5. 若$x^3 · x^m y^{2n} = x^9 y^8$，则$m+n$的值为（）。

A.6
B.10
C.9
D.7

5. B

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算及代数式求值，解题思路如下：第一步，根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，化简等式左边的式子；第二步，等式左右两边的单项式相等时，相同底数的对应指数也相等，据此分别列出关于m、n的一元一次方程；第三步，解方程求出m、n的值，代入计算m+n即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
左边 = $x^3 · x^m y^{2n} = x^{3+m} y^{2n}$
已知等式右边为$x^9 y^8$，因为等式两边相同底数的指数对应相等，所以：
$\begin{cases}3 + m = 9 \\2n = 8 \end{cases}$
分别解方程：
由$3+m=9$，得$m=9-3=6$；
由$2n=8$，得$n=8÷2=4$。
所以$m+n=6+4=10$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查同底数幂的运算性质，理解相等的单项式中相同底数的指数对应相等是解题的突破口，掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 若新定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则$\begin{vmatrix} 2x & x \\ 3x & x-5 \end{vmatrix}=$（ ）。

A.$-x^2 -5x$
B.$x^2 +10x$
C.$-x^2 +10x$
D.$-x^2 -10x$

6. D

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新定义二阶行列式的运算规则：二阶行列式的结果是左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素的差。接下来找到题目所求行列式中对应a、b、c、d的代数式，代入运算规则后，按照单项式乘多项式、合并同类项的法则逐步化简，最后匹配选项即可。
【解析】
根据新定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得所求行列式中$a=2x$，$b=x$，$c=3x$，$d=x-5$，代入得：
$\begin{aligned}\begin{vmatrix} 2x & x \\ 3x & x-5 \end{vmatrix}&=2x·(x-5) - x·3x \\&=2x^2 -10x -3x^2 \\&=-x^2 -10x\end{aligned}$
对比选项可知结果为D选项。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对新规则的理解应用能力和整式运算的熟练度，只要准确套用新定义规则，计算过程中注意符号和乘法法则的应用，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

7. 计算：$\frac{1}{2}a^3b · (\frac{2}{3}ab)^3 - (-\frac{1}{3}a)^2 · (ab)^4 = \_\_\_\_\_\_$

7. $\frac{1}{27}a^6b^4$

【分析】
本题属于整式的混合运算，需按照“先乘方，再乘法，最后加减”的顺序计算。第一步先计算两个项中的积的乘方，注意负数的偶次幂为正；第二步依据单项式乘单项式的法则，分别计算两个乘法项的结果；最后合并同类项得到最终答案，计算过程中要注意系数和指数的运算规则，避免出错。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}a^3b · (\frac{2}{3}ab)^3 - (-\frac{1}{3}a)^2 · (ab)^4\\=&\frac{1}{2}a^3b · \frac{8}{27}a^3b^3 - \frac{1}{9}a^2 · a^4b^4\\=&\frac{4}{27}a^{6}b^{4} - \frac{1}{9}a^{6}b^{4}\\=&\frac{4}{27}a^{6}b^{4} - \frac{3}{27}a^{6}b^{4}\\=&\frac{1}{27}a^6b^4\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{27}a^6b^4$
【知识点】
积的乘方运算、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算法则的掌握情况，计算时需格外注意乘方的符号处理、系数的通分计算以及同底数幂的指数相加规则，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7

8. 已知$m - 2n = 1$，求$2n(m + 1) - m(1 + 2n) + 3$的值.

8. 解：$2n(m+1)-m(1+2n)+3$
$=2mn+2n-m-2mn+3$
$=2n-m+3$
$=-(m-2n)+3.$
$\because m-2n=1,$
$\therefore 原式=-1+3=2.$

【分析】
本题仅给出$m-2n=1$的关系，无法求出$m$、$n$的具体数值，因此需先化简待求代数式，再整体代入已知条件求值。解题思路为：首先根据单项式乘多项式的法则去掉代数式的括号，接着合并同类项完成化简，再将化简后的式子变形为含有$m-2n$的结构，最后代入已知条件计算结果即可。
【解析】
解：先化简待求代数式：
$2n(m+1)-m(1+2n)+3$
$=2mn+2n-m-2mn+3$（根据单项式乘多项式法则去括号）
$=2n-m+3$（合并同类项，$2mn$与$-2mn$抵消）
$=-(m-2n)+3$（变形为含已知式的结构）
$\because m-2n=1$，
$\therefore$ 代入得：原式$=-1+3=2$
【答案】
$2$
【知识点】
单项式乘多项式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题关键是先化简代数式，再用整体代入的思想计算，无需单独求解$m$、$n$的具体值即可简化运算，主要考查学生对整式运算法则的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

9. 已知$x^2 + x - 1 = 0$，求$x^3 + 2x^2 + 2024$的值.

