22.「2025四川雅安中考，★★★」(11分)如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与x轴交于点$A(-3,0)$和点B,与y轴交于点$C(0,-3)$.
(1)求二次函数的表达式.
(2)若点Q是抛物线在第三象限上的一点,满足$∠ QAB=∠ OBC$,请求出点Q的坐标.
(3)点E在抛物线的对称轴上,在抛物线上是否存在点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

(1)把$A(-3,0)$和$C(0,-3)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$中,得$\begin{cases}9-3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)如图1,过点Q作$QG⊥ x$轴于点G,
设$Q(t,t^2+2t-3)$,
$\because$ 点Q是抛物线在第三象限上的一点,
$\therefore -3＜t＜0$,
当$y=0$时,$x^2+2x-3=0$,解得$x=-3$或1,
$\because$ 点B在x轴正半轴上,$\therefore B(1,0)$,$\therefore OB=1$,
$\because C(0,-3)$,$\therefore OC=3$,
$\because ∠ QAB=∠ OBC$,$∠ QGA=∠ COB$,
$\therefore △ QGA∽△ COB$,$\therefore \frac{GQ}{OC}=\frac{AG}{OB}$,
$\therefore \frac{GQ}{AG}=\frac{OC}{OB}=3$,$\therefore GQ=3AG$,
$\therefore -t^2-2t+3=3(t+3)$,解得$t=-2$或-3(舍),
$\therefore Q(-2,-3)$.
(3)存在,点F的坐标为$(2,5)$或$(-4,5)$或$(-2,-3)$.
详解:$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线$x=-1$.
如图2,四边形ACFE是平行四边形,
$\because A(-3,0)$,$C(0,-3)$,点E的横坐标为-1,
$\therefore$ 点F的横坐标为2,
$\therefore F(2,5)$.
如图3,四边形ACEF是平行四边形,
同理可得点F的横坐标为-4,
$\therefore F(-4,5)$.
如图4,四边形AFCE是平行四边形,此时$CF// x$轴,点E在x轴上,
$\therefore F(-2,-3)$.
综上,点F的坐标为$(2,5)$或$(-4,5)$或$(-2,-3)$.