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1. 顶点坐标为$(-2,3)$、开口方向和大小与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同的抛物线的表达式为(
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2+3$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+3$
C
)。A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2+3$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+3$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先明确两个核心要点：①抛物线的开口方向和开口大小仅由二次项系数a决定，若两条抛物线开口方向、大小相同，则二者的a值相等；②已知抛物线顶点坐标时，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）求解表达式。首先根据已知抛物线的a值确定所求抛物线的a，再将顶点坐标代入顶点式化简，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：确定二次项系数a
∵ 所求抛物线的开口方向、大小与$y=\frac{1}{2}x^2$相同
∴ 二次项系数$a=\frac{1}{2}$，可排除系数为$-\frac{1}{2}$的D选项
第二步：代入顶点式求解表达式
抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中顶点坐标为$(h,k)$
已知顶点坐标为$(-2,3)$，即$h=-2$，$k=3$，将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=3$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2+3=\frac{1}{2}(x+2)^2+3$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次项系数的意义；二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的应用，解题的关键是熟记二次项系数对抛物线开口方向、大小的决定作用，以及顶点式中各参数的几何意义，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心要点：①抛物线的开口方向和开口大小仅由二次项系数a决定，若两条抛物线开口方向、大小相同，则二者的a值相等；②已知抛物线顶点坐标时，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）求解表达式。首先根据已知抛物线的a值确定所求抛物线的a，再将顶点坐标代入顶点式化简，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：确定二次项系数a
∵ 所求抛物线的开口方向、大小与$y=\frac{1}{2}x^2$相同
∴ 二次项系数$a=\frac{1}{2}$，可排除系数为$-\frac{1}{2}$的D选项
第二步：代入顶点式求解表达式
抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中顶点坐标为$(h,k)$
已知顶点坐标为$(-2,3)$，即$h=-2$，$k=3$，将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=3$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2+3=\frac{1}{2}(x+2)^2+3$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次项系数的意义；二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的应用，解题的关键是熟记二次项系数对抛物线开口方向、大小的决定作用，以及顶点式中各参数的几何意义，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 关于抛物线$y=x^2 -2x$，下列说法错误的是（
A.该抛物线经过原点
B.该抛物线的对称轴是直线$x=1$
C.该二次函数的最小值是0
D.当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
C
）。A.该抛物线经过原点
B.该抛物线的对称轴是直线$x=1$
C.该二次函数的最小值是0
D.当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
答案
2.C
解析
【分析】
要判断关于抛物线的说法正误，可先将二次函数一般式转化为顶点式，也可结合二次函数相关公式和性质逐个验证选项：①判断是否过某点可直接代入点坐标验证；②对称轴可通过公式$x=-\frac{b}{2a}$或顶点式直接得到；③开口向上的抛物线顶点处取最小值，计算顶点纵坐标即可判断最值；④结合开口方向和对称轴可判断函数的增减性。
【解析】
先将抛物线解析式整理为顶点式：
$y=x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上。
验证A选项：当$x=0$时，$y=0^2-2×0=0$，即抛物线经过原点$(0,0)$，A说法正确，不符合题意。
