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三、解答题
7. 如图,在一边靠墙的空地上,用栅栏围成三格的矩形场地.已知栅栏总长度为160 m,则垂直于墙的一段栅栏长度x为多少时,所围场地总面积最大? 并求这个最大面积.
7. 如图,在一边靠墙的空地上,用栅栏围成三格的矩形场地.已知栅栏总长度为160 m,则垂直于墙的一段栅栏长度x为多少时,所围场地总面积最大? 并求这个最大面积.
答案
解：设所围场地的总面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
由题意可知，平行于墙的栅栏长度为$(160-4x)\ \mathrm{m}$，其中自变量满足$0＜x＜40$。
则总面积$S$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}S&=x(160-4x)\\&=-4x^2+160x\end{aligned}$
$\because a=-4＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{160}{2×(-4)}=20$时，
$S$取得最大值，最大值为$S=-4×20^2+160×20=1600$。
答：当垂直于墙的一段栅栏长度$x$为$20\ \mathrm{m}$时，所围场地总面积最大，最大面积为$1600\ \mathrm{m^2}$。
由题意可知，平行于墙的栅栏长度为$(160-4x)\ \mathrm{m}$，其中自变量满足$0＜x＜40$。
则总面积$S$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}S&=x(160-4x)\\&=-4x^2+160x\end{aligned}$
$\because a=-4＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{160}{2×(-4)}=20$时，
$S$取得最大值，最大值为$S=-4×20^2+160×20=1600$。
答：当垂直于墙的一段栅栏长度$x$为$20\ \mathrm{m}$时，所围场地总面积最大，最大面积为$1600\ \mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
要解决这个最值问题，首先需要建立场地总面积与垂直于墙的栅栏长度x的函数关系：第一步先分析栅栏的构成，垂直于墙面的栅栏共有4段，每段长为x，因此这部分总长度为4x；结合栅栏总长度160m，可得平行于墙面的栅栏总长度为(160-4x)m，同时根据实际意义，x需满足0＜x＜40。第二步根据矩形面积公式写出总面积S关于x的函数表达式，发现是二次函数，且二次项系数小于0，因此函数存在最大值，最后利用二次函数顶点的性质求出对应x的值和最大面积即可。
【解析】
设所围场地的总面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
由题意可知，平行于墙的栅栏长度为$(160-4x)\ \mathrm{m}$，其中自变量x满足$0＜x＜40$。
则总面积$S$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}S&=x(160-4x)\\&=-4x^2+160x\end{aligned}$
$\because a=-4＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{160}{2×(-4)}=20$时，符合x的取值范围，
此时$S$取得最大值，最大值为$S=-4×20^2+160×20=1600$。
【答案】
当垂直于墙的一段栅栏长度$x$为$20\ \mathrm{m}$时，所围场地总面积最大，最大面积为$1600\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的关键是理清栅栏的长度构成，结合实际意义确定自变量的取值范围，正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.7
要解决这个最值问题，首先需要建立场地总面积与垂直于墙的栅栏长度x的函数关系：第一步先分析栅栏的构成，垂直于墙面的栅栏共有4段，每段长为x，因此这部分总长度为4x；结合栅栏总长度160m，可得平行于墙面的栅栏总长度为(160-4x)m，同时根据实际意义，x需满足0＜x＜40。第二步根据矩形面积公式写出总面积S关于x的函数表达式，发现是二次函数，且二次项系数小于0，因此函数存在最大值，最后利用二次函数顶点的性质求出对应x的值和最大面积即可。
【解析】
设所围场地的总面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
由题意可知，平行于墙的栅栏长度为$(160-4x)\ \mathrm{m}$，其中自变量x满足$0＜x＜40$。
则总面积$S$与$x$的函数关系式为：
$\begin{aligned}S&=x(160-4x)\\&=-4x^2+160x\end{aligned}$
$\because a=-4＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{160}{2×(-4)}=20$时，符合x的取值范围，
此时$S$取得最大值，最大值为$S=-4×20^2+160×20=1600$。
【答案】
当垂直于墙的一段栅栏长度$x$为$20\ \mathrm{m}$时，所围场地总面积最大，最大面积为$1600\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的关键是理清栅栏的长度构成，结合实际意义确定自变量的取值范围，正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$, $AB=6\ \mathrm{cm}$, $BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿边$AB$以1 cm/s的速度向点$B$移动,点$Q$从点$B$开始沿边$BC$以2 cm/s的速度向点$C$移动.如果点$P$, $Q$分别从点$A$, $B$同时出发,$t\ \mathrm{s}$时,$△ PBQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.
