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多项式与多项式相乘，先用一个多项式的
每一项
乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
。答案
每一项 相加
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式运算法则的识记，解题时先回忆该法则的推导逻辑：多项式乘多项式本质是运用乘法分配律，将其中一个多项式拆分为若干个单项式（即每一项），分别与另一个多项式的每一项相乘，最后将所有乘积合并，对应法则中的描述即可确定两个空的内容。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。我们也可以通过简单例子验证，如计算$(a+b)(m+n)$，先用$a$、$b$（第一个多项式的每一项）分别乘$m$、$n$，得到$am、an、bm、bn$，再把这几个积相加得到最终结果，完全符合法则描述，因此可以确定两个空的内容。
【答案】
每一项；相加
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考察对基础运算法则的记忆掌握，是整式运算模块的核心基础内容，熟练掌握该法则是后续进行整式化简、因式分解等运算的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式乘多项式运算法则的识记，解题时先回忆该法则的推导逻辑：多项式乘多项式本质是运用乘法分配律，将其中一个多项式拆分为若干个单项式（即每一项），分别与另一个多项式的每一项相乘，最后将所有乘积合并，对应法则中的描述即可确定两个空的内容。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。我们也可以通过简单例子验证，如计算$(a+b)(m+n)$，先用$a$、$b$（第一个多项式的每一项）分别乘$m$、$n$，得到$am、an、bm、bn$，再把这几个积相加得到最终结果，完全符合法则描述，因此可以确定两个空的内容。
【答案】
每一项；相加
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考察对基础运算法则的记忆掌握，是整式运算模块的核心基础内容，熟练掌握该法则是后续进行整式化简、因式分解等运算的前提。
【难度系数】
0.9
1. 计算：$(2a + b)(2b - a) = (\quad)$。
A.$2a^2 - 2ab - 2b^2$
B.$-2a^2 - 2ab + 2b^2$
C.$-2a^2 + 3ab + 2b^2$
D.$2a^2 - 3ab + 2b^2$
A.$2a^2 - 2ab - 2b^2$
B.$-2a^2 - 2ab + 2b^2$
C.$-2a^2 + 3ab + 2b^2$
D.$2a^2 - 3ab + 2b^2$
答案
1.C
解析
【分析】
本题属于整式乘法运算题，解题核心是运用多项式乘多项式的运算法则。首先要明确：两个多项式相乘，需要用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到化简结果，再匹配对应选项即可。计算时要特别注意相乘时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(2a + b)(2b - a) &= 2a· 2b + 2a· (-a) + b· 2b + b· (-a) \\&= 4ab - 2a^2 + 2b^2 - ab \\&= -2a^2 + 3ab + 2b^2\end{aligned}$
对比选项可知结果对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法的运算规则，易错点是相乘时漏乘项、符号判断错误以及同类项合并错误，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式乘法运算题，解题核心是运用多项式乘多项式的运算法则。首先要明确：两个多项式相乘，需要用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到化简结果，再匹配对应选项即可。计算时要特别注意相乘时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(2a + b)(2b - a) &= 2a· 2b + 2a· (-a) + b· 2b + b· (-a) \\&= 4ab - 2a^2 + 2b^2 - ab \\&= -2a^2 + 3ab + 2b^2\end{aligned}$
对比选项可知结果对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法的运算规则，易错点是相乘时漏乘项、符号判断错误以及同类项合并错误，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 若$(x-3)(x+5)=x^2+mx+n$，则$m+n$的值是（
A.13
B.-13
C.17
D.-17
B
）。A.13
B.-13
C.17
D.-17
答案
2.B
解析
【分析】
解题核心思路是先利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧的式子，合并同类项后与右侧多项式对比，根据多项式相等时同次项系数对应相等的规则求出m、n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
