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1. 如图，已知$△ AOB$和$△ COD$，线段AC与BD相交于点O. 给出下列条件：
①$∠ A=∠ D$；②$∠ B=∠ C$；③$\frac{AB}{OB}=\frac{DC}{OC}$；④$OA· OC=OB· OD$. 这些条件中，能判定这两个三角形相似的条件个数为 （
A.4；
B.3；
C.2；
D.1.
（第1题）（第2题）
①$∠ A=∠ D$；②$∠ B=∠ C$；③$\frac{AB}{OB}=\frac{DC}{OC}$；④$OA· OC=OB· OD$. 这些条件中，能判定这两个三角形相似的条件个数为 （
B
）A.4；
B.3；
C.2；
D.1.
（第1题）（第2题）答案
1. B.
解析
【分析】
首先明确△AOB和△COD中隐含的相等角：∠AOB与∠COD是对顶角，因此∠AOB=∠COD。接下来结合相似三角形的判定定理，逐个分析给出的4个条件：若满足两角分别相等，或两边成比例且夹角相等，即可判定两三角形相似，注意要确认成比例的边的夹角是否为已知相等的角。
【解析】
首先，由对顶角的性质可得：$∠ AOB = ∠ COD$，这是两三角形的公共相等角。
对4个条件逐一分析：
1. 条件①$∠ A=∠ D$：结合$∠ AOB=∠ COD$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$；
2. 条件②$∠ B=∠ C$：结合$∠ AOB=∠ COD$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$；
3. 条件③$\frac{AB}{OB}=\frac{DC}{OC}$：该比例对应两边的夹角分别为$∠ B$和$∠ C$，无依据证明这两个角相等，不满足相似判定条件，不能判定两三角形相似；
4. 条件④$OA· OC=OB· OD$：将等式变形为$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，成比例的两边的夹角是$∠ AOB$和$∠ COD$，这两个角相等，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$。
综上，能判定两三角形相似的条件有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定定理的应用，解题时要先挖掘题目中隐含的对顶角相等的条件，使用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，要注意确认夹角是对应成比例的两边的夹角，避免误判。
【难度系数】
0.65
首先明确△AOB和△COD中隐含的相等角：∠AOB与∠COD是对顶角，因此∠AOB=∠COD。接下来结合相似三角形的判定定理，逐个分析给出的4个条件：若满足两角分别相等，或两边成比例且夹角相等，即可判定两三角形相似，注意要确认成比例的边的夹角是否为已知相等的角。
【解析】
首先，由对顶角的性质可得：$∠ AOB = ∠ COD$，这是两三角形的公共相等角。
对4个条件逐一分析：
1. 条件①$∠ A=∠ D$：结合$∠ AOB=∠ COD$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$；
2. 条件②$∠ B=∠ C$：结合$∠ AOB=∠ COD$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$；
3. 条件③$\frac{AB}{OB}=\frac{DC}{OC}$：该比例对应两边的夹角分别为$∠ B$和$∠ C$，无依据证明这两个角相等，不满足相似判定条件，不能判定两三角形相似；
4. 条件④$OA· OC=OB· OD$：将等式变形为$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，成比例的两边的夹角是$∠ AOB$和$∠ COD$，这两个角相等，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$。
综上，能判定两三角形相似的条件有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定定理的应用，解题时要先挖掘题目中隐含的对顶角相等的条件，使用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，要注意确认夹角是对应成比例的两边的夹角，避免误判。
【难度系数】
0.65
2. 某学习小组遇到了一个问题：“如图，已知：D、E、F分别是$△ ABC$的边BC、CA、AB的中点.求证：$△ DEF ∽ △ ABC$.”经过小组讨论得到下列方法，其中错误的是（
A.可证$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$；
B.可证$∠ B=∠ FED$，$∠ C=∠ EFD$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$；
C.可证$∠ B=∠ FED$，$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{ED}$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$；
D.可证$△ FBD ∽ △ DEF$，$△ FBD ∽ △ ABC$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$.
