4. 据说,美国第二十任总统加菲尔德曾采用如图所示的图形证明勾股定理,其中两个全等的直角三角形的边 AE,EB 在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是（）

A.$S_{△ EDA}=S_{△ CEB}$
B.$S_{△ EDA}+S_{△ CEB}=S_{△ CDE}$
C.$S_{四边形CDAE}=S_{四边形CDEB}$
D.$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{四边形ABCD}$

D

加菲尔德证明勾股定理的核心是将直角梯形ABCD的面积，用分割成的三个三角形的面积和表示：
1. 直角梯形ABCD的面积可通过梯形面积公式计算，同时该图形可拆分为△EDA、△CDE、△CEB三个三角形，因此总面积满足$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{四边形ABCD}$；
2. 代入各部分面积表达式化简后即可推导出勾股定理，其余选项的面积关系均不是该证明用到的核心相等关系。

5. 关于勾股定理的证明有一种简洁的方法叫“常春证法”.将两个全等的$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$按如图所示的方法摆放,其中$BC=a,AC=b,AB=c$.点$F$落在$AC$上,点$C$与点$E$重合,斜边$AB$与斜边$CD$交于点$M$,连接$AD,BD$.
(1)$∠ AMC=$$°$,四边形$ACBD$的面积=;(用含$a,b$的代数式表示)
(2)请利用“常春图”证明勾股定理.

常春图

解：
(1) $90$；$\frac{1}{2}(a^2+b^2)$
(2) 证明：
∵ $Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF$，
∴ $CD = AB = c$。
由(1)知$AB ⊥ CD$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · CM$，$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DM$，
∴ $S_{四边形ACBD} = S_{△ ABC} + S_{△ ABD}$
$= \frac{1}{2} AB · CM + \frac{1}{2} AB · DM$
$= \frac{1}{2} AB · (CM + DM)$
$= \frac{1}{2} AB · CD$
$= \frac{1}{2} c^2$。
又∵ 由(1)得$S_{四边形ACBD} = \frac{1}{2}(a^2 + b^2)$，
∴ $\frac{1}{2}(a^2 + b^2) = \frac{1}{2}c^2$，
化简得$a^2 + b^2 = c^2$，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。