二、填空题
4. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，它们对应中线的比为$\frac{2}{3}$，那么它们的周长比是。

4. $\frac{2}{3}$.

【分析】
解题时先从已知的相似三角形对应中线的比入手，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形所有对应线段（包括中线、高、角平分线）的比都等于相似比，因此可以先由对应中线的比确定两个三角形的相似比；再结合相似三角形的周长比等于相似比这一性质，就能直接推导出周长的比值。
【解析】
解：
∵ $△ ABC ∽ △ DEF$，且它们对应中线的比为$\frac{2}{3}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴ 两个三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 它们的周长比为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质；相似比；周长比与相似比的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查相似三角形的相关性质，只要熟练掌握相似比与对应线段比、周长比的对应关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

5. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为$65°$和$80°$，那么另一个三角形中最小的内角为$\_\_\_\_\_\_°$。

5. 35.

【分析】
解题思路：首先利用三角形内角和为180°的定理，计算出已知三角形的第三个内角度数，确定该三角形三个内角的大小，找到最小内角；再结合相似三角形对应角相等的性质，就能得出另一个三角形的最小内角度数。思考时要注意，不能直接把已知的两个角中较小的65°当作最小角，必须先算出第三个角再比较大小。
【解析】
解：先计算已知三角形的第三个内角：
根据三角形内角和为180°，可得第三个角的度数为：
$180° - 65° - 80° = 35°$
因此这个三角形的三个内角分别为$35°$、$65°$、$80°$，其中最小的内角是$35°$。
由于两个三角形是相似三角形，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，所以另一个三角形的三个内角也分别为$35°$、$65°$、$80°$，即另一个三角形中最小的内角为$35°$。
【答案】
35
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理即可求解，解题时需注意先算出完整的三个内角再找最小值，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9

6. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，位似比为$\frac{2}{3}$。如果点B的坐标为(2,2)，那么点E的坐标为。

6. (3,3).

【分析】
解题思路：首先明确两个正方形的位似中心是原点，且都位于第一象限，因此对应点的坐标比等于位似比；其次确定对应点：小正方形OABC的顶点B(2,2)与大正方形ODEF的顶点E是对应点；最后根据题目给出的位似比（OABC与ODEF的位似比为$\frac{2}{3}$，即小正方形与大正方形的对应量比值为$\frac{2}{3}$），列比例式计算即可得到E点坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，位似中心为原点，且两个正方形都在第一象限，
∴对应点的坐标之比等于位似比，且对应点坐标均为正。
已知位似比为$\frac{2}{3}$（即OABC与ODEF的对应量比值为$\frac{2}{3}$），点B(2,2)与点E是对应点，设点E的坐标为$(x,y)$，
则$\frac{2}{x}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{y}=\frac{2}{3}$，
解得：$x=3$，$y=3$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
位似图形的坐标性质、位似比的定义
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题关键是找准位似中心、对应点，明确位似比的前后对应关系，避免因混淆位似比的顺序出现计算错误。
【难度系数】
0.75

7. 如图，已知G是△ABC的重心，EF经过点G，EF//BC，那么△AEF与△ABC的周长比为。

7. $\frac{2}{3}$.

【分析】
首先，由EF//BC可判定△AEF与△ABC相似，而相似三角形的周长比等于相似比，因此解题核心是求出两个三角形的相似比。其次，根据三角形重心的性质：重心分每条中线为2:1的两段（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1），结合EF//BC的条件，可推导出△AEF与△ABC的相似比，最终得到周长比。
【解析】
1. 因为EF//BC，所以∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ AEF ∽ △ ABC$。
2. 连接AG并延长交BC于点D，因为G是$△ ABC$的重心，所以AD是$△ ABC$的中线，且重心分中线的比例为$AG:GD=2:1$，因此$AG:AD=2:(2+1)=2:3$。
3. 由EF//BC可得$△ AEG ∽ △ ABD$，因此$AE:AB=AG:AD=2:3$，即$△ AEF$与$△ ABC$的相似比为$\frac{2}{3}$。
4. 根据相似三角形的周长比等于相似比，可知$△ AEF$与$△ ABC$的周长比为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将三角形重心性质和相似三角形性质结合考查，解题的关键是通过重心分中线的比例求出相似三角形的对应边比例，再结合相似三角形周长比等于相似比求解。
【难度系数】
0.7

8. 如图，乐乐在A时测得某树的影长PM为8 m，在B时又测得该树的影长PN为2 m. 如果两次日照的光线互相垂直，那么树的高度为 m.

8. 4.

【分析】
先设定树顶为点Q，可知树QP与地面MN垂直，结合两次日照光线互相垂直的条件，可推导出树两侧的直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质即可列式求出树的高度。
【解析】
设树的顶点为Q，树高$QP=h\ \mathrm{m}$，由题意得：$QP⊥ MN$，$∠ MQN=90°$。
$\because QP⊥ MN$，$\therefore ∠ QPN=∠ MPQ=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ QNP$中，$∠ QNP+∠ NQP=90°$，
又$\because ∠ NQP+∠ MQP=∠ MQN=90°$，
$\therefore ∠ QNP=∠ MQP$，
$\therefore △ QNP ∽ △ MQP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质得：$\frac{QP}{MP}=\frac{NP}{QP}$，即$QP^2=NP· MP$。
将$NP=2\ \mathrm{m}$，$MP=8\ \mathrm{m}$代入得：$h^2=2×8=16$，
$\because h＞0$，$\therefore h=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是通过角的互余关系证明三角形相似，再利用相似的性质建立等式求解，难度不大，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7

9. 如图，已知在梯形ABCD中，E、F分别是腰AB、CD上的点，AD//EF。如果AD:EF:BC=2:3:5，那么$\frac{AE}{AB}$的值是。

9. $\frac{1}{3}$. 提示：如图，延长 BA、CD，交于点 G，可证$△ GAD ∽ △ GEF$，$△ GAD ∽ △ GBC$，则$\frac{AG}{GE}=\frac{AD}{EF}=\frac{2}{3}$，$\frac{AG}{GB}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{5}$，可得$AG:AE:EB=2:1:2$. 所以，$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。

【分析】
遇到梯形中存在平行于上下底的线段求比例的问题，可通过延长梯形两腰交于一点，构造共顶点的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段比例关系，设参数表示各段线段长度，最终求出目标比例。
【解析】
解：延长BA、CD，交于点G。
∵AD//EF//BC，
∴△GAD∽△GEF，△GAD∽△GBC，
∴$\frac{AG}{GE}=\frac{AD}{EF}=\frac{2}{3}$，$\frac{AG}{GB}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{5}$。
设$AG=2k$（$k≠0$），则$GE=3k$，$GB=5k$。
∴$AE=GE-AG=3k-2k=k$，$AB=GB-AG=5k-2k=3k$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例线段计算
【点评】
本题是梯形与相似三角形结合的典型题型，解题核心是通过延长梯形两腰构造共顶点的相似三角形，将已知的平行线长度比转化为对应线段的相似比，再通过设参数的方式简化比例计算，掌握这类辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7