1. 如图是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若a，b表示直角三角形的两直角边长(a＞b)，给出下列四个结论：① $a^2 + b^2 =25$；② $a - b=2$；③ $2ab=21$；④ $a + b=7$。
其中，正确的结论有.(填序号)

解：
∵ 大正方形的面积为25，
∴ 大正方形的边长为5，由勾股定理得直角三角形斜边的平方为$a^2+b^2=5^2=25$，故①正确。
∵ 小正方形的面积为4，
∴ 小正方形的边长为2，由弦图结构可知小正方形的边长等于$a-b$，又$a＞b$，因此$a-b=2$，故②正确。
大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与小正方形面积之和，因此：
$4× \frac{1}{2}ab + 4 = 25$
化简得$2ab + 4 = 25$，即$2ab=21$，故③正确。
∵ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 25 + 21 = 46$，
∴ $a+b = \sqrt{46} ≠ 7$，故④错误。
综上，正确的结论有$\boldsymbol{①②③}$。

2. 如图，数学家欧几里得利用该图验证了勾股定理. 以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三条边为边长向外作正方形$ABED$，正方形$ACHI$，正方形$BCGF$，连接$CE$. 若$BC=8$，$AB=10$，作$△ BCE$的边$BC$的高，可求得$△ BCE$的面积为（）

A.40
B.32
C.24
D.18

B

1. 先在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
2. 过点$E$作$EH⊥ BC$，交$CB$的延长线于点$H$。
3. 因为四边形$ABED$是正方形，所以$AB=BE$，$∠ ABE=90°$，可得$∠ ABC+∠ EBH=90°$；又在$Rt△ ABC$中$∠ ABC+∠ BAC=90°$，因此$∠ EBH=∠ BAC$。
4. 结合$∠ H=∠ ACB=90°$，可证$△ ABC≌△ BEH(\mathrm{AAS})$，得$EH=BC=8$。
5. 计算$△ BCE$的面积：$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC× EH=\frac{1}{2}×8×8=32$。

3. 青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的方法.如图,四边形$ABCD$,$DEFG$,$CGHI$均为正方形,“朱入”和“朱出”全等;同色的“青入”和“青出”全等.若正方形$ABCD$,$CGHI$的面积分别为$S_1$,$S_2$,则正方形$EFGD$的面积=,$AE=$,$AF=$.(用含$S_1$和$S_2$的代数式表示)

解：
由割补术的面积相等关系可知，正方形$DEFG$的面积与正方形$CGHI$的面积之和等于正方形$ABCD$的面积，
因此正方形$EFGD$的面积$= S_1 - S_2$。
∵ 正方形$CGHI$的面积为$S_2$，
∴ 其边长$CG = \sqrt{S_2}$，
由同色的“青入”和“青出”全等，可得$AE = CG = \sqrt{S_2}$。
∵ 正方形$DEFG$的边长$EF = \sqrt{S_1 - S_2}$，且点$A$在线段$EF$上，满足$EF = AE + AF$，
∴ $AF = EF - AE = \sqrt{S_1 - S_2} - \sqrt{S_2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{S_1 - S_2}$；$\boldsymbol{\sqrt{S_2}}$；$\boldsymbol{\sqrt{S_1 - S_2} - \sqrt{S_2}}$。