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1. 阅读下列材料：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数.例如：$(1101)_2$就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，$\overline{(abc)}_n$表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a.一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.例如十进制数$5678=5×10^3 +6×10^2 +7×10^1 +8×10^0$（规定当$a≠0$时，$a^0=1$）.同理，二进制数$(1101)_2$转换为十进制数为$1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0=13$.一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成$0,1,2,\dots,n-1$与基数n的幂的乘积之和的形式.例如，将十进制数46转换为三进制数，因为$27＜46＜81$，即$3^3＜46＜3^4$，所以$46=1×3^3 +2×3^2 +0×3^1 +1×3^0$，所以46转换为三进制数为$(1201)_3$.
根据上述材料，把十进制数21转换为二进制数是
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数.例如：$(1101)_2$就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，$\overline{(abc)}_n$表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a.一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.例如十进制数$5678=5×10^3 +6×10^2 +7×10^1 +8×10^0$（规定当$a≠0$时，$a^0=1$）.同理，二进制数$(1101)_2$转换为十进制数为$1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0=13$.一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成$0,1,2,\dots,n-1$与基数n的幂的乘积之和的形式.例如，将十进制数46转换为三进制数，因为$27＜46＜81$，即$3^3＜46＜3^4$，所以$46=1×3^3 +2×3^2 +0×3^1 +1×3^0$，所以46转换为三进制数为$(1201)_3$.
根据上述材料，把十进制数21转换为二进制数是
10101
.答案
1. 10101
解析
【分析】
要解决十进制数转二进制数的问题，首先明确二进制的基数为2，结合材料给出的转换规则：先找到小于等于待转换十进制数的最大的2的幂，依次确定每一位上的数字（二进制数位数字只能是0或1），最后把各数位数字从最高位到最低位依次排列，就能得到对应的二进制数。
【解析】
首先计算2的各次幂，确定最高位对应的幂次：
$2^0=1$，$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，因为$32＞21$，所以21的最高位对应$2^4$的系数。
接下来依次计算各数位的数字：
$21=1×2^4+5$，因此$2^4$位的数字为1；
剩余的5小于$2^3=8$，因此$2^3$位的数字为0；
$5=1×2^2+1$，因此$2^2$位的数字为1；
剩余的1小于$2^1=2$，因此$2^1$位的数字为0；
$1=1×2^0$，因此$2^0$位的数字为1。
将各数位数字从高到低排列可得，$21=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应的二进制数为10101。
【答案】
10101
【知识点】
进位制的认识，十进制转二进制
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是读懂材料中进位制的转换规则，结合简单的乘方、减法运算即可求解，重点考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要解决十进制数转二进制数的问题，首先明确二进制的基数为2，结合材料给出的转换规则：先找到小于等于待转换十进制数的最大的2的幂，依次确定每一位上的数字（二进制数位数字只能是0或1），最后把各数位数字从最高位到最低位依次排列，就能得到对应的二进制数。
【解析】
首先计算2的各次幂，确定最高位对应的幂次：
$2^0=1$，$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，因为$32＞21$，所以21的最高位对应$2^4$的系数。
接下来依次计算各数位的数字：
$21=1×2^4+5$，因此$2^4$位的数字为1；
剩余的5小于$2^3=8$，因此$2^3$位的数字为0；
$5=1×2^2+1$，因此$2^2$位的数字为1；
剩余的1小于$2^1=2$，因此$2^1$位的数字为0；
$1=1×2^0$，因此$2^0$位的数字为1。
将各数位数字从高到低排列可得，$21=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应的二进制数为10101。
【答案】
10101
【知识点】
进位制的认识，十进制转二进制
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是读懂材料中进位制的转换规则，结合简单的乘方、减法运算即可求解，重点考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
2. 日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为$(1101)_2$，$(1101)_2$通过式子$1×2^3 +1×2^2 +0×2 +1×2^0$可以转换为十进制数13. 仿照上面的转换方法，将二进制数$(11101)_2$转换为十进制数是
29
，二进制数$(1110100)_2$可转换成十进制数116
.答案
2. 29 116
解析
【分析】
