登录
8.(1)请在图5-2-13的坐标系中画出$y=2x^2$，$y=2(x+1)^2$以及$y=2x^2+1$的图象。
(2)$y=2(x+1)^2$和$y=2x^2+1$的图象分别由$y=2x^2$的图象经过怎样的变换得到？
(3)将抛物线$y=ax^2 -1$平移后与抛物线$y=a(x-1)^2$重合，抛物线$y=ax^2 -1$上的点$A(2,3)$同时平移到点$B$，那么点$B$的坐标为多少？
图5-2-13
(2)$y=2(x+1)^2$和$y=2x^2+1$的图象分别由$y=2x^2$的图象经过怎样的变换得到？
(3)将抛物线$y=ax^2 -1$平移后与抛物线$y=a(x-1)^2$重合，抛物线$y=ax^2 -1$上的点$A(2,3)$同时平移到点$B$，那么点$B$的坐标为多少？
图5-2-13
答案
8. 解:(1)函数图象如答图5-2-6所示。
(2)$y=2x^2$ 的图象向左平移一个单位长度得到 $y=2(x+1)^2$ 的图象；
$y=2x^2$ 的图象向上平移一个单位长度得到 $y=2x^2+1$ 的图象。
(3)抛物线 $y=ax^2-1$ 向上平移一个单位长度得到抛物线$y=ax^2$,抛物线 $y=ax^2$ 向右平移一个单位长度得到抛物线 $y=a(x-1)^2$,故点 $A$ 先向上平移一个单位长度,再向右平移一个单位长度得到点 $B$,则点 $B$ 的坐标为$(3,4)$。
解析
【分析】
本题分为3小问，解题思路如下：
1. 第(1)问画函数图象：三个二次函数的二次项系数均为2，开口大小、方向一致，采用描点法作图即可：先分别确定三个抛物线的顶点坐标，再选取几组对称的x值计算对应的y值，最后描点、用平滑曲线连线即可。
2. 第(2)问判断平移方式：根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，对比两个函数和$y=2x^2$的表达式差异，或对比顶点坐标的变化，即可得到平移路径。
3. 第(3)问求平移后点的坐标：先找到平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的变化确定整体的平移规则，再将点A按照该规则平移，即可得到点B的坐标。
【解析】
(1) 采用描点法作图：
① $y=2x^2$的顶点为$(0,0)$，取$x=\pm1$时$y=2$，$x=\pm2$时$y=8$，描点连线；
② $y=2(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，取$x=0$时$y=2$，$x=-2$时$y=2$，$x=1$时$y=8$，$x=-3$时$y=8$，描点连线；
③ $y=2x^2+1$的顶点为$(0,1)$，取$x=\pm1$时$y=3$，$x=\pm2$时$y=9$，描点连线。
所作图象如答图所示。
(2) 二次函数平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则：
$y=2(x+1)^2$相比$y=2x^2$，自变量$x$变为$x+1$，因此是$y=2x^2$的图象向左平移1个单位长度得到；
$y=2x^2+1$相比$y=2x^2$，常数项加1，因此是$y=2x^2$的图象向上平移1个单位长度得到。
(3) 先确定抛物线的平移规则：
抛物线$y=ax^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，抛物线$y=a(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$，对比顶点坐标变化，可知平移规则为：向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度。
将点$A(2,3)$按照上述规则平移：横坐标加1得$2+1=3$，纵坐标加1得$3+1=4$，因此点B的坐标为$(3,4)$。
【答案】
(1) 函数图象如答图5-2-6所示。
(2) $y=2x^2$ 的图象向左平移一个单位长度得到 $y=2(x+1)^2$ 的图象；$y=2x^2$ 的图象向上平移一个单位长度得到 $y=2x^2+1$ 的图象。
(3) 点$B$的坐标为$(3,4)$。
【知识点】
二次函数图象画法，二次函数平移规律，点的坐标平移
【点评】
本题围绕二次函数图象的平移展开考查，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移法则，通过顶点坐标的变化确定平移路径是常用的解题技巧，属于基础类题型，有助于巩固二次函数图象的性质。
【难度系数】
0.7
本题分为3小问，解题思路如下：
1. 第(1)问画函数图象：三个二次函数的二次项系数均为2，开口大小、方向一致，采用描点法作图即可：先分别确定三个抛物线的顶点坐标，再选取几组对称的x值计算对应的y值，最后描点、用平滑曲线连线即可。
2. 第(2)问判断平移方式：根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，对比两个函数和$y=2x^2$的表达式差异，或对比顶点坐标的变化，即可得到平移路径。
