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1. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“★”有 （
A.57个
B.60个
C.63个
D.85个
B
）A.57个
B.60个
C.63个
D.85个
答案
1. B
解析
【分析】
解决这类图形规律题，我们可以先统计前几个图形中★的数量，再对比数量和图形序号的关系，总结通用规律，最后代入所求的序号计算即可。首先先数出：第1个图形有3个★，第2个有6个★，第3个有9个★，第4个有12个★，观察可得数量都是对应序号的3倍，因此可推出第n个图形的★数量为3n，代入n=20就能算出结果。
【解析】
首先统计前4个图形的★数量：
第1个图形：★的个数为$3 = 3×1$
第2个图形：★的个数为$6 = 3×2$
第3个图形：★的个数为$9 = 3×3$
第4个图形：★的个数为$12 = 3×4$
由此归纳规律：第n个图形中，★的个数为$3n$。
当$n=20$时，★的个数为$3×20=60$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题的关键是准确统计前几个图形的元素数量，从中找出数量和序号的对应关系，归纳出通用规律后代入计算即可，整体计算量小，规律特征明显。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律题，我们可以先统计前几个图形中★的数量，再对比数量和图形序号的关系，总结通用规律，最后代入所求的序号计算即可。首先先数出：第1个图形有3个★，第2个有6个★，第3个有9个★，第4个有12个★，观察可得数量都是对应序号的3倍，因此可推出第n个图形的★数量为3n，代入n=20就能算出结果。
【解析】
首先统计前4个图形的★数量：
第1个图形：★的个数为$3 = 3×1$
第2个图形：★的个数为$6 = 3×2$
第3个图形：★的个数为$9 = 3×3$
第4个图形：★的个数为$12 = 3×4$
由此归纳规律：第n个图形中，★的个数为$3n$。
当$n=20$时，★的个数为$3×20=60$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题的关键是准确统计前几个图形的元素数量，从中找出数量和序号的对应关系，归纳出通用规律后代入计算即可，整体计算量小，规律特征明显。
【难度系数】
0.8
2. 图1中是1个正方形，将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形……如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是 （
……
A.$3n+1$
B.$3n-2$
C.$4n-3$
D.$4n$
B
） ……A.$3n+1$
B.$3n-2$
C.$4n-3$
D.$4n$
答案
2. B
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题时先统计前几个图形的正方形数量，观察数量随图形序号的变化特点：每次剪开1个正方形，总正方形数就增加3，再结合初始数量推导第n个图形的正方形个数表达式即可。
【解析】
首先统计前4个图形的正方形个数：
第1个图形：正方形共1个；
第2个图形：正方形共4个，比第1个多3个；
第3个图形：正方形共7个，比第2个多3个；
第4个图形：正方形共10个，比第3个多3个；
可发现规律：图形序号每增加1，正方形个数就增加3。
因此第n个图形的正方形个数为：初始的1个加上(n-1)次增加的3个，列式得：
$1+3(n-1)=3n-2$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题是规律探究类的基础常考题，重点考察学生的观察能力和归纳推理能力，解题关键是找到图形变化过程中数量的固定变化量，结合初始值就能快速推导出通用表达式。
【难度系数】
0.7
这是图形规律探究类题目，解题时先统计前几个图形的正方形数量，观察数量随图形序号的变化特点：每次剪开1个正方形，总正方形数就增加3，再结合初始数量推导第n个图形的正方形个数表达式即可。
【解析】
首先统计前4个图形的正方形个数：
第1个图形：正方形共1个；
第2个图形：正方形共4个，比第1个多3个；
第3个图形：正方形共7个，比第2个多3个；
第4个图形：正方形共10个，比第3个多3个；
可发现规律：图形序号每增加1，正方形个数就增加3。
因此第n个图形的正方形个数为：初始的1个加上(n-1)次增加的3个，列式得：
$1+3(n-1)=3n-2$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题是规律探究类的基础常考题，重点考察学生的观察能力和归纳推理能力，解题关键是找到图形变化过程中数量的固定变化量，结合初始值就能快速推导出通用表达式。
【难度系数】
0.7
3. 下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是（
A.$ M=mn $
B.$ M=n(m+1) $
C.$ M=mn+1 $
D.$ M=m(n+1) $
D
）A.$ M=mn $
B.$ M=n(m+1) $
C.$ M=mn+1 $
D.$ M=m(n+1) $
答案
3. D
解析
【分析】
这是一道图形数字规律探究题，解题思路如下：首先明确三角形三个位置的数分别对应m（上方）、n（左下角）、M（右下角），先列出前3个图形的三组对应数值；对于选择题，可采用代入排除法，将每组数值分别代入四个选项，排除不符合的选项，最终验证得到正确的规律即可。
