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7. 如图16.2-1，为了绿化校园，学校准备在一个长为$(3a - b)\mathrm{m}$，宽为$(a + 2b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的通道，求剩余草坪的面积.
答案
7. 解：$(3a - b - b)(a + 2b - b)$
$=(3a - 2b)(a + b)$
$=(3a^2 + ab - 2b^2)(\mathrm{m}^2).$
$=(3a - 2b)(a + b)$
$=(3a^2 + ab - 2b^2)(\mathrm{m}^2).$
解析
【分析】
要求剩余草坪的面积，可采用平移法简化计算：将横向、纵向通道分别平移到长方形草坪的边缘，剩余的四块草坪可拼接成一个规则的新长方形，只需计算新长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算即可。首先推导新长方形的长：原长减去纵向通道的宽度b；新长方形的宽：原宽减去横向通道的宽度b，最后将长宽代入面积公式，展开多项式乘法得到结果。
【解析】
解：将两条通道分别向长方形边缘平移后，剩余草坪拼成一个新的长方形：
新长方形的长为：$(3a - b) - b = 3a - 2b$（$\mathrm{m}$）
新长方形的宽为：$(a + 2b) - b = a + b$（$\mathrm{m}$）
剩余草坪的面积为长乘宽，即：
$\begin{split}&(3a - 2b)(a + b)\\=&3a· a + 3a· b - 2b· a - 2b· b\\=&3a^2 + 3ab - 2ab - 2b^2\\=&3a^2 + ab - 2b^2\end{split}$
【答案】
$(3a^2 + ab - 2b^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，平移法求面积
【点评】
本题通过平移将不规则的剩余区域转化为规则长方形，简化了计算过程，避免了直接减通道面积时重复扣除重叠部分的错误，重点考查多项式乘法的运算能力，计算时要注意不漏乘、同类项合并准确。
【难度系数】
0.7
要求剩余草坪的面积，可采用平移法简化计算：将横向、纵向通道分别平移到长方形草坪的边缘，剩余的四块草坪可拼接成一个规则的新长方形，只需计算新长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算即可。首先推导新长方形的长：原长减去纵向通道的宽度b；新长方形的宽：原宽减去横向通道的宽度b，最后将长宽代入面积公式，展开多项式乘法得到结果。
【解析】
解：将两条通道分别向长方形边缘平移后，剩余草坪拼成一个新的长方形：
新长方形的长为：$(3a - b) - b = 3a - 2b$（$\mathrm{m}$）
新长方形的宽为：$(a + 2b) - b = a + b$（$\mathrm{m}$）
剩余草坪的面积为长乘宽，即：
$\begin{split}&(3a - 2b)(a + b)\\=&3a· a + 3a· b - 2b· a - 2b· b\\=&3a^2 + 3ab - 2ab - 2b^2\\=&3a^2 + ab - 2b^2\end{split}$
【答案】
$(3a^2 + ab - 2b^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，平移法求面积
【点评】
本题通过平移将不规则的剩余区域转化为规则长方形，简化了计算过程，避免了直接减通道面积时重复扣除重叠部分的错误，重点考查多项式乘法的运算能力，计算时要注意不漏乘、同类项合并准确。
【难度系数】
0.7
8. 先化简，再求值：$(2x+5)(x^2-2x-3)-2x(x^2-4x-6)$，其中$x=2$。
答案
8. 解：原式$=2x^3 - 4x^2 - 6x + 5x^2 - 10x - 15 - 2x^3 + 8x^2 + 12x = 9x^2 - 4x - 15.$
当$x=2$时，原式$=9×2^2 - 4×2 - 15 = 13.$
当$x=2$时，原式$=9×2^2 - 4×2 - 15 = 13.$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路如下：首先不能直接代入x的值计算，要先对整式进行化简降低计算量。第一步先分别计算两个乘法部分：①根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，计算$(2x+5)(x^2-2x-3)$；②根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项，注意前面的负号，每一项都要变号，计算$2x(x^2-4x-6)$。第二步去括号后合并同类项，得到最简整式，最后将$x=2$代入最简整式计算结果即可。
【解析】
第一步展开运算：
$(2x+5)(x^2-2x-3)=2x· x^2 + 2x·(-2x) + 2x·(-3) + 5· x^2 + 5·(-2x) + 5·(-3)=2x^3 - 4x^2 - 6x + 5x^2 - 10x - 15$
$2x(x^2-4x-6)=2x· x^2 + 2x·(-4x) + 2x·(-6)=2x^3 - 8x^2 - 12x$
代入原式去括号：
原式$=2x^3 - 4x^2 - 6x + 5x^2 - 10x - 15 - 2x^3 + 8x^2 + 12x$
第二步合并同类项：
$2x^3-2x^3 + (-4x^2+5x^2+8x^2) + (-6x-10x+12x) -15=9x^2 - 4x -15$
第三步代入$x=2$求值：
当$x=2$时，原式$=9×2^2 - 4×2 -15=9×4 -8 -15=36-8-15=13$