C
）A.可证$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$；
B.可证$∠ B=∠ FED$，$∠ C=∠ EFD$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$；
C.可证$∠ B=∠ FED$，$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{ED}$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$；
D.可证$△ FBD ∽ △ DEF$，$△ FBD ∽ △ ABC$，进而证得$△ DEF ∽ △ ABC$.
答案
2. C.
解析
【分析】
首先根据D、E、F是三角形各边中点，可联想到三角形中位线定理，得到DE、EF、DF与△ABC三边的数量关系和位置关系，再结合相似三角形的判定定理，逐一判断四个选项的证明方法是否正确即可。
【解析】
∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴EF、DE、DF均为△ABC的中位线，
∴EF//BC且$EF=\frac{1}{2}BC$，DE//AB且$DE=\frac{1}{2}AB$，DF//AC且$DF=\frac{1}{2}AC$，四边形BDEF、CDEF、AFDE均为平行四边形。
选项A：$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，三边对应成比例，可证△DEF∽△ABC，该方法正确，不符合题意。
选项B：由平行四边形性质得∠B=∠FED，∠C=∠EFD，两角分别对应相等，可证△DEF∽△ABC，该方法正确，不符合题意。
选项C：∠B=∠FED成立，但△ABC中∠B的夹边是AB、BC，△DEF中∠FED的夹边是EF、ED，若要通过两边成比例且夹角相等判定相似，需满足$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，而选项中给出的$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{ED}$不是对应边成比例，无法判定相似，该方法错误，符合题意。
选项D：由边的等量关系可证△FBD≌△DEF（全等是相似比为1的相似），又DF//AC，可证△FBD∽△ABC，根据相似的传递性可得△DEF∽△ABC，该方法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线性质，相似三角形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时要注意结合中位线的性质推导边和角的关系，尤其要注意判定两边成比例夹角相等时，边必须是对应角的夹边，对应关系不能出错。
【难度系数】
0.7
首先根据D、E、F是三角形各边中点，可联想到三角形中位线定理，得到DE、EF、DF与△ABC三边的数量关系和位置关系，再结合相似三角形的判定定理，逐一判断四个选项的证明方法是否正确即可。
【解析】
∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴EF、DE、DF均为△ABC的中位线，
∴EF//BC且$EF=\frac{1}{2}BC$，DE//AB且$DE=\frac{1}{2}AB$，DF//AC且$DF=\frac{1}{2}AC$，四边形BDEF、CDEF、AFDE均为平行四边形。
选项A：$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，三边对应成比例，可证△DEF∽△ABC，该方法正确，不符合题意。
选项B：由平行四边形性质得∠B=∠FED，∠C=∠EFD，两角分别对应相等，可证△DEF∽△ABC，该方法正确，不符合题意。
选项C：∠B=∠FED成立，但△ABC中∠B的夹边是AB、BC，△DEF中∠FED的夹边是EF、ED，若要通过两边成比例且夹角相等判定相似，需满足$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，而选项中给出的$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{ED}$不是对应边成比例，无法判定相似，该方法错误，符合题意。
选项D：由边的等量关系可证△FBD≌△DEF（全等是相似比为1的相似），又DF//AC，可证△FBD∽△ABC，根据相似的传递性可得△DEF∽△ABC，该方法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线性质，相似三角形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时要注意结合中位线的性质推导边和角的关系，尤其要注意判定两边成比例夹角相等时，边必须是对应角的夹边，对应关系不能出错。