验证B选项：由顶点式可得抛物线对称轴为直线$x=1$，也可通过公式计算$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，B说法正确，不符合题意。
验证C选项：抛物线开口向上，顶点处取最小值，顶点坐标为$(1,-1)$，因此二次函数的最小值为$-1$，不是$0$，C说法错误，符合题意。
验证D选项：抛物线开口向上，在对称轴左侧（即$x＜1$时），$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的范围，因此当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，属于常规基础题，解题的关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化，结合图象的开口方向、对称轴分析函数的最值、增减性等性质。
【难度系数】
0.8
要判断关于抛物线的说法正误，可先将二次函数一般式转化为顶点式，也可结合二次函数相关公式和性质逐个验证选项：①判断是否过某点可直接代入点坐标验证；②对称轴可通过公式$x=-\frac{b}{2a}$或顶点式直接得到；③开口向上的抛物线顶点处取最小值，计算顶点纵坐标即可判断最值；④结合开口方向和对称轴可判断函数的增减性。
【解析】
先将抛物线解析式整理为顶点式：
$y=x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上。
验证A选项：当$x=0$时，$y=0^2-2×0=0$，即抛物线经过原点$(0,0)$，A说法正确，不符合题意。
验证B选项：由顶点式可得抛物线对称轴为直线$x=1$，也可通过公式计算$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，B说法正确，不符合题意。
验证C选项：抛物线开口向上，顶点处取最小值，顶点坐标为$(1,-1)$，因此二次函数的最小值为$-1$，不是$0$，C说法错误，符合题意。
验证D选项：抛物线开口向上，在对称轴左侧（即$x＜1$时），$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的范围，因此当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，属于常规基础题，解题的关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化，结合图象的开口方向、对称轴分析函数的最值、增减性等性质。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中,把抛物线$y=x^2 +4x+3$先向上平移3个单位长度,再向左平移5个单位长度,则所得抛物线的表达式是
$y=(x+7)^2+2$
。答案
3.$y=(x+7)^2+2$
解析
【分析】
解决二次函数平移问题的核心是：抛物线平移仅改变位置，不改变形状、开口方向，即二次项系数a不变。我们可以先通过配方法将原抛物线的一般式转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据“向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减”的规律，计算平移后新抛物线的顶点坐标，最后根据顶点式直接写出平移后的抛物线表达式即可，这种方法可以有效避免平移方向搞混的问题。
【解析】
第一步：将原抛物线配方为顶点式，确定原顶点坐标
$\begin{aligned}y&=x^2 +4x+3\\&=x^2+4x+4 -4 +3\\&=(x+2)^2 -1\end{aligned}$
可得原抛物线的顶点坐标为$(-2,-1)$。
第二步：计算平移后的顶点坐标
将顶点$(-2,-1)$向上平移3个单位长度，纵坐标变为：$-1+3=2$；
再向左平移5个单位长度，横坐标变为：$-2-5=-7$；
因此平移后新抛物线的顶点坐标为$(-7,2)$。
第三步：写出平移后的抛物线表达式
平移后二次项系数仍为1，代入顶点式可得新抛物线表达式为$y=(x+7)^2+2$。
【答案】
$y=(x+7)^2+2$
【知识点】
二次函数图象的平移、配方法化二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，除了平移顶点的方法外，也可以直接用“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则直接对原式变形求解，解题的关键是准确记忆平移规则，避免左右平移的加减方向混淆。
【难度系数】
0.8
解决二次函数平移问题的核心是：抛物线平移仅改变位置，不改变形状、开口方向，即二次项系数a不变。我们可以先通过配方法将原抛物线的一般式转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据“向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减”的规律，计算平移后新抛物线的顶点坐标，最后根据顶点式直接写出平移后的抛物线表达式即可，这种方法可以有效避免平移方向搞混的问题。
【解析】
第一步：将原抛物线配方为顶点式，确定原顶点坐标
$\begin{aligned}y&=x^2 +4x+3\\&=x^2+4x+4 -4 +3\\&=(x+2)^2 -1\end{aligned}$
可得原抛物线的顶点坐标为$(-2,-1)$。
第二步：计算平移后的顶点坐标
将顶点$(-2,-1)$向上平移3个单位长度，纵坐标变为：$-1+3=2$；
再向左平移5个单位长度，横坐标变为：$-2-5=-7$；