【答案】
化简结果为$9x^2 - 4x -15$，求值结果为$\boxed{13}$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法运算法则和合并同类项的应用，运算过程中需要格外注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路如下：首先不能直接代入x的值计算，要先对整式进行化简降低计算量。第一步先分别计算两个乘法部分：①根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，计算$(2x+5)(x^2-2x-3)$；②根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项，注意前面的负号，每一项都要变号，计算$2x(x^2-4x-6)$。第二步去括号后合并同类项，得到最简整式，最后将$x=2$代入最简整式计算结果即可。
【解析】
第一步展开运算：
$(2x+5)(x^2-2x-3)=2x· x^2 + 2x·(-2x) + 2x·(-3) + 5· x^2 + 5·(-2x) + 5·(-3)=2x^3 - 4x^2 - 6x + 5x^2 - 10x - 15$
$2x(x^2-4x-6)=2x· x^2 + 2x·(-4x) + 2x·(-6)=2x^3 - 8x^2 - 12x$
代入原式去括号：
原式$=2x^3 - 4x^2 - 6x + 5x^2 - 10x - 15 - 2x^3 + 8x^2 + 12x$
第二步合并同类项：
$2x^3-2x^3 + (-4x^2+5x^2+8x^2) + (-6x-10x+12x) -15=9x^2 - 4x -15$
第三步代入$x=2$求值：
当$x=2$时，原式$=9×2^2 - 4×2 -15=9×4 -8 -15=36-8-15=13$
【答案】
化简结果为$9x^2 - 4x -15$，求值结果为$\boxed{13}$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法运算法则和合并同类项的应用，运算过程中需要格外注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9. 已知$M=(a+3)(a-4)$，$N=(a+2)(2a-5)$.比较$M$，$N$的大小.
答案
9. 解：$M-N=(a+3)(a-4)-(a+2)(2a-5)$
$=a^2 - a - 12 - 2a^2 + a + 10$
$=-a^2 - 2.$
$\because a^2≥0,\therefore -a^2 - 2＜0.$
$\therefore M＜N.$
$=a^2 - a - 12 - 2a^2 + a + 10$
$=-a^2 - 2.$
$\because a^2≥0,\therefore -a^2 - 2＜0.$
$\therefore M＜N.$
解析
【分析】
比较两个整式的大小常用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差为0，则两式相等。本题首先计算M与N的差，再按照多项式乘多项式的法则分别展开两个乘积项，合并同类项得到最简结果，最后利用平方的非负性判断差的正负，就能得出M和N的大小关系。
【解析】
解：通过作差比较M、N的大小，计算过程如下：
$M-N=(a+3)(a-4)-(a+2)(2a-5)$
先分别展开多项式乘积：
$(a+3)(a-4)=a^2-4a+3a-12=a^2-a-12$
$(a+2)(2a-5)=2a^2-5a+4a-10=2a^2-a-10$
代入差的式子后去括号、合并同类项：
$M-N=(a^2 - a - 12)-(2a^2 - a - 10)$
$=a^2 - a - 12 - 2a^2 + a + 10$
$=-a^2 - 2$
$\because a^2≥0$，$\therefore -a^2≤0$，可得$-a^2 - 2≤ -2 ＜ 0$
$\therefore M-N＜0$，即$M＜N$
【答案】
$M＜N$
【知识点】
多项式乘多项式；作差法比较大小；平方的非负性
【点评】
本题是整式大小比较的基础题型，核心考查多项式乘多项式的运算能力，解题时要注意展开多项式不要漏乘项，去括号时留意符号变化，结合平方的非负性即可快速判断差的符号得出结论。
【难度系数】
0.7
比较两个整式的大小常用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差为0，则两式相等。本题首先计算M与N的差，再按照多项式乘多项式的法则分别展开两个乘积项，合并同类项得到最简结果，最后利用平方的非负性判断差的正负，就能得出M和N的大小关系。
【解析】
解：通过作差比较M、N的大小，计算过程如下：
$M-N=(a+3)(a-4)-(a+2)(2a-5)$
先分别展开多项式乘积：
$(a+3)(a-4)=a^2-4a+3a-12=a^2-a-12$
$(a+2)(2a-5)=2a^2-5a+4a-10=2a^2-a-10$
代入差的式子后去括号、合并同类项：
$M-N=(a^2 - a - 12)-(2a^2 - a - 10)$
$=a^2 - a - 12 - 2a^2 + a + 10$
$=-a^2 - 2$
$\because a^2≥0$，$\therefore -a^2≤0$，可得$-a^2 - 2≤ -2 ＜ 0$
$\therefore M-N＜0$，即$M＜N$
【答案】
$M＜N$
【知识点】
多项式乘多项式；作差法比较大小；平方的非负性
【点评】
本题是整式大小比较的基础题型，核心考查多项式乘多项式的运算能力，解题时要注意展开多项式不要漏乘项，去括号时留意符号变化，结合平方的非负性即可快速判断差的符号得出结论。
【难度系数】
0.7