第一步，展开等式左侧的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$\begin{aligned}(x-3)(x+5)&=x· x + x·5 + (-3)· x + (-3)×5\\&=x^2 +5x -3x -15\end{aligned}$
第二步，合并同类项：
$x^2 +5x -3x -15=x^2+2x-15$
第三步，对应系数求参数：
已知$(x-3)(x+5)=x^2+mx+n$，即$x^2+2x-15=x^2+mx+n$，根据多项式相等时同类项系数对应相等，可得：
一次项系数$m=2$，常数项$n=-15$
第四步，计算$m+n$：
$m+n=2+(-15)=-13$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.多项式乘多项式运算
2.多项式相等的条件
3.代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多项式乘法的基础应用，解题关键是正确展开多项式乘积、准确对应系数求解参数，熟练掌握多项式乘法法则即可快速得分。
【难度系数】
0.75
解题核心思路是先利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧的式子，合并同类项后与右侧多项式对比，根据多项式相等时同次项系数对应相等的规则求出m、n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
第一步，展开等式左侧的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$\begin{aligned}(x-3)(x+5)&=x· x + x·5 + (-3)· x + (-3)×5\\&=x^2 +5x -3x -15\end{aligned}$
第二步，合并同类项：
$x^2 +5x -3x -15=x^2+2x-15$
第三步，对应系数求参数：
已知$(x-3)(x+5)=x^2+mx+n$，即$x^2+2x-15=x^2+mx+n$，根据多项式相等时同类项系数对应相等，可得：
一次项系数$m=2$，常数项$n=-15$
第四步，计算$m+n$：
$m+n=2+(-15)=-13$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.多项式乘多项式运算
2.多项式相等的条件
3.代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多项式乘法的基础应用，解题关键是正确展开多项式乘积、准确对应系数求解参数，熟练掌握多项式乘法法则即可快速得分。
【难度系数】
0.75
3. 已知$x(x+3)=2023$，则$2(x+4)(x-1)-2012$的值为（
A.2 023
B.2 024
C.2 025
D.2 026
D
）.A.2 023
B.2 024
C.2 025
D.2 026
答案
3.D
解析
【分析】
解题时不需要先求解x的具体值，首先观察已知条件和待求式的结构：已知是含x的二次式，待求式为多项式相乘后加减的形式，解题思路分为两步：第一步利用多项式乘多项式的法则将待求式展开、合并同类项，化简为含有已知式结构的形式；第二步将已知条件整体代入化简后的式子计算即可，这种整体代入的方法能大幅简化计算，避免解一元二次方程的复杂运算。
【解析】
首先化简待求式：
1. 利用多项式乘多项式法则计算$(x+4)(x-1)$：
$\begin{aligned}(x+4)(x-1)&=x^2 -x +4x -4\\&=x^2+3x-4\end{aligned}$
2. 代入原式展开合并：
$\begin{aligned}2(x+4)(x-1)-2012&=2(x^2+3x-4)-2012\\&=2x^2+6x-8-2012\\&=2x^2+6x-2020\end{aligned}$
3. 由已知$x(x+3)=2023$，展开得$x^2+3x=2023$，则$2x^2+6x=2(x^2+3x)=2×2023=4046$。
4. 整体代入计算：
$4046-2020=2026$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题核心考查多项式乘法的运算规则和代数式求值的技巧，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，无需计算x的具体值即可快速得到结果，能有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7
解题时不需要先求解x的具体值，首先观察已知条件和待求式的结构：已知是含x的二次式，待求式为多项式相乘后加减的形式，解题思路分为两步：第一步利用多项式乘多项式的法则将待求式展开、合并同类项，化简为含有已知式结构的形式；第二步将已知条件整体代入化简后的式子计算即可，这种整体代入的方法能大幅简化计算，避免解一元二次方程的复杂运算。
【解析】
首先化简待求式：
1. 利用多项式乘多项式法则计算$(x+4)(x-1)$：
$\begin{aligned}(x+4)(x-1)&=x^2 -x +4x -4\\&=x^2+3x-4\end{aligned}$
2. 代入原式展开合并：