3. 第(3)问求平移后点的坐标：先找到平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的变化确定整体的平移规则，再将点A按照该规则平移，即可得到点B的坐标。
【解析】
(1) 采用描点法作图：
① $y=2x^2$的顶点为$(0,0)$，取$x=\pm1$时$y=2$，$x=\pm2$时$y=8$，描点连线；
② $y=2(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，取$x=0$时$y=2$，$x=-2$时$y=2$，$x=1$时$y=8$，$x=-3$时$y=8$，描点连线；
③ $y=2x^2+1$的顶点为$(0,1)$，取$x=\pm1$时$y=3$，$x=\pm2$时$y=9$，描点连线。
所作图象如答图所示。
(2) 二次函数平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则：
$y=2(x+1)^2$相比$y=2x^2$，自变量$x$变为$x+1$，因此是$y=2x^2$的图象向左平移1个单位长度得到；
$y=2x^2+1$相比$y=2x^2$，常数项加1，因此是$y=2x^2$的图象向上平移1个单位长度得到。
(3) 先确定抛物线的平移规则：
抛物线$y=ax^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，抛物线$y=a(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$，对比顶点坐标变化，可知平移规则为：向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度。
将点$A(2,3)$按照上述规则平移：横坐标加1得$2+1=3$，纵坐标加1得$3+1=4$，因此点B的坐标为$(3,4)$。
【答案】
(1) 函数图象如答图5-2-6所示。
(2) $y=2x^2$ 的图象向左平移一个单位长度得到 $y=2(x+1)^2$ 的图象；$y=2x^2$ 的图象向上平移一个单位长度得到 $y=2x^2+1$ 的图象。
(3) 点$B$的坐标为$(3,4)$。
【知识点】
二次函数图象画法，二次函数平移规律，点的坐标平移
【点评】
本题围绕二次函数图象的平移展开考查，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移法则，通过顶点坐标的变化确定平移路径是常用的解题技巧，属于基础类题型，有助于巩固二次函数图象的性质。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图5-2-14，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的水平距离为1 m处达到距地面的最大高度2.25 m。试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线形水流对应的函数表达式。小明在解答上面的问题时，写下了如下解答过程：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴建立如图5-2-15所示的平面直角坐标系；
②设抛物线的表达式为$y=ax^2$；
③点B的坐标为$(-1,1)$；
④代入$y=ax^2$，得$1=a·(-1)^2$，所以$a=1$；
⑤所以$y=x^2$。
(1)小明的解答过程是否正确？若不正确，请你加以改正。
(2)喷出的水流能否浇灌到地面上距离点A 3.5 m的庄稼上(庄稼在A点的右侧，庄稼的高度不计)？若不能，请你在图5-2-15中的坐标系中将喷头B左右或者上下平移，至少要平移多少米才能浇灌到地面上的庄稼？并求出此时喷出的抛物线形水流对应的函数表达式。
9. 如图5-2-14，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的水平距离为1 m处达到距地面的最大高度2.25 m。试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线形水流对应的函数表达式。小明在解答上面的问题时，写下了如下解答过程：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴建立如图5-2-15所示的平面直角坐标系；
②设抛物线的表达式为$y=ax^2$；
③点B的坐标为$(-1,1)$；
④代入$y=ax^2$，得$1=a·(-1)^2$，所以$a=1$；
⑤所以$y=x^2$。
(1)小明的解答过程是否正确？若不正确，请你加以改正。
(2)喷出的水流能否浇灌到地面上距离点A 3.5 m的庄稼上(庄稼在A点的右侧，庄稼的高度不计)？若不能，请你在图5-2-15中的坐标系中将喷头B左右或者上下平移，至少要平移多少米才能浇灌到地面上的庄稼？并求出此时喷出的抛物线形水流对应的函数表达式。
答案
9. 解:(1)不正确。
点 $B$ 的坐标为$(-1,-1)$,