9. 解：$\because x^2+x-1=0,$
$\therefore x^2=-x+1,\ x^2+x=1.$
$\therefore x^3=x(-x+1)=-x^2+x.$
$\therefore x^3+2x^2+2024$
$=-x^2+x+2x^2+2024$
$=x^2+x+2024$
$=1+2024$
$=2025.$

【分析】
已知条件为二次方程，若直接求解x的取值再代入所求代数式计算，过程繁琐易出错，因此采用降次+整体代入的思路解题。首先从已知等式变形得到$x^2=-x+1$、$x^2+x=1$两个关键结论，再将三次项$x^3$改写为$x· x^2$，用已得的$x^2$表达式替换实现降次，合并同类项后可凑出$x^2+x$的整体，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：$\because x^2+x-1=0,$
$\therefore x^2=-x+1,\ x^2+x=1.$
$\therefore x^3=x· x^2=x(-x+1)=-x^2+x.$
$\therefore x^3+2x^2+2024$
$=-x^2+x+2x^2+2024$
$=x^2+x+2024$
$=1+2024$
$=2025.$
【答案】
2025
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式恒等变形
【点评】
本题是整式运算与代数式求值结合的典型题型，不需要直接求出未知数的具体值，通过降次转化、整体代入即可简化计算，主要考查学生的整式变形能力和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

10. 对于有理数$a$，$b$，规定新运算 $ a*b=\begin{cases} a+b-5, & a＞b, \\ ab-b, & a≤ b, \end{cases} $ 例如$3*2$，因为$3＞2$，所以$3*2=3+2-5=0$.
（1）计算：①$(-5)*(-3)=$；②$4*(-8)=$；③若$(x+3)*2=3$，则$x=$；
（2）记$M=(x+2)*(x-1)$，$N=x*(x+3)$，判断$M$和$N$的大小关系，并说明理由.

10. 解：(1) ①18 ②$-9$ ③3
(2) $M＜N$. 理由如下：
$\because 2＞-1,$
$\therefore x+2＞x-1.$
$\therefore M=(x+2)*(x-1)=x+2+x-1-5=2x-4.$
$\because 0＜3,\ \therefore x＜x+3.$
$\therefore N=x*(x+3)=x(x+3)-(x+3)=x^2+2x-3.$
$\therefore N-M=(x^2+2x-3)-(2x-4)=x^2+1.$
$\because x^2≥0,\ \therefore x^2+1＞0.\ \therefore N-M＞0.$
$\therefore M＜N.$

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先明确运算规则：当运算符号前的数大于后的数时，按“两数之和减5”计算；当运算符号前的数小于等于后的数时，按“前数乘后数减后数”计算。①②小问先判断两个运算数的大小，直接代入对应公式计算即可；③小问需要分“x+3＞2”和“x+3≤2”两种情况列方程求解，解完要检验是否符合分类前提。第(2)问先分别判断M、N中两个运算数的大小，求出M、N的表达式，再用作差法比较大小，结合平方的非负性判断差的正负即可得出结论。
【解析】
(1)①先比较-5和-3的大小：$-5 ＜ -3$，符合$a≤b$的运算规则，
$\therefore (-5)*(-3)=(-5)×(-3) - (-3)=15 + 3=18$；
②先比较4和-8的大小：$4 ＞ -8$，符合$a＞b$的运算规则，
$\therefore 4*(-8)=4 + (-8) -5= -9$；
③分两种情况讨论：
情况1：若$x+3 ＞ 2$，即$x ＞ -1$时，按$a＞b$的规则计算：
$(x+3)+2 -5=3$，
化简得$x=3$，符合$x ＞ -1$的前提，成立；
情况2：若$x+3 ≤ 2$，即$x ≤ -1$时，按$a≤b$的规则计算：
$2(x+3) - 2=3$，
解得$x=-0.5$，不符合$x ≤ -1$的前提，舍去；
综上，$x=3$。
(2)$M ＜ N$，理由如下：
$\because (x+2) - (x-1)=3 ＞ 0$，
$\therefore x+2 ＞ x-1$，
$\therefore M=(x+2)*(x-1)=(x+2)+(x-1)-5=2x - 4$；
$\because x - (x+3)= -3 ＜ 0$，
$\therefore x ＜ x+3$，
$\therefore N=x*(x+3)=x(x+3) - (x+3)=x^2 + 3x - x - 3=x^2 + 2x - 3$；
计算$N - M$得：
$N - M=(x^2 + 2x - 3) - (2x - 4)=x^2 + 1$，
$\because x^2 ≥ 0$，
$\therefore x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$N - M ＞ 0$，
$\therefore M ＜ N$。
【答案】
(1)①$18$；②$-9$；③$3$；(2)$M＜N$
【知识点】
新定义运算、整式运算、作差法比较大小
【点评】
本题考查新定义运算的应用，解题关键是准确判断两个运算数的大小关系，正确选择对应的运算公式，解方程时需注意检验解是否符合分类讨论的前提，比较大小采用作差法结合平方的非负性即可判断，解题时需细心避免计算错误。
【难度系数】
0.7