$\begin{aligned}2(x+4)(x-1)-2012&=2(x^2+3x-4)-2012\\&=2x^2+6x-8-2012\\&=2x^2+6x-2020\end{aligned}$
3. 由已知$x(x+3)=2023$，展开得$x^2+3x=2023$，则$2x^2+6x=2(x^2+3x)=2×2023=4046$。
4. 整体代入计算：
$4046-2020=2026$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题核心考查多项式乘法的运算规则和代数式求值的技巧，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，无需计算x的具体值即可快速得到结果，能有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7
4. 若在$(x-3)(2x^2+mx-5)$的计算结果中，$x^2$项的系数为$-3$，则$m$的值为（
A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$-\dfrac{1}{3}$
B
）.A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$-\dfrac{1}{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
本题要求根据乘积中x²项的系数求参数m的值，解题思路如下：首先根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再找出所有含x²的项，合并同类项得到x²项的系数表达式，最后根据题目给出的x²项系数为-3的条件列一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(x-3)(2x^2+mx-5)&=x·2x^2 + x· mx + x·(-5) + (-3)·2x^2 + (-3)· mx + (-3)·(-5)\\&=2x^3 + mx^2 -5x -6x^2 -3mx +15\\&=2x^3 + (m-6)x^2 + (-5-3m)x +15\end{aligned}$
由题意可知x²项的系数为-3，因此列方程：
$m-6=-3$
解得：$m=6-3=3$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于多项式乘法的基础应用题型，解题的核心是准确识别并合并对应次数的同类项，再结合已知条件列方程求解参数，掌握多项式乘法的运算规则是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8
本题要求根据乘积中x²项的系数求参数m的值，解题思路如下：首先根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再找出所有含x²的项，合并同类项得到x²项的系数表达式，最后根据题目给出的x²项系数为-3的条件列一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(x-3)(2x^2+mx-5)&=x·2x^2 + x· mx + x·(-5) + (-3)·2x^2 + (-3)· mx + (-3)·(-5)\\&=2x^3 + mx^2 -5x -6x^2 -3mx +15\\&=2x^3 + (m-6)x^2 + (-5-3m)x +15\end{aligned}$
由题意可知x²项的系数为-3，因此列方程：
$m-6=-3$
解得：$m=6-3=3$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于多项式乘法的基础应用题型，解题的核心是准确识别并合并对应次数的同类项，再结合已知条件列方程求解参数，掌握多项式乘法的运算规则是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8
5. 某地计划扩建一块边长为 $ a \, \mathrm{m} $ 的正方形草坪，如果将一边增加8 m，另一边增加5 m，那么扩建后的草坪面积比原来增加了（
A.$ (a^2 + 13a + 40) \, \mathrm{m}^2 $
B.$ (13a + 40) \, \mathrm{m}^2 $
C.$ (a^2 + 13a) \, \mathrm{m}^2 $
D.$ (a^2 + 40) \, \mathrm{m}^2 $
B
）。A.$ (a^2 + 13a + 40) \, \mathrm{m}^2 $
B.$ (13a + 40) \, \mathrm{m}^2 $
C.$ (a^2 + 13a) \, \mathrm{m}^2 $
D.$ (a^2 + 40) \, \mathrm{m}^2 $
答案
5.B
解析
【分析】
要计算扩建后草坪增加的面积，思路为：首先明确增加的面积=扩建后的面积-原来的面积。第一步先求原正方形草坪的面积；第二步确定扩建后长方形草坪的长和宽，计算出扩建后的面积；第三步将两个面积作差，利用多项式乘多项式法则展开、合并同类项化简，即可得到结果。
【解析】
首先计算原正方形草坪的面积：
$S_{\mathrm{原}} = a × a = a^2 \, (\mathrm{m}^2)$