(1) 试写出$y$关于$t$的函数表达式以及$t$的取值范围;
(2) 当$t$等于多少时,$△ PBQ$的面积等于$5\ \mathrm{cm}^2$?当$t$等于多少时,$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$?
(1) 试写出$y$关于$t$的函数表达式以及$t$的取值范围;
(2) 当$t$等于多少时,$△ PBQ$的面积等于$5\ \mathrm{cm}^2$?当$t$等于多少时,$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$?
答案
解：
(1) 由题意得，$t\ \mathrm{s}$时，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore △ PBQ$的面积$y = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} · (6 - t) · 2t = -t^2 + 6t$。
由动点移动范围可得$\begin{cases} t ≥ 0 \\ 6 - t ≥ 0 \\ 2t ≤ 8 \end{cases}$，解得$0 ≤ t ≤ 4$。
即$y$关于$t$的函数表达式为$\boldsymbol{y = -t^2 + 6t}$，$t$的取值范围是$\boldsymbol{0 ≤ t ≤ 4}$。
(2) 令$y = 5$，得$-t^2 + 6t = 5$，
整理得$t^2 - 6t + 5 = 0$，
解得$t_1 = 1$，$t_2 = 5$。
$\because 0 ≤ t ≤ 4$，$\therefore t = 5$不符合题意，舍去，得$t = 1$。
令$y = 8$，得$-t^2 + 6t = 8$，
整理得$t^2 - 6t + 8 = 0$，
解得$t_1 = 2$，$t_2 = 4$，两个解均满足$0 ≤ t ≤ 4$，均符合题意。
答：当$t$等于$1\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$5\ \mathrm{cm}^2$；当$t$等于$2\ \mathrm{s}$或$4\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 由题意得，$t\ \mathrm{s}$时，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore △ PBQ$的面积$y = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} · (6 - t) · 2t = -t^2 + 6t$。
由动点移动范围可得$\begin{cases} t ≥ 0 \\ 6 - t ≥ 0 \\ 2t ≤ 8 \end{cases}$，解得$0 ≤ t ≤ 4$。
即$y$关于$t$的函数表达式为$\boldsymbol{y = -t^2 + 6t}$，$t$的取值范围是$\boldsymbol{0 ≤ t ≤ 4}$。
(2) 令$y = 5$，得$-t^2 + 6t = 5$，
整理得$t^2 - 6t + 5 = 0$，
解得$t_1 = 1$，$t_2 = 5$。
$\because 0 ≤ t ≤ 4$，$\therefore t = 5$不符合题意，舍去，得$t = 1$。
令$y = 8$，得$-t^2 + 6t = 8$，
整理得$t^2 - 6t + 8 = 0$，
解得$t_1 = 2$，$t_2 = 4$，两个解均满足$0 ≤ t ≤ 4$，均符合题意。
答：当$t$等于$1\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$5\ \mathrm{cm}^2$；当$t$等于$2\ \mathrm{s}$或$4\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题是结合动点的二次函数应用问题，解题思路如下：1. 求解第一问时，首先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出线段AP、BQ的长度，进而得到Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；再利用直角三角形面积公式推导y关于t的函数表达式；最后根据两个动点的运动终点限制（P不超出AB，Q不超出BC，且时间非负），列不等式组求解得到t的取值范围。2. 求解第二问时，分别将y=5和y=8代入第一问得到的函数表达式，转化为一元二次方程求解，最后结合t的取值范围舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
(1) 由题意得，运动时间为$t\ \mathrm{s}$时，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ ABC = 90°$，$△ PBQ$为直角三角形，