因此平移后新抛物线的顶点坐标为$(-7,2)$。
第三步：写出平移后的抛物线表达式
平移后二次项系数仍为1，代入顶点式可得新抛物线表达式为$y=(x+7)^2+2$。
【答案】
$y=(x+7)^2+2$
【知识点】
二次函数图象的平移、配方法化二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，除了平移顶点的方法外，也可以直接用“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则直接对原式变形求解，解题的关键是准确记忆平移规则，避免左右平移的加减方向混淆。
【难度系数】
0.8
4. 已知点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-2,y_3)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +m$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_3＞y_1＞y_2$
。（用“＞”连接）答案
4.$y_3＞y_1＞y_2$
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将各点横坐标代入抛物线解析式，求出对应的y值后比较大小；二是利用二次函数的性质判断：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越近，对应的y值越大，算出各点横坐标到对称轴的距离后即可比较y值大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +m$，
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，
对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-1$。
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大。
各点到对称轴$x=-1$的距离：
点$C(-2,y_3)$：$|-2 - (-1)|=1$；
点$A(1,y_1)$：$|1 - (-1)|=2$；
点$B(2,y_2)$：$|2 - (-1)|=3$。
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_3＞y_1＞y_2$。
方法二：代入计算求解
将各点横坐标代入抛物线解析式：
$y_1=-\dfrac{1}{2}×1^2 -1 +m=m-\dfrac{3}{2}$；
$y_2=-\dfrac{1}{2}×2^2 -2 +m=m-4$；
$y_3=-\dfrac{1}{2}×(-2)^2 -(-2) +m=m$。
$\because m＞m-\dfrac{3}{2}＞m-4$，$\therefore y_3＞y_1＞y_2$。
【答案】
$y_3＞y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算；函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数相关性质的应用，两种解题方法都比较常规，其中利用对称轴和开口方向判断函数值大小的方法计算量更小，解题效率更高，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将各点横坐标代入抛物线解析式，求出对应的y值后比较大小；二是利用二次函数的性质判断：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越近，对应的y值越大，算出各点横坐标到对称轴的距离后即可比较y值大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +m$，
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，
对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-1$。
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大。
各点到对称轴$x=-1$的距离：
点$C(-2,y_3)$：$|-2 - (-1)|=1$；
点$A(1,y_1)$：$|1 - (-1)|=2$；
点$B(2,y_2)$：$|2 - (-1)|=3$。
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_3＞y_1＞y_2$。
方法二：代入计算求解
将各点横坐标代入抛物线解析式：
$y_1=-\dfrac{1}{2}×1^2 -1 +m=m-\dfrac{3}{2}$；
$y_2=-\dfrac{1}{2}×2^2 -2 +m=m-4$；
$y_3=-\dfrac{1}{2}×(-2)^2 -(-2) +m=m$。
$\because m＞m-\dfrac{3}{2}＞m-4$，$\therefore y_3＞y_1＞y_2$。
【答案】
$y_3＞y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算；函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数相关性质的应用，两种解题方法都比较常规，其中利用对称轴和开口方向判断函数值大小的方法计算量更小，解题效率更高，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