本题属于新定义类运算题，解题时先读懂题目给出的二进制转十进制的规则：二进制数的每一位数字从右往左依次对应乘2的0次方、2的1次方、2的2次方……，最后将所有乘积相加，即可得到对应的十进制数。解题时先分别确定两个二进制数每一位对应的2的次方数，再按规则计算求和即可。
【解析】
1. 计算二进制数$\boldsymbol{(11101)_2}$对应的十进制数：
根据转换规则，从右往左每一位对应乘$2^0、2^1、2^2、2^3、2^4$，列式为：
$\begin{aligned}(11101)_2&=1×2^4 +1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0\\&=1×16 +1×8 +1×4 +0×2 +1×1\\&=16+8+4+0+1\\&=29\end{aligned}$
2. 计算二进制数$\boldsymbol{(1110100)_2}$对应的十进制数：
从右往左每一位对应乘$2^0、2^1、2^2、2^3、2^4、2^5、2^6$，列式为：
$\begin{aligned}(1110100)_2&=1×2^6 +1×2^5 +1×2^4 +0×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +0×2^0\\&=1×64 +1×32 +1×16 +0×8 +1×4 +0×2 +0×1\\&=64+32+16+0+4+0+0\\&=116\end{aligned}$
【答案】
29；116
【知识点】
进位制转换；乘方运算；有理数加法
【点评】
本题是新定义运算类题目，核心是准确提取题干给出的转换规则，结合有理数乘方、加法的运算方法计算即可，侧重考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义类运算题，解题时先读懂题目给出的二进制转十进制的规则：二进制数的每一位数字从右往左依次对应乘2的0次方、2的1次方、2的2次方……，最后将所有乘积相加，即可得到对应的十进制数。解题时先分别确定两个二进制数每一位对应的2的次方数，再按规则计算求和即可。
【解析】
1. 计算二进制数$\boldsymbol{(11101)_2}$对应的十进制数：
根据转换规则，从右往左每一位对应乘$2^0、2^1、2^2、2^3、2^4$，列式为：
$\begin{aligned}(11101)_2&=1×2^4 +1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0\\&=1×16 +1×8 +1×4 +0×2 +1×1\\&=16+8+4+0+1\\&=29\end{aligned}$
2. 计算二进制数$\boldsymbol{(1110100)_2}$对应的十进制数：
从右往左每一位对应乘$2^0、2^1、2^2、2^3、2^4、2^5、2^6$，列式为：
$\begin{aligned}(1110100)_2&=1×2^6 +1×2^5 +1×2^4 +0×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +0×2^0\\&=1×64 +1×32 +1×16 +0×8 +1×4 +0×2 +0×1\\&=64+32+16+0+4+0+0\\&=116\end{aligned}$
【答案】
29；116
【知识点】
进位制转换；乘方运算；有理数加法
【点评】
本题是新定义运算类题目，核心是准确提取题干给出的转换规则，结合有理数乘方、加法的运算方法计算即可，侧重考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
3. 我们知道，计算机的运算模式是二进制.计数的进位方法是“逢二进一”，如二进制数100110记为$(100110)_2$，$(100110)_2$通过式子$1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0$可以转换为十进制数38，请将十进制数55转换成二进制码是
$(110111)_2$
.答案
3. $(110111)_2$
解析
【分析】
已知二进制转十进制的规则是每一位数字乘2的对应次幂后求和，反过来将十进制转二进制，可使用“除2取余法”：把待转换的十进制数反复除以2，依次记录每次的余数，直到商为0为止，最后将得到的余数从后往前倒序排列，就能得到对应的二进制数；也可以通过将十进制数拆分为2的幂次之和，对应每一位的系数得到二进制数。
【解析】
我们使用除2取余法求解：
1. $55÷2=27$，余数为1
2. $27÷2=13$，余数为1
3. $13÷2=6$，余数为1
4. $6÷2=3$，余数为0
5. $3÷2=1$，余数为1
6. $1÷2=0$，余数为1
将所有余数从最后一个到第一个倒序排列，得到数字110111，即对应的二进制数。
【答案】
$(110111)_2$
【知识点】
1. 进位制认识
2. 十进制转二进制
【点评】
本题属于进位制的基础应用题，核心是掌握十进制与二进制的转换规则，计算时要注意余数的排列顺序，避免因倒序错误丢分。
【难度系数】
0.7
已知二进制转十进制的规则是每一位数字乘2的对应次幂后求和，反过来将十进制转二进制，可使用“除2取余法”：把待转换的十进制数反复除以2，依次记录每次的余数，直到商为0为止，最后将得到的余数从后往前倒序排列，就能得到对应的二进制数；也可以通过将十进制数拆分为2的幂次之和，对应每一位的系数得到二进制数。
【解析】
我们使用除2取余法求解：
1. $55÷2=27$，余数为1
2. $27÷2=13$，余数为1
3. $13÷2=6$，余数为1
4. $6÷2=3$，余数为0
5. $3÷2=1$，余数为1
6. $1÷2=0$，余数为1
将所有余数从最后一个到第一个倒序排列，得到数字110111，即对应的二进制数。
【答案】
$(110111)_2$
【知识点】
1. 进位制认识
2. 十进制转二进制
【点评】
本题属于进位制的基础应用题，核心是掌握十进制与二进制的转换规则，计算时要注意余数的排列顺序，避免因倒序错误丢分。
【难度系数】
0.7
4. 生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，如，$234=2×10^2 + 3×10^1 + 4×10^0$.计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，如，二进制数“1101”转化为十进制数：$1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0 =13$；二进制数“10000”转化为十进制数：$1×2^4 +0×2^3 +0×2^2 +0×2^1 +0×2^0 =16$，(说明：① 非零有理数的0次方都是1；② 其他进制也有类似的算法.)
