1. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以是.(写出一组即可)

3，4，5（答案不唯一）

解：
取三边长为3，4，5，
$\because 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2=25$，
$\therefore 3^2+4^2=5^2$，满足直角三角形三边的勾股关系。

2. 下列各组数中,属于勾股数的是 （）

A.$\frac{5}{2},6,\frac{13}{2}$
B.$5,7,10$
C.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$
D.$5,12,13$

D

根据勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数叫做勾股数，逐一判断：
1. 选项A：三个数不全是正整数，不属于勾股数；
2. 选项B：$5^2+7^2=25+49=74≠10^2=100$，不满足平方和关系，不属于勾股数；
3. 选项C：三个数全是无理数，不是正整数，不属于勾股数；
4. 选项D：$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，且三个数都是正整数，属于勾股数。

3. 若三角形的边长分别为6,8,10,则它的最长边上的高为.

$\boldsymbol{4.8}$

解：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，
∴ $6^2 + 8^2 = 10^2$，
∴ 该三角形是直角三角形，边长为10的边是最长边。
设最长边上的高为$h$，
由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$
解得 $h = 4.8$。
最终

4. 下列命题中,属于假命题的是 （）

A.在$△ ABC$中,若$∠ A=∠ C-∠ B$,则$△ ABC$为直角三角形
B.在$△ ABC$中,若$a^2=b^2-c^2$,则$△ ABC$为直角三角形
C.在$△ ABC$中,若$∠ A:∠ B:∠ C=5:2:3$,则$△ ABC$为直角三角形
D.在$△ ABC$中,若$a:b:c=2:2:3$,则$△ ABC$为直角三角形

D

逐一分析各选项：
1. 选项A：由∠A=∠C-∠B得∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，得∠C=90°，△ABC是直角三角形，为真命题。
2. 选项B：由a²=b²-c²变形得a²+c²=b²，根据勾股定理逆定理可知∠B=90°，△ABC是直角三角形，为真命题。
3. 选项C：设∠A=5x，∠B=2x，∠C=3x，由5x+2x+3x=180°得x=18°，则∠A=90°，△ABC是直角三角形，为真命题。
4. 选项D：设a=2k，b=2k，c=3k，计算得a²+b²=8k²，c²=9k²，a²+b²≠c²，不满足勾股定理逆定理，△ABC不是直角三角形，为假命题。

5. 如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,求四边形ABCD的面积.

解：连接AC。
∵ ∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $AC = 5$。
在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13，
∵ $AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$AD^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，且$∠ ACD=90°$。
$\begin{aligned}\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD} &= S_{△ ABC} + S_{△ ACD} \\&= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × CD \\&= \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 \\&= 6 + 30 \\&= 36\end{aligned}$
答：四边形ABCD的面积为36。