5. 将抛物线 $ y=2x^2 -4x +3 $ 沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标为
$(3,-1)$
。答案
5.$(3,-1)$
解析
【分析】
解决抛物线翻折、平移类问题的核心是抓住顶点的变化，抛物线变换过程中仅位置和开口方向改变，形状不变，因此只需对顶点坐标按要求变换即可。解题步骤思路为：首先将原抛物线的一般式配方转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标；再根据沿x轴翻折的坐标变化规律得到翻折后的顶点坐标；最后按照向右平移的坐标变化规律计算得到最终的新抛物线顶点坐标。
【解析】
第一步：将原抛物线化为顶点式，求原顶点坐标
对$y=2x^2-4x+3$配方：
$\begin{aligned}y&=2(x^2-2x)+3\\&=2(x^2-2x+1-1)+3\\&=2(x-1)^2 -2 +3\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(1,1)$。
第二步：计算沿x轴翻折后的顶点坐标
点沿x轴翻折时，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，因此翻折后的顶点坐标为$(1,-1)$。
第三步：计算向右平移2个单位后的顶点坐标
点沿x轴向右平移$m$个单位时，横坐标加$m$，纵坐标不变，因此平移后顶点坐标为$(1+2,-1)$，即$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
1.二次函数一般式化顶点式
2.二次函数翻折变换
3.二次函数平移变换
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题关键是明确抛物线变换本质是顶点的变换，熟练掌握配方法和翻折、平移的坐标变化规律即可快速求解，是常考的基础考点。
【难度系数】
0.7
解决抛物线翻折、平移类问题的核心是抓住顶点的变化，抛物线变换过程中仅位置和开口方向改变，形状不变，因此只需对顶点坐标按要求变换即可。解题步骤思路为：首先将原抛物线的一般式配方转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标；再根据沿x轴翻折的坐标变化规律得到翻折后的顶点坐标；最后按照向右平移的坐标变化规律计算得到最终的新抛物线顶点坐标。
【解析】
第一步：将原抛物线化为顶点式，求原顶点坐标
对$y=2x^2-4x+3$配方：
$\begin{aligned}y&=2(x^2-2x)+3\\&=2(x^2-2x+1-1)+3\\&=2(x-1)^2 -2 +3\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(1,1)$。
第二步：计算沿x轴翻折后的顶点坐标
点沿x轴翻折时，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，因此翻折后的顶点坐标为$(1,-1)$。
第三步：计算向右平移2个单位后的顶点坐标
点沿x轴向右平移$m$个单位时，横坐标加$m$，纵坐标不变，因此平移后顶点坐标为$(1+2,-1)$，即$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
1.二次函数一般式化顶点式
2.二次函数翻折变换
3.二次函数平移变换
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题关键是明确抛物线变换本质是顶点的变换，熟练掌握配方法和翻折、平移的坐标变化规律即可快速求解，是常考的基础考点。
【难度系数】
0.7
6. 飞机着陆后滑行的距离$s$(单位:$\mathrm{m}$)关于滑行时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数关系式是$s = 60t - 1.5t^2$。
(1)求出$t$的取值范围；
(2)在图5-2-16中画出该函数的大致图象并求出飞机着陆后滑行多远才能停下来。
(1)求出$t$的取值范围；
(2)在图5-2-16中画出该函数的大致图象并求出飞机着陆后滑行多远才能停下来。
答案
6. 解:(1)当$s$取得最大值时,飞机停下来,
$s=60t-1.5t^2=-1.5(t-20)^2+600$,
此时$t=20$,$\therefore t$的取值范围是$0≤ t≤ 20$。
(2)大致图象如
所示。$s=60t-1.5t^2=-1.5(t-20)^2+600$,
故飞机着陆后滑行600 m才能停下来。
解析
【分析】
(1) 首先滑行时间t本身满足非负的要求，其次飞机滑行到速度为0时就会停止，此时滑行距离s达到最大值，因此只需要求出二次函数s取最大值时对应的t值，就能得到t的上限，进而确定t的完整取值范围。
(2) 画函数图像前先确定二次函数的顶点坐标、与坐标轴的交点，再结合t的取值范围，画出0≤t≤20区间内的抛物线部分即可；飞机滑行的总距离就是s的最大值，对应二次函数顶点的纵坐标。
【解析】
(1) 对函数$s=60t-1.5t^2$配方：
$\begin{aligned}s&=-1.5t^2+60t\\&=-1.5(t^2-40t)\\&=-1.5(t^2-40t+400-400)\\&=-1.5(t-20)^2+600\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$a=-1.5＜0$，函数开口向下，$\therefore$ 当$t=20$时，s取得最大值，此时飞机停止滑行。
结合滑行时间非负的要求，可得t的取值范围是$0≤ t≤20$。