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101101”转化为十进制数是
(2)【迁移】将八进制数“175”转化为十进制数.
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数.
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101101”转化为十进制数是
45
.(2)【迁移】将八进制数“175”转化为十进制数.
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数.
答案
4. (1) $(101101)_2=1×2^5 +0×2^4 +1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0=45.$
(2) $(175)_8=1×8^2 +7×8^1 +5×8^0=125.$
(3) $1×5^3 +2×5^2 +3×5^1 +4×5^0=194$(天).
(2) $(175)_8=1×8^2 +7×8^1 +5×8^0=125.$
(3) $1×5^3 +2×5^2 +3×5^1 +4×5^0=194$(天).
解析
【分析】
解决这类不同进位制转十进制的问题，核心是掌握通用转换规则：将n进制数的每一位数字，乘以n的k次方（k是该位从右往左数的序号，从0开始计数），再把所有乘积相加即可得到对应的十进制数。
(1) 二进制转十进制：先确定二进制数“101101”的每一位对应的次方数，从右到左依次对应2⁰到2⁵，代入规则计算即可；
(2) 八进制转十进制：八进制数“175”从右到左依次对应8⁰到8²，代入规则计算即可；
(3) 结绳计数是满五进一，属于五进制计数，先确认从右到左每根绳子的结数分别为4、3、2、1，对应5⁰到5³，代入规则计算就能得到总天数。
【解析】
(1) 按二进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(101101)_2&=1×2^5 +0×2^4 +1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0\\&=32+0+8+4+0+1\\&=45\end{aligned}$
(2) 按八进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(175)_8&=1×8^2 +7×8^1 +5×8^0\\&=64+56+5\\&=125\end{aligned}$
(3) 由题意可知计数规则为满五进一，即五进制，从右到左每根绳的结数依次为4、3、2、1，计算总天数：
$\begin{aligned}\mathrm{总天数}&=1×5^3 +2×5^2 +3×5^1 +4×5^0\\&=125+50+15+4\\&=194\ (\mathrm{天})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{45}$；(2) $\boxed{125}$；(3) $\boxed{194}$天
【知识点】
进位制转换，有理数乘方运算，新定义运算
【点评】
本题结合不同进位制的应用场景，考查对新规则的理解能力和知识迁移能力，核心是掌握不同进制转十进制的通用计算方法，结合基础的乘方运算就能顺利解题，题目贴合生活实际，能帮助理解进位制的本质。
【难度系数】
0.7
解决这类不同进位制转十进制的问题，核心是掌握通用转换规则：将n进制数的每一位数字，乘以n的k次方（k是该位从右往左数的序号，从0开始计数），再把所有乘积相加即可得到对应的十进制数。
(1) 二进制转十进制：先确定二进制数“101101”的每一位对应的次方数，从右到左依次对应2⁰到2⁵，代入规则计算即可；
(2) 八进制转十进制：八进制数“175”从右到左依次对应8⁰到8²，代入规则计算即可；
(3) 结绳计数是满五进一，属于五进制计数，先确认从右到左每根绳子的结数分别为4、3、2、1，对应5⁰到5³，代入规则计算就能得到总天数。
【解析】
(1) 按二进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(101101)_2&=1×2^5 +0×2^4 +1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0\\&=32+0+8+4+0+1\\&=45\end{aligned}$
(2) 按八进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(175)_8&=1×8^2 +7×8^1 +5×8^0\\&=64+56+5\\&=125\end{aligned}$
(3) 由题意可知计数规则为满五进一，即五进制，从右到左每根绳的结数依次为4、3、2、1，计算总天数：
$\begin{aligned}\mathrm{总天数}&=1×5^3 +2×5^2 +3×5^1 +4×5^0\\&=125+50+15+4\\&=194\ (\mathrm{天})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{45}$；(2) $\boxed{125}$；(3) $\boxed{194}$天
【知识点】
进位制转换，有理数乘方运算，新定义运算
【点评】
本题结合不同进位制的应用场景，考查对新规则的理解能力和知识迁移能力，核心是掌握不同进制转十进制的通用计算方法，结合基础的乘方运算就能顺利解题，题目贴合生活实际，能帮助理解进位制的本质。
【难度系数】
0.7