扩建后草坪为长方形，两边长分别为$(a+8)\,\mathrm{m}$和$(a+5)\,\mathrm{m}$，因此扩建后的面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (a+8)(a+5)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$(a+8)(a+5) = a^2 + 5a + 8a + 40 = a^2 + 13a + 40 \, (\mathrm{m}^2)$
则增加的面积为：
$\Delta S = S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} = (a^2 + 13a + 40) - a^2 = 13a + 40 \, (\mathrm{m}^2)$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，整式加减运算，长方形与正方形面积计算
【点评】
这道题是整式运算在几何面积问题中的典型应用，解题的核心是正确表示出扩建前后的面积，计算时要熟练掌握多项式乘法的展开规则，合并同类项时注意不要漏项、错项。
【难度系数】
0.8
要计算扩建后草坪增加的面积，思路为：首先明确增加的面积=扩建后的面积-原来的面积。第一步先求原正方形草坪的面积；第二步确定扩建后长方形草坪的长和宽，计算出扩建后的面积；第三步将两个面积作差，利用多项式乘多项式法则展开、合并同类项化简，即可得到结果。
【解析】
首先计算原正方形草坪的面积：
$S_{\mathrm{原}} = a × a = a^2 \, (\mathrm{m}^2)$
扩建后草坪为长方形，两边长分别为$(a+8)\,\mathrm{m}$和$(a+5)\,\mathrm{m}$，因此扩建后的面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (a+8)(a+5)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$(a+8)(a+5) = a^2 + 5a + 8a + 40 = a^2 + 13a + 40 \, (\mathrm{m}^2)$
则增加的面积为：
$\Delta S = S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} = (a^2 + 13a + 40) - a^2 = 13a + 40 \, (\mathrm{m}^2)$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，整式加减运算，长方形与正方形面积计算
【点评】
这道题是整式运算在几何面积问题中的典型应用，解题的核心是正确表示出扩建前后的面积，计算时要熟练掌握多项式乘法的展开规则，合并同类项时注意不要漏项、错项。
【难度系数】
0.8
6. 在$(x^2 + x - 3)(x^2 - 2x + 2a)$的计算结果中，常数项为$-30$，则$a$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）.A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确多项式乘多项式的展开式中，常数项的来源：只有两个多项式各自的常数项相乘时，乘积才不含x，最终得到常数项，其余项相乘都含有x，不会形成常数项。因此我们只需要提取两个因式的常数项相乘，令乘积等于题目给出的常数项-30，列方程求解即可得到a的值，不需要将多项式全部展开，能简化计算。
【解析】
第一步：确定两个多项式的常数项：
多项式$x^2 + x - 3$的常数项为$-3$，多项式$x^2 - 2x + 2a$的常数项为$2a$。
第二步：计算展开式的常数项：
根据常数项的形成规则，展开式的常数项为两个常数项的乘积，即：
$(-3) × 2a = -6a$
第三步：根据题意列方程求解：
已知展开式常数项为$-30$，因此：
$-6a = -30$
两边同时除以$-6$，解得：$a = 5$
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘多项式
2.解一元一次方程
【点评】
本题考查多项式乘多项式中特殊项系数的确定，无需展开全部多项式即可求解，降低了计算量，掌握多项式乘积中各项的形成规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确多项式乘多项式的展开式中，常数项的来源：只有两个多项式各自的常数项相乘时，乘积才不含x，最终得到常数项，其余项相乘都含有x，不会形成常数项。因此我们只需要提取两个因式的常数项相乘，令乘积等于题目给出的常数项-30，列方程求解即可得到a的值，不需要将多项式全部展开，能简化计算。
【解析】
第一步：确定两个多项式的常数项：
多项式$x^2 + x - 3$的常数项为$-3$，多项式$x^2 - 2x + 2a$的常数项为$2a$。
第二步：计算展开式的常数项：
根据常数项的形成规则，展开式的常数项为两个常数项的乘积，即：
$(-3) × 2a = -6a$
第三步：根据题意列方程求解：
已知展开式常数项为$-30$，因此：
$-6a = -30$
两边同时除以$-6$，解得：$a = 5$
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘多项式
2.解一元一次方程
【点评】
本题考查多项式乘多项式中特殊项系数的确定，无需展开全部多项式即可求解，降低了计算量，掌握多项式乘积中各项的形成规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