【解析】
先列出已知三个图形的对应数值：
第1个图形：$m=1$，$n=2$，$M=3$
代入选项：
A：$mn=1×2=2≠3$，排除；
B：$n(m+1)=2×(1+1)=4≠3$，排除；
C：$mn+1=1×2+1=3$，暂时符合；
D：$m(n+1)=1×(2+1)=3$，暂时符合。
第2个图形：$m=3$，$n=4$，$M=15$
代入剩余选项验证：
C：$mn+1=3×4+1=13≠15$，排除；
D：$m(n+1)=3×(4+1)=15$，符合。
再用第3个图形验证：$m=5$，$n=6$，$M=35$
代入D选项：$m(n+1)=5×(6+1)=35$，完全符合规律。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，既可以通过观察数值特征推导通用规律，也可以利用选择题的特性用代入排除法快速解题，能很好地锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形数字规律探究题，解题思路如下：首先明确三角形三个位置的数分别对应m（上方）、n（左下角）、M（右下角），先列出前3个图形的三组对应数值；对于选择题，可采用代入排除法，将每组数值分别代入四个选项，排除不符合的选项，最终验证得到正确的规律即可。
【解析】
先列出已知三个图形的对应数值：
第1个图形：$m=1$，$n=2$，$M=3$
代入选项：
A：$mn=1×2=2≠3$，排除；
B：$n(m+1)=2×(1+1)=4≠3$，排除；
C：$mn+1=1×2+1=3$，暂时符合；
D：$m(n+1)=1×(2+1)=3$，暂时符合。
第2个图形：$m=3$，$n=4$，$M=15$
代入剩余选项验证：
C：$mn+1=3×4+1=13≠15$，排除；
D：$m(n+1)=3×(4+1)=15$，符合。
再用第3个图形验证：$m=5$，$n=6$，$M=35$
代入D选项：$m(n+1)=5×(6+1)=35$，完全符合规律。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，既可以通过观察数值特征推导通用规律，也可以利用选择题的特性用代入排除法快速解题，能很好地锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,用围棋子按下面的规律摆图形,则摆第$n$个图形所需棋子的个数是 （
A.$5n$
B.$5n-1$
C.$6n-1$
D.$2n^2+1$
C
）A.$5n$
B.$5n-1$
C.$6n-1$
D.$2n^2+1$
答案
4. C
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先可以先计算前几个图形的棋子数量，再结合选项验证，或者观察相邻图形的棋子数量变化规律推导通项。第一步先数出第1、2、3个图形的棋子数，第二步将n=1、n=2分别代入选项排除错误答案，第三步验证剩余选项是否符合规律即可。
【解析】
首先数出前3个图形的棋子个数：
第1个图形：共5个棋子；
第2个图形：共11个棋子；
第3个图形：共17个棋子。
接下来代入选项逐一排除：
当n=1时，选项B：$5×1-1=4≠5$，选项D：$2×1^2+1=3≠5$，排除B、D；
当n=2时，选项A：$5×2=10≠11$，排除A；
验证选项C：n=1时，$6×1-1=5$；n=2时，$6×2-1=11$；n=3时，$6×3-1=17$，均符合对应棋子数，规律成立。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，既可以通过列举前几个图形的数值结合排除法快速得到答案，也可以通过分析图形的结构变化推导通用公式，能有效考查观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先可以先计算前几个图形的棋子数量，再结合选项验证，或者观察相邻图形的棋子数量变化规律推导通项。第一步先数出第1、2、3个图形的棋子数，第二步将n=1、n=2分别代入选项排除错误答案，第三步验证剩余选项是否符合规律即可。
【解析】
首先数出前3个图形的棋子个数：
第1个图形：共5个棋子；
第2个图形：共11个棋子；
第3个图形：共17个棋子。
接下来代入选项逐一排除：
当n=1时，选项B：$5×1-1=4≠5$，选项D：$2×1^2+1=3≠5$，排除B、D；
当n=2时，选项A：$5×2=10≠11$，排除A；
验证选项C：n=1时，$6×1-1=5$；n=2时，$6×2-1=11$；n=3时，$6×3-1=17$，均符合对应棋子数，规律成立。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，既可以通过列举前几个图形的数值结合排除法快速得到答案，也可以通过分析图形的结构变化推导通用公式，能有效考查观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
5. 观察下列一组数:1,-1,1,-1,1,-1,…则第9个数是
1
，第10个数是-1
，第n个数是$(-1)^{n+1}$
。答案
5. 1 -1 $(-1)^{n+1}$
解析
【分析】
首先观察这组数字和对应位置的关系：第1个数是1，第2个数是-1，第3个数是1，第4个数是-1……可总结出规律：位置序号为奇数时，对应数为1；位置序号为偶数时，对应数为-1。判断第9、10个数只需看它们的序号是奇数还是偶数；推导第n个数的表达式时，利用-1的乘方符号规律：(-1)的偶数次幂是1、奇数次幂是-1，调整指数让其符合“序号为奇得1，序号为偶得-1”的规律即可。