(2) 该函数是开口向下的抛物线的一部分：起点为坐标原点$(0,0)$，顶点为$(20,600)$，在$0≤ t≤20$范围内s随t的增大而增大，图像为从原点到顶点的一段曲线，大致图像如所示。
由配方结果可知s的最大值为600m，即飞机着陆后滑行600m才能停下来。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0≤ t≤20}$
(2) 大致图象如所示，飞机着陆后滑行$\boldsymbol{600\ \mathrm{m}}$才能停下来。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；二次函数的图像
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的相关知识，解题核心是理解“飞机停止滑行”对应二次函数取得最大值，求解自变量取值范围时要注意结合实际意义，避免出现取值不符合现实情况的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 首先滑行时间t本身满足非负的要求，其次飞机滑行到速度为0时就会停止，此时滑行距离s达到最大值，因此只需要求出二次函数s取最大值时对应的t值，就能得到t的上限，进而确定t的完整取值范围。
(2) 画函数图像前先确定二次函数的顶点坐标、与坐标轴的交点，再结合t的取值范围，画出0≤t≤20区间内的抛物线部分即可；飞机滑行的总距离就是s的最大值，对应二次函数顶点的纵坐标。
【解析】
(1) 对函数$s=60t-1.5t^2$配方：
$\begin{aligned}s&=-1.5t^2+60t\\&=-1.5(t^2-40t)\\&=-1.5(t^2-40t+400-400)\\&=-1.5(t-20)^2+600\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$a=-1.5＜0$，函数开口向下，$\therefore$ 当$t=20$时，s取得最大值，此时飞机停止滑行。
结合滑行时间非负的要求，可得t的取值范围是$0≤ t≤20$。
(2) 该函数是开口向下的抛物线的一部分：起点为坐标原点$(0,0)$，顶点为$(20,600)$，在$0≤ t≤20$范围内s随t的增大而增大，图像为从原点到顶点的一段曲线，大致图像如
所示。由配方结果可知s的最大值为600m，即飞机着陆后滑行600m才能停下来。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0≤ t≤20}$
(2) 大致图象如
所示，飞机着陆后滑行$\boldsymbol{600\ \mathrm{m}}$才能停下来。【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；二次函数的图像
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的相关知识，解题核心是理解“飞机停止滑行”对应二次函数取得最大值，求解自变量取值范围时要注意结合实际意义，避免出现取值不符合现实情况的错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图5-2-17，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10 m）的空地上用栅栏围成一块矩形绿化带ABCD。绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36 m。设AB的长为x m，矩形绿化带的面积为S m²。
（1）求S与x之间的关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求矩形绿化带ABCD面积的最大值。
图5-2-17
（1）求S与x之间的关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求矩形绿化带ABCD面积的最大值。
图5-2-17
答案
7. 解:(1)$\because$栅栏总长为36 m,AB的长为$x$ m,
$\therefore BC=(36-3x)\mathrm{m}$,
$\therefore S=x(36-3x)=-3x^2+36x$。
由题意可得$0＜36-3x≤10$,解得$\frac{26}{3}≤ x＜12$。
$\therefore S=-3x^2+36x(\frac{26}{3}≤ x＜12)$。
(2)$S=-3x^2+36x=-3(x-6)^2+108$,
$\because -3＜0$,对称轴为直线$x=6$,
$\therefore$当$x＞6$时,$S$的值随着$x$值的增大而减小。
又$\because \frac{26}{3}≤ x＜12$,
$\therefore$当$x=\frac{26}{3}$时,$S$有最大值,最大值为$\frac{260}{3}$。
$\therefore$矩形绿化带ABCD面积的最大值为$\frac{260}{3}\mathrm{m}^2$。
$\therefore BC=(36-3x)\mathrm{m}$,
$\therefore S=x(36-3x)=-3x^2+36x$。
由题意可得$0＜36-3x≤10$,解得$\frac{26}{3}≤ x＜12$。
$\therefore S=-3x^2+36x(\frac{26}{3}≤ x＜12)$。
(2)$S=-3x^2+36x=-3(x-6)^2+108$,
$\because -3＜0$,对称轴为直线$x=6$,
$\therefore$当$x＞6$时,$S$的值随着$x$值的增大而减小。
又$\because \frac{26}{3}≤ x＜12$,
$\therefore$当$x=\frac{26}{3}$时,$S$有最大值,最大值为$\frac{260}{3}$。