$\therefore △ PBQ$的面积$y = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} · (6 - t) · 2t = -t^2 + 6t$。
根据动点运动范围列不等式组：
$\begin{cases} t ≥ 0 \\ 6 - t ≥ 0 \\ 2t ≤ 8 \end{cases}$，解得$0 ≤ t ≤ 4$。
(2) ① 当$△ PBQ$面积为$5\ \mathrm{cm}^2$时：
令$y = 5$，得$-t^2 + 6t = 5$，
整理得$t^2 - 6t + 5 = 0$，
解得$t_1 = 1$，$t_2 = 5$。
$\because 0 ≤ t ≤ 4$，$\therefore t = 5$不符合题意舍去，得$t = 1$。
② 当$△ PBQ$面积为$8\ \mathrm{cm}^2$时：
令$y = 8$，得$-t^2 + 6t = 8$，
整理得$t^2 - 6t + 8 = 0$，
解得$t_1 = 2$，$t_2 = 4$，两个解均满足$0 ≤ t ≤ 4$，均符合题意。
【答案】
(1) $y = -t^2 + 6t$，$t$的取值范围是$\boldsymbol{0 ≤ t ≤ 4}$；
(2) 当$t$等于$1\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$5\ \mathrm{cm}^2$；当$t$等于$2\ \mathrm{s}$或$4\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次方程，动点问题分析
【点评】
本题是二次函数与几何动点结合的基础题，核心是利用几何图形的面积公式建立函数关系，再通过解方程求解对应自变量的值，解题时要注意动点的运动范围限制，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
本题是结合动点的二次函数应用问题，解题思路如下：1. 求解第一问时，首先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出线段AP、BQ的长度，进而得到Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；再利用直角三角形面积公式推导y关于t的函数表达式；最后根据两个动点的运动终点限制（P不超出AB，Q不超出BC，且时间非负），列不等式组求解得到t的取值范围。2. 求解第二问时，分别将y=5和y=8代入第一问得到的函数表达式，转化为一元二次方程求解，最后结合t的取值范围舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
(1) 由题意得，运动时间为$t\ \mathrm{s}$时，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ ABC = 90°$，$△ PBQ$为直角三角形，
$\therefore △ PBQ$的面积$y = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2} · (6 - t) · 2t = -t^2 + 6t$。
根据动点运动范围列不等式组：
$\begin{cases} t ≥ 0 \\ 6 - t ≥ 0 \\ 2t ≤ 8 \end{cases}$，解得$0 ≤ t ≤ 4$。
(2) ① 当$△ PBQ$面积为$5\ \mathrm{cm}^2$时：
令$y = 5$，得$-t^2 + 6t = 5$，
整理得$t^2 - 6t + 5 = 0$，
解得$t_1 = 1$，$t_2 = 5$。
$\because 0 ≤ t ≤ 4$，$\therefore t = 5$不符合题意舍去，得$t = 1$。
② 当$△ PBQ$面积为$8\ \mathrm{cm}^2$时：
令$y = 8$，得$-t^2 + 6t = 8$，
整理得$t^2 - 6t + 8 = 0$，
解得$t_1 = 2$，$t_2 = 4$，两个解均满足$0 ≤ t ≤ 4$，均符合题意。
【答案】
(1) $y = -t^2 + 6t$，$t$的取值范围是$\boldsymbol{0 ≤ t ≤ 4}$；
(2) 当$t$等于$1\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$5\ \mathrm{cm}^2$；当$t$等于$2\ \mathrm{s}$或$4\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次方程，动点问题分析
【点评】
本题是二次函数与几何动点结合的基础题，核心是利用几何图形的面积公式建立函数关系，再通过解方程求解对应自变量的值，解题时要注意动点的运动范围限制，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