代入 $y=ax^2$,得 $a=-1$,所以 $y=-x^2$。
(2)不能。
设 $C(x,-2.25)$,将其坐标代入 $y=-x^2$,得 $x=1.5$(负值已舍去),
$\therefore$水流落点 $C$ 到点 $A$ 的距离 $AC=2.5$。
$\because 3.5＞2.5$,
$\therefore$不能浇灌到地面上距离点 $A$ 3.5 m 的庄稼上。
应将喷头 $B$ 向右平移 1 m,此时 $y=-(x-1)^2$,
即 $y=-x^2+2x-1$。
或上下平移：
设平移后的抛物线的表达式为 $y=-x^2+b$,
将$(2.5,-2.25)$代入,得 $b=4$,
$\therefore$应将喷头 $B$ 向上平移 4 m,此时 $y=-x^2+4$。
点 $B$ 的坐标为$(-1,-1)$,
代入 $y=ax^2$,得 $a=-1$,所以 $y=-x^2$。
(2)不能。
设 $C(x,-2.25)$,将其坐标代入 $y=-x^2$,得 $x=1.5$(负值已舍去),
$\therefore$水流落点 $C$ 到点 $A$ 的距离 $AC=2.5$。
$\because 3.5＞2.5$,
$\therefore$不能浇灌到地面上距离点 $A$ 3.5 m 的庄稼上。
应将喷头 $B$ 向右平移 1 m,此时 $y=-(x-1)^2$,
即 $y=-x^2+2x-1$。
或上下平移：
设平移后的抛物线的表达式为 $y=-x^2+b$,
将$(2.5,-2.25)$代入,得 $b=4$,
$\therefore$应将喷头 $B$ 向上平移 4 m,此时 $y=-x^2+4$。
解析
【分析】
(1) 先明确所建坐标系的特征：以水流最高点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，原点下方的点纵坐标为负。点B在最高点左侧1m处，且比最高点低$2.25-1.25=1\mathrm{m}$，因此B点坐标应为$(-1,-1)$，小明误将B点纵坐标写为正数导致解析式错误，代入正确坐标即可求出正确的二次函数系数。
(2) 要判断能否浇灌到目标庄稼，先求原抛物线的落地点坐标：地面在最高点下方2.25m，对应坐标系内纵坐标为$-2.25$，代入解析式求出落地点横坐标，再计算落地点到A点的水平距离，和3.5m比较即可判断。若不能浇灌，分两种平移思路：①左右平移时抛物线开口方向、大小不变，顶点仍在x轴上，设平移后解析式为$y=-(x-h)^2$，代入目标落地点坐标求平移量；②上下平移时抛物线顶点仍在y轴上，设解析式为$y=-x^2+b$，代入目标落地点坐标求平移量，取平移距离更小的方案即可。
【解析】
(1) 小明的解答过程不正确，改正如下：
根据坐标系设定，点B在最高点左侧水平距离1m处，竖直方向比最高点低$2.25-1.25=1\mathrm{m}$，因此B点坐标为$(-1,-1)$。
设抛物线表达式为$y=ax^2$，将$B(-1,-1)$代入得：$-1=a· (-1)^2$，解得$a=-1$，因此抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2$。
(2) 不能浇灌到距离A点3.5m的庄稼，计算及平移方案如下：
① 求原水流落地点位置：地面对应坐标系内的纵坐标为$-2.25$，代入$y=-x^2$得$-2.25=-x^2$，解得$x=1.5$（左侧负值舍去），即落地点横坐标为1.5。
A点横坐标为$-1$，因此落地点到A点的水平距离为$1.5-(-1)=2.5\mathrm{m}$，$2.5＜3.5$，因此不能浇灌到目标庄稼。
② 平移方案（二选一即可，最小平移距离为向右平移1m）：
方案一：向右平移
设向右平移$h$个单位，平移后解析式为$y=-(x-h)^2$，要求落地点横坐标为$-1+3.5=2.5$时$y=-2.25$，代入得$-2.25=-(2.5-h)^2$，解得$h=1$（$h=4$平移距离更大，舍去），即至少向右平移1m，此时解析式为$y=-(x-1)^2=-x^2+2x-1$。
方案二：向上平移
设向上平移后解析式为$y=-x^2+b$，将落地点坐标$(2.5,-2.25)$代入得$-2.25=-2.5^2+b$，解得$b=4$，即至少向上平移4m，此时解析式为$y=-x^2+4$。
【答案】
(1) 不正确，正确的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2}$；
(2) 不能浇灌到；至少向右平移1m，此时函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x-1}$（或至少向上平移4m，此时函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4}$）。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题的关键是结合坐标系的设定准确确定点的坐标，熟练掌握二次函数的性质和平移规律，能有效考查学生将实际问题转化为函数问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先明确所建坐标系的特征：以水流最高点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，原点下方的点纵坐标为负。点B在最高点左侧1m处，且比最高点低$2.25-1.25=1\mathrm{m}$，因此B点坐标应为$(-1,-1)$，小明误将B点纵坐标写为正数导致解析式错误，代入正确坐标即可求出正确的二次函数系数。
