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8.「2026甘肃张掖月考，★☆」某商场将进货单价为40元的商品按每个50元的价格售出时，能卖500个.经市场调查发现，该商品的单价每提高1元，其销售量就会减少10个，若商场获得的利润为8000元，则每个商品的售价应定为多少元？小明根据题意列出的方程为$(500-10x)(10+x)=8000$.下面对该方程的理解错误的是 (
A.未知数$x$的意义是每个商品的售价提高了$x$元
B.未知数$x$的意义是每个商品的售价为$x$元
C.式子$(500-10x)$的意义是销售量
D.式子$(10+x)$的意义是每个商品的利润
B
)A.未知数$x$的意义是每个商品的售价提高了$x$元
B.未知数$x$的意义是每个商品的售价为$x$元
C.式子$(500-10x)$的意义是销售量
D.式子$(10+x)$的意义是每个商品的利润
答案
8.B 由题意可知,式子$(10+x)$即$(50-40+x)$,意义是每个商品的利润,未知数$x$的意义是每个商品的售价提高了$x$元,式子$(500-10x)$的意义是销售量,故选项 B 不符合题意.故选 B.
9. 学科特色分类讨论思想「2026广东汕头潮南期末，★★☆」新定义:若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等的实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的一元二次方程为“倍根方程”.如方程$x^2-6x+8=0$是“倍根方程”.若关于x的一元二次方程$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“倍根方程”,则代数式$\frac{2a-b}{a+b}$的值为 
A.$\frac{1}{2}$或$\frac{2}{5}$
B.$-\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
C.$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
D.$-\frac{1}{2}$或$\frac{2}{5}$
A.$\frac{1}{2}$或$\frac{2}{5}$
B.$-\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
C.$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
D.$-\frac{1}{2}$或$\frac{2}{5}$
答案
9.C
∵ $(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$,
∴ $x-2=0$或$ax-b=0$,解得$x_1=2$,$x_2=\frac{b}{a}$,
∵ 方程$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“倍根方程”,
∴ 分两种情况:当$2=2·\frac{b}{a}$时,$a=b$,此时$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-a}{a+a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$;当$2×2=\frac{b}{a}$时,$b=4a$,此时$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-4a}{a+4a}=\frac{-2a}{5a}=-\frac{2}{5}$.综上所述,代数式$\frac{2a-b}{a+b}$的值为$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$.故选 C.
∵ $(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$,
∴ $x-2=0$或$ax-b=0$,解得$x_1=2$,$x_2=\frac{b}{a}$,
∵ 方程$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“倍根方程”,
∴ 分两种情况:当$2=2·\frac{b}{a}$时,$a=b$,此时$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-a}{a+a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$;当$2×2=\frac{b}{a}$时,$b=4a$,此时$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-4a}{a+4a}=\frac{-2a}{5a}=-\frac{2}{5}$.综上所述,代数式$\frac{2a-b}{a+b}$的值为$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$.故选 C.
10.「2026 四川绵阳期末，★★」已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为$\frac{1}{2026}$，且$b+2c=0$，则方程$cx^2+bx+a=0$一定有一个根为（
A.$-2018$
B.$-2024$
C.$-2026$
D.$-2027$
B
）A.$-2018$
B.$-2024$
C.$-2026$
D.$-2027$
答案
10.B
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为$\frac{1}{2026}$,
∴ $(\frac{1}{2026})^2a+\frac{b}{2026}+c=0$,
方程两边同乘$2026^2$,得$a+2026b+2026^2c=0$,
即$2026^2c+2026b+a=0$,
∴ $x=2026$是方程$cx^2+bx+a=0$的一个根,
设方程$cx^2+bx+a=0$的另一个根为$m$,则$2026+m=-\frac{b}{c}$,
∵ $b+2c=0$,
∴ $b=-2c$,
∴ $2026+m=-\frac{b}{c}=-\frac{-2c}{c}=2$,
∴ $m=-2024$,
∴ 方程$cx^2+bx+a=0$的两根为 2026 和$-2024$.故选 B.
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为$\frac{1}{2026}$,
∴ $(\frac{1}{2026})^2a+\frac{b}{2026}+c=0$,
方程两边同乘$2026^2$,得$a+2026b+2026^2c=0$,
即$2026^2c+2026b+a=0$,
∴ $x=2026$是方程$cx^2+bx+a=0$的一个根,
设方程$cx^2+bx+a=0$的另一个根为$m$,则$2026+m=-\frac{b}{c}$,
∵ $b+2c=0$,
∴ $b=-2c$,
∴ $2026+m=-\frac{b}{c}=-\frac{-2c}{c}=2$,
∴ $m=-2024$,
∴ 方程$cx^2+bx+a=0$的两根为 2026 和$-2024$.故选 B.
11.「2026甘肃平凉期末，★☆」已知关于x的一元二次方程有一个根是$x=-1$，写出一个符合条件的一元二次方程：
$x^2=1$(答案不唯一)
。答案
11.答案 $x^2=1$(答案不唯一)
解析 方程$x^2=1$有一个根是$x=-1$.(答案不唯一)
解析 方程$x^2=1$有一个根是$x=-1$.(答案不唯一)
12.「2026山东烟台招远期中，★☆」若关于x的一元二次方程$mx^2 + mx = 3x + 12$不含x的一次项，则此方程的解为
$x=±2$
。答案
12.答案 $x=±2$
解析 $mx^2+mx=3x+12$ 可整理为$mx^2+(m-3)x-12=0$,
∵ 该方程不含$x$的一次项,
∴ $m-3=0$,解得$m=3$,
∴ 原方程为$3x^2=12$,解得$x=±2$.
解析 $mx^2+mx=3x+12$ 可整理为$mx^2+(m-3)x-12=0$,
∵ 该方程不含$x$的一次项,
∴ $m-3=0$,解得$m=3$,
∴ 原方程为$3x^2=12$,解得$x=±2$.
13.「2026江苏南京鼓楼期中，★☆」若关于x的一元二次方程$(x-a)^2 -7=0$有两个正实数根，则整数a的最小值是
3
。答案
13.答案 3
解析
∵ $(x-a)^2-7=0$,
∴ $(x-a)^2=7$,解得$x_1=\sqrt{7}+a$,$x_2=-\sqrt{7}+a$.
∵ 原方程有两个正实数根,
∴ $-\sqrt{7}+a＞0$,
∴ $a＞\sqrt{7}$,又
∵ $a$为整数,
∴ $a$的最小值为 3.
解析
∵ $(x-a)^2-7=0$,
∴ $(x-a)^2=7$,解得$x_1=\sqrt{7}+a$,$x_2=-\sqrt{7}+a$.
∵ 原方程有两个正实数根,
∴ $-\sqrt{7}+a＞0$,
∴ $a＞\sqrt{7}$,又
∵ $a$为整数,
∴ $a$的最小值为 3.
14.「2026四川成都期末，★★☆」小亮在解一元二次方程$x^2 -6x +[\quad]=0$时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为
9
。答案
14.答案 9
解析 设常数项为$k$,由题意得$Δ=(-6)^2-4k=36-4k=0$,解得$k=9$,
∴ 常数项为 9.
解析 设常数项为$k$,由题意得$Δ=(-6)^2-4k=36-4k=0$,解得$k=9$,
∴ 常数项为 9.
