登录
15.「2026湖南长沙期中，★☆」注重青少年心理健康是全社会义不容辞的责任，某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题的心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计15场，则第一阶段参加比赛的班级有
6
个.答案
15.答案 6
解析 设第一阶段参加比赛的班级有$n$个,根据题意可得$\frac{n(n-1)}{2}=15$,解得$n=6$或$n=-5$(舍去),
∴ 第一阶段参加比赛的班级有 6 个.
解析 设第一阶段参加比赛的班级有$n$个,根据题意可得$\frac{n(n-1)}{2}=15$,解得$n=6$或$n=-5$(舍去),
∴ 第一阶段参加比赛的班级有 6 个.
16.「2026浙江台州天台期末，★★☆」若关于$x$的方程$ax^2 -3x +4=0$的一根恰好是另一根的2倍，则$a=$
$\frac{1}{2}$
.答案
16.答案 $\frac{1}{2}$
解析 设方程的两根分别为$t,2t$,由根与系数的关系得$t+2t=\frac{3}{a}$,$t·2t=\frac{4}{a}$,
∴ $t=\frac{1}{a}$,
∴ $\frac{1}{a}·\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$,
∵ $a≠0$,
∴ $a=\frac{1}{2}$.
解析 设方程的两根分别为$t,2t$,由根与系数的关系得$t+2t=\frac{3}{a}$,$t·2t=\frac{4}{a}$,
∴ $t=\frac{1}{a}$,
∴ $\frac{1}{a}·\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$,
∵ $a≠0$,
∴ $a=\frac{1}{2}$.
17.「2026内蒙古鄂尔多斯期中，★☆」某工程队计划将一块长20米、宽15米的矩形场地建设成绿化广场，如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化.若使绿化区域的面积为208平方米，则小路的宽为
2米
.答案
17.答案 2米
解析 设小路的宽为$x$米,则绿化区域可组成长为$(20-2x)$米、宽为$(15-x)$米的矩形,由题意得$(20-2x)(15-x)=208$,
∴ $x_1=2$,$x_2=23$(舍去),即小路的宽为 2 米.
解析 设小路的宽为$x$米,则绿化区域可组成长为$(20-2x)$米、宽为$(15-x)$米的矩形,由题意得$(20-2x)(15-x)=208$,
∴ $x_1=2$,$x_2=23$(舍去),即小路的宽为 2 米.
18.「2026四川南充月考，★☆☆」定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a+b+c=0$，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知“凤凰”方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，有下列结论:①$a=c$；②$a=b$；③$b=c$；④$a=b=c$；⑤当$a＞0$时，方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根.其中正确的结论为
①⑤
.(填序号)答案
18.答案 ①⑤
解析 当$x=1$时,$ax^2+bx+c=a+b+c=0$,即$x=1$是“凤凰”方程的一个根,
∵ “凤凰”方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,
∴ $a(x-1)^2=0$,整理,得$ax^2-2ax+a=0$,
∴ $b=-2a$,$c=a$,
∵ $a≠0$,
∴ $b≠a$,故①正确,②③④错误.
∵ $ax^2+bx+c=ax^2-2ax+a=3$,
∴ $ax^2-2ax+a-3=0$,
∴ $Δ=(-2a)^2-4a(a-3)=4a^2-4a^2+12a=12a$,
∵ $a＞0$,
∴ $12a＞0$,即$Δ＞0$,故当$a＞0$时,方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根,故⑤正确.故答案为①⑤.
解析 当$x=1$时,$ax^2+bx+c=a+b+c=0$,即$x=1$是“凤凰”方程的一个根,
∵ “凤凰”方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,
∴ $a(x-1)^2=0$,整理,得$ax^2-2ax+a=0$,
∴ $b=-2a$,$c=a$,
∵ $a≠0$,
∴ $b≠a$,故①正确,②③④错误.
∵ $ax^2+bx+c=ax^2-2ax+a=3$,
∴ $ax^2-2ax+a-3=0$,
∴ $Δ=(-2a)^2-4a(a-3)=4a^2-4a^2+12a=12a$,
∵ $a＞0$,
∴ $12a＞0$,即$Δ＞0$,故当$a＞0$时,方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根,故⑤正确.故答案为①⑤.
三、解答题(共66分)
19.「2026辽宁锦州月考，★☆」(16分)解下列方程：
(1)$x^2 -6x +5=0$(配方法). (2)$2x^2 -3x -1=0$(公式法).
(3)$(2x+3)^2 -25=0$. (4)$(x-1)^2=2x(1-x)$.
19.「2026辽宁锦州月考，★☆」(16分)解下列方程：
(1)$x^2 -6x +5=0$(配方法). (2)$2x^2 -3x -1=0$(公式法).
(3)$(2x+3)^2 -25=0$. (4)$(x-1)^2=2x(1-x)$.
答案
19.解析 (1)移项,得$x^2-6x=-5$,
配方,得$x^2-6x+9=-5+9$,即$(x-3)^2=4$,
∴ $x-3=±2$,解得$x_1=1$,$x_2=5$.
(2)$a=2$,$b=-3$,$c=-1$,
∵ $Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
∴ $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-3)±\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3±\sqrt{17}}{4}$,
∴ $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)移项,得$(2x+3)^2=25$,
∴ $2x+3=±5$,解得$x_1=1$,$x_2=-4$.
(4)移项,得$(x-1)^2+2x(x-1)=0$,
左边分解因式,得$(x-1)(x-1+2x)=0$,
即$(x-1)(3x-1)=0$,解得$x_1=1$,$x_2=\frac{1}{3}$.
配方,得$x^2-6x+9=-5+9$,即$(x-3)^2=4$,
∴ $x-3=±2$,解得$x_1=1$,$x_2=5$.
(2)$a=2$,$b=-3$,$c=-1$,
∵ $Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
∴ $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-3)±\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3±\sqrt{17}}{4}$,
∴ $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)移项,得$(2x+3)^2=25$,
∴ $2x+3=±5$,解得$x_1=1$,$x_2=-4$.
(4)移项,得$(x-1)^2+2x(x-1)=0$,
左边分解因式,得$(x-1)(x-1+2x)=0$,
即$(x-1)(3x-1)=0$,解得$x_1=1$,$x_2=\frac{1}{3}$.