【难度系数】
0.7
3. 用一条直线将$△ ABC$的面积平分，那么下列说法中错误的是 （
A.如图(1)，如果$P$是$BC$的中点，那么$AP$将$△ ABC$的面积平分；
B.如图(1)，如果$P$是$BC$的中点，$MP// AN$，那么$MN$将$△ ABC$的面积平分；
C.如图(2)，$MN// BC$，如果$\frac{AB}{AM}=\sqrt{2}$，那么$MN$将$△ ABC$的面积平分；
D.如图(2)，$MN// BC$，如果$MN$上的点$P$是$△ ABC$的重心，那么$MN$将$△ ABC$的面积平分。
D
）A.如图(1)，如果$P$是$BC$的中点，那么$AP$将$△ ABC$的面积平分；
B.如图(1)，如果$P$是$BC$的中点，$MP// AN$，那么$MN$将$△ ABC$的面积平分；
C.如图(2)，$MN// BC$，如果$\frac{AB}{AM}=\sqrt{2}$，那么$MN$将$△ ABC$的面积平分；
D.如图(2)，$MN// BC$，如果$MN$上的点$P$是$△ ABC$的重心，那么$MN$将$△ ABC$的面积平分。
答案
3. D.
解析
【分析】
这道题要求判断无法将$△ ABC$面积平分的说法，解题时需逐一分析四个选项：结合等底等高的三角形面积相等判断选项A；利用平行线间距离相等、面积转化的方法判断选项B；根据相似三角形面积比等于相似比的平方判断选项C；结合三角形重心的性质和相似三角形的面积规律判断选项D，最终找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 对选项A：若$P$是$BC$中点，则$BP=PC$，$△ ABP$和$△ ACP$同高（均为点$A$到$BC$的距离），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$AP$平分$△ ABC$面积，A说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：已知$P$是$BC$中点，故$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。因为$MP// AN$，所以$△ AMP$和$△ NMP$同底$MP$，且两条平行线间的距离相等，即两三角形的高相等，因此$S_{△ AMP}=S_{△ NMP}$。等式两边同时加$S_{△ BMP}$，可得$S_{△ ABP}=S_{△ BMN}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$MN$平分$△ ABC$面积，B说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：$MN// BC$，则$△ AMN∽△ ABC$，相似比为$\frac{AM}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ AMN}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}$，即$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$MN$平分$△ ABC$面积，C说法正确，不符合题意。
4. 对选项D：三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，因此若$P$是重心且$MN// BC$，则$A$到$MN$的距离与$A$到$BC$的距离之比为$2:3$，即$△ AMN$与$△ ABC$的相似比为$\frac{2}{3}$，面积比为$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}≠\frac{1}{2}$，因此$MN$无法平分$△ ABC$面积，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，相似三角形性质，重心的性质
【点评】
本题综合考查了三角形面积平分的不同情形，需要灵活运用等积变换、相似三角形的面积规律以及重心的性质进行推导，解题时注意结合图形特征转化面积关系。
【难度系数】
0.6
这道题要求判断无法将$△ ABC$面积平分的说法，解题时需逐一分析四个选项：结合等底等高的三角形面积相等判断选项A；利用平行线间距离相等、面积转化的方法判断选项B；根据相似三角形面积比等于相似比的平方判断选项C；结合三角形重心的性质和相似三角形的面积规律判断选项D，最终找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 对选项A：若$P$是$BC$中点，则$BP=PC$，$△ ABP$和$△ ACP$同高（均为点$A$到$BC$的距离），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$AP$平分$△ ABC$面积，A说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：已知$P$是$BC$中点，故$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。因为$MP// AN$，所以$△ AMP$和$△ NMP$同底$MP$，且两条平行线间的距离相等，即两三角形的高相等，因此$S_{△ AMP}=S_{△ NMP}$。等式两边同时加$S_{△ BMP}$，可得$S_{△ ABP}=S_{△ BMN}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$MN$平分$△ ABC$面积，B说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：$MN// BC$，则$△ AMN∽△ ABC$，相似比为$\frac{AM}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ AMN}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}$，即$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$MN$平分$△ ABC$面积，C说法正确，不符合题意。
4. 对选项D：三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，因此若$P$是重心且$MN// BC$，则$A$到$MN$的距离与$A$到$BC$的距离之比为$2:3$，即$△ AMN$与$△ ABC$的相似比为$\frac{2}{3}$，面积比为$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}≠\frac{1}{2}$，因此$MN$无法平分$△ ABC$面积，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，相似三角形性质，重心的性质
【点评】
本题综合考查了三角形面积平分的不同情形，需要灵活运用等积变换、相似三角形的面积规律以及重心的性质进行推导，解题时注意结合图形特征转化面积关系。
【难度系数】
0.6