$\therefore$矩形绿化带ABCD面积的最大值为$\frac{260}{3}\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
（1）要推导面积S与AB长x的函数关系式，首先需表示出矩形另一边BC的长度：观察图形可知垂直于墙的栅栏共3段，每段长均为x m，总栅栏长36m，因此BC长度为总栅栏长减去3段垂直栅栏的长度，即$(36-3x)\mathrm{m}$，再根据矩形面积公式即可得到S与x的关系式。接下来确定x的取值范围：BC作为边长需大于0，同时受墙长限制BC不能超过10m，据此列不等式组求解即可得到x的范围。
（2）求面积最大值需先将二次函数配方为顶点式，判断开口方向和对称轴。由于函数开口向下，在对称轴右侧S随x的增大而减小，结合第一问得到的x的取值范围，发现取值区间在对称轴右侧，因此当x取区间最小值时S取得最大值，代入计算即可。
【解析】
（1）已知AB的长为x m，垂直于墙的栅栏共3段，总栅栏长36 m，因此BC的长度为$(36-3x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S = AB × BC = x(36-3x) = -3x^2 + 36x$
根据实际限制，BC长度满足$0 ＜ 36-3x ≤ 10$，解不等式组：
解$36-3x ＞ 0$得$x ＜ 12$；
解$36-3x ≤ 10$得$x ≥ \frac{26}{3}$；
因此x的取值范围为$\frac{26}{3} ≤ x ＜ 12$，即$S = -3x^2 + 36x(\frac{26}{3} ≤ x ＜ 12)$。
（2）将二次函数配方得：
$S = -3x^2 + 36x = -3(x-6)^2 + 108$
$\because a=-3 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=6$，
$\therefore$当$x ＞ 6$时，S随x的增大而减小，
结合x的取值范围$\frac{26}{3} ≤ x ＜ 12$，该区间在对称轴右侧，因此当$x=\frac{26}{3}$时S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}} = -3×(\frac{26}{3}-6)^2 +108 = \frac{260}{3}$
【答案】
（1）$S=-3x^2+36x(\frac{26}{3}≤ x＜12)$；
（2）$\frac{260}{3}\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型应用题，解题关键是先根据题意正确列出函数关系式，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时不能直接取顶点值，需结合函数在自变量取值区间内的增减性判断最值点，避免忽略实际条件导致出错。
【难度系数】
0.6
（1）要推导面积S与AB长x的函数关系式，首先需表示出矩形另一边BC的长度：观察图形可知垂直于墙的栅栏共3段，每段长均为x m，总栅栏长36m，因此BC长度为总栅栏长减去3段垂直栅栏的长度，即$(36-3x)\mathrm{m}$，再根据矩形面积公式即可得到S与x的关系式。接下来确定x的取值范围：BC作为边长需大于0，同时受墙长限制BC不能超过10m，据此列不等式组求解即可得到x的范围。
（2）求面积最大值需先将二次函数配方为顶点式，判断开口方向和对称轴。由于函数开口向下，在对称轴右侧S随x的增大而减小，结合第一问得到的x的取值范围，发现取值区间在对称轴右侧，因此当x取区间最小值时S取得最大值，代入计算即可。
【解析】
（1）已知AB的长为x m，垂直于墙的栅栏共3段，总栅栏长36 m，因此BC的长度为$(36-3x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S = AB × BC = x(36-3x) = -3x^2 + 36x$
根据实际限制，BC长度满足$0 ＜ 36-3x ≤ 10$，解不等式组：
解$36-3x ＞ 0$得$x ＜ 12$；
解$36-3x ≤ 10$得$x ≥ \frac{26}{3}$；
因此x的取值范围为$\frac{26}{3} ≤ x ＜ 12$，即$S = -3x^2 + 36x(\frac{26}{3} ≤ x ＜ 12)$。
（2）将二次函数配方得：
$S = -3x^2 + 36x = -3(x-6)^2 + 108$
$\because a=-3 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=6$，
$\therefore$当$x ＞ 6$时，S随x的增大而减小，
结合x的取值范围$\frac{26}{3} ≤ x ＜ 12$，该区间在对称轴右侧，因此当$x=\frac{26}{3}$时S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}} = -3×(\frac{26}{3}-6)^2 +108 = \frac{260}{3}$
【答案】
（1）$S=-3x^2+36x(\frac{26}{3}≤ x＜12)$；
（2）$\frac{260}{3}\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型应用题，解题关键是先根据题意正确列出函数关系式，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时不能直接取顶点值，需结合函数在自变量取值区间内的增减性判断最值点，避免忽略实际条件导致出错。
【难度系数】
0.6