【解析】
1. 总结规律：
观察已知数字：
第1个（序号为奇数）：1
第2个（序号为偶数）：-1
第3个（序号为奇数）：1
第4个（序号为偶数）：-1
可得规律：序号为奇数的数是1，序号为偶数的数是-1。
2. 求第9、10个数：
9是奇数，因此第9个数为1；
10是偶数，因此第10个数为-1。
3. 推导第n个数的表达式：
已知$(-1)$的奇数次幂为$-1$，偶数次幂为$1$。要满足n为奇数时结果为1、n为偶数时结果为$-1$，取指数为$n+1$：
当n为奇数时，$n+1$是偶数，$(-1)^{n+1}=1$；
当n为偶数时，$n+1$是奇数，$(-1)^{n+1}=-1$，符合规律。
因此第n个数为$(-1)^{n+1}$。
【答案】
1；$-1$；$(-1)^{n+1}$
【知识点】
数字规律探究；乘方的符号规律
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，核心是观察数字随位置序号变化的符号规律，掌握-1的幂次的符号特性即可快速解题，是后续复杂数列规律探究的基础。
【难度系数】
0.8
首先观察这组数字和对应位置的关系：第1个数是1，第2个数是-1，第3个数是1，第4个数是-1……可总结出规律：位置序号为奇数时，对应数为1；位置序号为偶数时，对应数为-1。判断第9、10个数只需看它们的序号是奇数还是偶数；推导第n个数的表达式时，利用-1的乘方符号规律：(-1)的偶数次幂是1、奇数次幂是-1，调整指数让其符合“序号为奇得1，序号为偶得-1”的规律即可。
【解析】
1. 总结规律：
观察已知数字：
第1个（序号为奇数）：1
第2个（序号为偶数）：-1
第3个（序号为奇数）：1
第4个（序号为偶数）：-1
可得规律：序号为奇数的数是1，序号为偶数的数是-1。
2. 求第9、10个数：
9是奇数，因此第9个数为1；
10是偶数，因此第10个数为-1。
3. 推导第n个数的表达式：
已知$(-1)$的奇数次幂为$-1$，偶数次幂为$1$。要满足n为奇数时结果为1、n为偶数时结果为$-1$，取指数为$n+1$：
当n为奇数时，$n+1$是偶数，$(-1)^{n+1}=1$；
当n为偶数时，$n+1$是奇数，$(-1)^{n+1}=-1$，符合规律。
因此第n个数为$(-1)^{n+1}$。
【答案】
1；$-1$；$(-1)^{n+1}$
【知识点】
数字规律探究；乘方的符号规律
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，核心是观察数字随位置序号变化的符号规律，掌握-1的幂次的符号特性即可快速解题，是后续复杂数列规律探究的基础。
【难度系数】
0.8
6. 观察下列一组数：-1,1,-1,1,-1,1,…则第9个数是
-1
，第10个数是1
，第n个数是$(-1)^n$
。答案
6. -1 1 $(-1)^n$
解析
【分析】
首先观察数列特征：数列仅由-1和1交替组成，我们将数和它的位置序号对应分析：位置序号为奇数时，对应数是-1；位置序号为偶数时，对应数是1。求解第9、10个数时，先判断序号的奇偶性即可得到结果；推导第n个数的通用表达式时，结合有理数乘方符号规律：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，刚好匹配数列的正负变化规律，即可写出对应表达式。
【解析】
我们先列出已知数与对应位置的关系：
第1个数：-1（序号1为奇数）
第2个数：1（序号2为偶数）
第3个数：-1（序号3为奇数）
第4个数：1（序号4为偶数）
……
规律：序号为奇数时，数为-1；序号为偶数时，数为1。
1. 求第9个数：9是奇数，因此第9个数为-1；
2. 求第10个数：10是偶数，因此第10个数为1；
3. 求第n个数：根据有理数乘方的符号性质，$(-1)$的奇次幂等于$-1$，偶次幂等于$1$，刚好和数列的变化规律一致，因此第n个数为$(-1)^n$。
【答案】
-1；1；$(-1)^n$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方的符号规律
【点评】
本题是基础的周期类数字规律题，解题核心是找到数字正负与位置序号奇偶性的对应关系，熟练掌握负数乘方的符号规律就能快速推导通用表达式。
【难度系数】
0.85
首先观察数列特征：数列仅由-1和1交替组成，我们将数和它的位置序号对应分析：位置序号为奇数时，对应数是-1；位置序号为偶数时，对应数是1。求解第9、10个数时，先判断序号的奇偶性即可得到结果；推导第n个数的通用表达式时，结合有理数乘方符号规律：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，刚好匹配数列的正负变化规律，即可写出对应表达式。
【解析】
我们先列出已知数与对应位置的关系：
第1个数：-1（序号1为奇数）
第2个数：1（序号2为偶数）
第3个数：-1（序号3为奇数）
第4个数：1（序号4为偶数）
……
规律：序号为奇数时，数为-1；序号为偶数时，数为1。
1. 求第9个数：9是奇数，因此第9个数为-1；
2. 求第10个数：10是偶数，因此第10个数为1；
3. 求第n个数：根据有理数乘方的符号性质，$(-1)$的奇次幂等于$-1$，偶次幂等于$1$，刚好和数列的变化规律一致，因此第n个数为$(-1)^n$。
【答案】
-1；1；$(-1)^n$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方的符号规律
【点评】
本题是基础的周期类数字规律题，解题核心是找到数字正负与位置序号奇偶性的对应关系，熟练掌握负数乘方的符号规律就能快速推导通用表达式。
【难度系数】
0.85