(2) 要判断能否浇灌到目标庄稼，先求原抛物线的落地点坐标：地面在最高点下方2.25m，对应坐标系内纵坐标为$-2.25$，代入解析式求出落地点横坐标，再计算落地点到A点的水平距离，和3.5m比较即可判断。若不能浇灌，分两种平移思路：①左右平移时抛物线开口方向、大小不变，顶点仍在x轴上，设平移后解析式为$y=-(x-h)^2$，代入目标落地点坐标求平移量；②上下平移时抛物线顶点仍在y轴上，设解析式为$y=-x^2+b$，代入目标落地点坐标求平移量，取平移距离更小的方案即可。
【解析】
(1) 小明的解答过程不正确，改正如下：
根据坐标系设定，点B在最高点左侧水平距离1m处，竖直方向比最高点低$2.25-1.25=1\mathrm{m}$，因此B点坐标为$(-1,-1)$。
设抛物线表达式为$y=ax^2$，将$B(-1,-1)$代入得：$-1=a· (-1)^2$，解得$a=-1$，因此抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2$。
(2) 不能浇灌到距离A点3.5m的庄稼，计算及平移方案如下：
① 求原水流落地点位置：地面对应坐标系内的纵坐标为$-2.25$，代入$y=-x^2$得$-2.25=-x^2$，解得$x=1.5$（左侧负值舍去），即落地点横坐标为1.5。
A点横坐标为$-1$，因此落地点到A点的水平距离为$1.5-(-1)=2.5\mathrm{m}$，$2.5＜3.5$，因此不能浇灌到目标庄稼。
② 平移方案（二选一即可，最小平移距离为向右平移1m）：
方案一：向右平移
设向右平移$h$个单位，平移后解析式为$y=-(x-h)^2$，要求落地点横坐标为$-1+3.5=2.5$时$y=-2.25$，代入得$-2.25=-(2.5-h)^2$，解得$h=1$（$h=4$平移距离更大，舍去），即至少向右平移1m，此时解析式为$y=-(x-1)^2=-x^2+2x-1$。
方案二：向上平移
设向上平移后解析式为$y=-x^2+b$，将落地点坐标$(2.5,-2.25)$代入得$-2.25=-2.5^2+b$，解得$b=4$，即至少向上平移4m，此时解析式为$y=-x^2+4$。
【答案】
(1) 不正确，正确的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2}$；
(2) 不能浇灌到；至少向右平移1m，此时函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x-1}$（或至少向上平移4m，此时函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4}$）。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题的关键是结合坐标系的设定准确确定点的坐标，熟练掌握二次函数的性质和平移规律，能有效考查学生将实际问题转化为函数问题的能力。
【难度系数】
0.6
10. 已知二次函数 $ y = -(x - h)^2 $（$ h $ 为常数），当自变量 $ x $ 的值满足 $ 2 ≤ x ≤ 5 $ 时，与其对应的函数值 $ y $ 的最大值为－1，请求出 $ h $ 的值。
答案
10. 解:$\because y=-(x-h)^2$,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线 $x=h$,顶点坐标为$(h,0)$。
①当 $h＜2$ 时,在 $2≤ x≤ 5$ 时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小，
所以当 $x=2$ 时取得最大值$-1$,
即$-(2-h)^2=-1$,解得 $h=1$ 或 $h=3$(舍去);
②当 $2≤ h≤ 5$ 时,$y=-(x-h)^2$ 的最大值为 0,不符合题意；
③当 $h＞5$ 时,在 $2≤ x≤ 5$ 时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大，
$\therefore$当 $x=5$ 时取得最大值$-1$,
即$-(5-h)^2=-1$,解得 $h=4$(舍去)或 $h=6$。
$\therefore h=1$ 或 $h=6$。
$\therefore$抛物线的对称轴为直线 $x=h$,顶点坐标为$(h,0)$。
①当 $h＜2$ 时,在 $2≤ x≤ 5$ 时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小，
所以当 $x=2$ 时取得最大值$-1$,
