次函数的函数值$y＞0$，反映在图像上是抛物线位于x轴上方的部分，直接读取这部分图像对应的x的取值范围即可。
（3）求$ax^2+bx+c＜0$的解集：对应二次函数的函数值$y＜0$，即抛物线位于x轴下方的部分，同理读取对应x的取值范围即可。
【解析】
（1）由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(-1, 0)$和$(4, 0)$，根据抛物线的对称性，对称轴为：
直线$x=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$。
（2）$ax^2+bx+c＞0$对应函数值$y＞0$，即图象在x轴上方的部分，结合抛物线开口向上，可得解集为$x＜-1$或$x＞4$。
（3）$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象在x轴下方的部分，可得解集为$-1＜x＜4$。
【答案】
（1）直线$x=\frac{3}{2}$；
（2）$x＜-1$或$x＞4$；
（3）$-1＜x＜4$
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数与不等式、抛物线图像性质
【点评】
本题是二次函数图像的基础应用题，核心考查数形结合思想，解题关键是准确从图像中提取交点、开口方向等信息，将代数不等式问题转化为函数图像的位置问题即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从图像中提取关键信息：抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(4,0)$，开口向上。
（1）求对称轴：抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的中点所在的垂直于x轴的直线，用两点横坐标之和除以2即可计算。
（2）求$ax^2+bx+c＞0$的解集：不等式对应二次函数的函数值$y＞0$，反映在图像上是抛物线位于x轴上方的部分，直接读取这部分图像对应的x的取值范围即可。
（3）求$ax^2+bx+c＜0$的解集：对应二次函数的函数值$y＜0$，即抛物线位于x轴下方的部分，同理读取对应x的取值范围即可。
【解析】
（1）由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(-1, 0)$和$(4, 0)$，根据抛物线的对称性，对称轴为：
直线$x=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$。
（2）$ax^2+bx+c＞0$对应函数值$y＞0$，即图象在x轴上方的部分，结合抛物线开口向上，可得解集为$x＜-1$或$x＞4$。
（3）$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象在x轴下方的部分，可得解集为$-1＜x＜4$。
【答案】
（1）直线$x=\frac{3}{2}$；
（2）$x＜-1$或$x＞4$；
（3）$-1＜x＜4$
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数与不等式、抛物线图像性质
【点评】
本题是二次函数图像的基础应用题，核心考查数形结合思想，解题关键是准确从图像中提取交点、开口方向等信息，将代数不等式问题转化为函数图像的位置问题即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 已知二次函数 $y=-x^2+2x+m$.
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P.求点P的坐标.
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P.求点P的坐标.
答案
解：
(1) 令$y=0$，得一元二次方程$-x^2+2x+m=0$。
∵二次函数的图象与$x$轴有两个交点，
∴判别式$\Delta = 2^2 - 4×(-1)× m = 4 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -1$。
(2) 把点$A(3,0)$代入$y=-x^2+2x+m$，
得$0 = -3^2 + 2×3 + m$，
解得$m=3$，
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$x=0$，得$y=3$，即点$B$的坐标为$(0,3)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k + b = 0 \\ b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=3\end{cases}$
∴直线$AB$的解析式为$y=-x+3$。
二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=2$，
∴点$P$的坐标为$(1,2)$。
(1) 令$y=0$，得一元二次方程$-x^2+2x+m=0$。
∵二次函数的图象与$x$轴有两个交点，
∴判别式$\Delta = 2^2 - 4×(-1)× m = 4 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -1$。
(2) 把点$A(3,0)$代入$y=-x^2+2x+m$，
得$0 = -3^2 + 2×3 + m$，
解得$m=3$，
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$x=0$，得$y=3$，即点$B$的坐标为$(0,3)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k + b = 0 \\ b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=3\end{cases}$
∴直线$AB$的解析式为$y=-x+3$。
二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=2$，
∴点$P$的坐标为$(1,2)$。
解析
【分析】
（1）二次函数图象与x轴的交点个数可对应转化为一元二次方程根的个数：当图象与x轴有2个交点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$。因此只需令$y=0$得到关于x的一元二次方程，列出$\Delta＞0$的不等式，即可求解m的取值范围。
（2）点P是直线AB与二次函数对称轴的交点，因此需先求出直线AB的解析式和二次函数的对称轴：首先将点A坐标代入二次函数解析式求出m，确定二次函数解析式；再求二次函数与y轴交点B的坐标；随后用待定系数法求出直线AB的解析式；最后计算出二次函数的对称轴，将对称轴的x值代入直线AB解析式，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 令$y=0$，可得一元二次方程：$-x^2+2x+m=0$
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴该方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$
代入$a=-1,b=2,c=m$得：$\Delta = 2^2 - 4×(-1)× m = 4 + 4m$
列不等式$4+4m＞0$，解得$m ＞ -1$
(2)
∵二次函数图象过点$A(3,0)$，将$x=3,y=0$代入$y=-x^2+2x+m$得：
$0 = -3^2 + 2×3 + m$，解得$m=3$
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$
令$x=0$，得$y=3$，即点B的坐标为$(0,3)$
设直线AB的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(3,0)$、$B(0,3)$分别代入得：
$\begin{cases}3k + b = 0 \\ b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=3\end{cases}$
∴直线AB的解析式为$y=-x+3$
二次函数$y=-x^2+2x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$
∴点P的坐标为$(1,2)$
【答案】
(1) $m ＞ -1$；(2) $\boldsymbol{P(1,2)}$
【知识点】
1. 根的判别式的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，考查了二次函数与一元二次方程的联系、函数解析式的求解、二次函数对称轴的计算等常规考点，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）二次函数图象与x轴的交点个数可对应转化为一元二次方程根的个数：当图象与x轴有2个交点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$。因此只需令$y=0$得到关于x的一元二次方程，列出$\Delta＞0$的不等式，即可求解m的取值范围。
（2）点P是直线AB与二次函数对称轴的交点，因此需先求出直线AB的解析式和二次函数的对称轴：首先将点A坐标代入二次函数解析式求出m，确定二次函数解析式；再求二次函数与y轴交点B的坐标；随后用待定系数法求出直线AB的解析式；最后计算出二次函数的对称轴，将对称轴的x值代入直线AB解析式，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 令$y=0$，可得一元二次方程：$-x^2+2x+m=0$
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴该方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$
代入$a=-1,b=2,c=m$得：$\Delta = 2^2 - 4×(-1)× m = 4 + 4m$
列不等式$4+4m＞0$，解得$m ＞ -1$
(2)
∵二次函数图象过点$A(3,0)$，将$x=3,y=0$代入$y=-x^2+2x+m$得：
$0 = -3^2 + 2×3 + m$，解得$m=3$
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$
令$x=0$，得$y=3$，即点B的坐标为$(0,3)$
设直线AB的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(3,0)$、$B(0,3)$分别代入得：
$\begin{cases}3k + b = 0 \\ b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=3\end{cases}$
∴直线AB的解析式为$y=-x+3$
二次函数$y=-x^2+2x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$
∴点P的坐标为$(1,2)$
【答案】
(1) $m ＞ -1$；(2) $\boldsymbol{P(1,2)}$
【知识点】
1. 根的判别式的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，考查了二次函数与一元二次方程的联系、函数解析式的求解、二次函数对称轴的计算等常规考点，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