即$-(2-h)^2=-1$,解得 $h=1$ 或 $h=3$(舍去);
②当 $2≤ h≤ 5$ 时,$y=-(x-h)^2$ 的最大值为 0,不符合题意；
③当 $h＞5$ 时,在 $2≤ x≤ 5$ 时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大，
$\therefore$当 $x=5$ 时取得最大值$-1$,
即$-(5-h)^2=-1$,解得 $h=4$(舍去)或 $h=6$。
$\therefore h=1$ 或 $h=6$。
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=-(x-h)^2$的基本性质：它是开口向下的抛物线，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，顶点处函数取得最大值0。题目要求$2≤ x≤5$范围内函数最大值为-1，说明顶点不在该区间内，因此需要分三种情况讨论对称轴$h$与区间$[2,5]$的位置关系：①$h＜2$，②$2≤ h≤5$，③$h＞5$，再结合不同区间内函数的增减性代入最大值条件求解，最后舍去不符合区间范围的解即可得到$h$的值。
【解析】
$\because y=-(x-h)^2$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线 $x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
①当 $h＜2$ 时，在 $2≤ x≤ 5$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小，
所以当 $x=2$ 时取得最大值$-1$，
即$-(2-h)^2=-1$，解得 $h=1$ 或 $h=3$(舍去)；
②当 $2≤ h≤ 5$ 时，$y=-(x-h)^2$ 的最大值为 0，不符合题意；
③当 $h＞5$ 时，在 $2≤ x≤ 5$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大，
$\therefore$当 $x=5$ 时取得最大值$-1$，
即$-(5-h)^2=-1$，解得 $h=4$(舍去)或 $h=6$。
$\therefore h=1$ 或 $h=6$。
【答案】
$h=1$或$h=6$
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数最值；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间的最值求解，解题关键是结合对称轴与取值区间的位置关系判断函数的增减性，易错点是求解后未根据分类的前提条件舍去不符合范围的解，掌握开口方向对二次函数最值的影响是解题的基础。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数$y=-(x-h)^2$的基本性质：它是开口向下的抛物线，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，顶点处函数取得最大值0。题目要求$2≤ x≤5$范围内函数最大值为-1，说明顶点不在该区间内，因此需要分三种情况讨论对称轴$h$与区间$[2,5]$的位置关系：①$h＜2$，②$2≤ h≤5$，③$h＞5$，再结合不同区间内函数的增减性代入最大值条件求解，最后舍去不符合区间范围的解即可得到$h$的值。
【解析】
$\because y=-(x-h)^2$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线 $x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
①当 $h＜2$ 时，在 $2≤ x≤ 5$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小，
所以当 $x=2$ 时取得最大值$-1$，
即$-(2-h)^2=-1$，解得 $h=1$ 或 $h=3$(舍去)；
②当 $2≤ h≤ 5$ 时，$y=-(x-h)^2$ 的最大值为 0，不符合题意；
③当 $h＞5$ 时，在 $2≤ x≤ 5$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大，
$\therefore$当 $x=5$ 时取得最大值$-1$，
即$-(5-h)^2=-1$，解得 $h=4$(舍去)或 $h=6$。
$\therefore h=1$ 或 $h=6$。
【答案】
$h=1$或$h=6$
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数最值；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间的最值求解，解题关键是结合对称轴与取值区间的位置关系判断函数的增减性，易错点是求解后未根据分类的前提条件舍去不符合范围的解，掌握开口方向对二次函数最值的影响是解题的基础。
【难度系数】
0.6
